Yaranma tarixi: 03 Mart, 2018

Kəpənək teoremi

Bu teoremin müəllifi kimi İngilis riyaziyyatçısı Vilyam Corc Korner (1786-1837) qeyd olunur.

Kəpənək teoremi: Tutaq ki, $M$ nöqtəsi çevrənin $PQ$ vətərinin orta nöqtəsidir. Həmin $M$ nöqtəsindən iki $AB$ və $CD$ vətərləri çəkək. $AD$ parçasının $PQ$ vətərini kəsən nöqtəni $X$, $BC$ parçasının $PQ$ vətərini kəsən nöqtəni $Y$ ilə işarə edək. Onda $M$ nöqtəsi $XY$ parçasının da orta nöqtəsi olacaq.

İsbatı: $X$ nöqtəsindən şəkildəki kimi $x_1$ və $y_1$, $Y$ nöqtəsindən isə $y_1$ və $y_2$ perpendikulyarlarını endirək. $MP=MQ=a$, $XM=x$, $YM=y$ işarə edək. 

$\angle DAB=\angle DCB$ və $\angle ADC=\angle ABC$, çünki bu bucaqlar eyni qövslərə söykəniblər. $\triangle MXE$ və $\triangle MYH$-da $M$ təpəsindəki bucaqlar qarşılıqlı, $E$ və $H$ təpəsindəki bucaqlar isə düz bucaq olduğu üçün bərabərdir. Deməli onlar üçbucaqların oxşarlığının I əlamətinə görə oxşardır. Onda $\dfrac{x}{y}=\dfrac{x_1}{y_1}$.

Eynilə, $\triangle MXG \sim \triangle MYF$ olduğu üçün $\dfrac{x}{y} = \dfrac{x_2}{y_2}$.

$\triangle AXE \sim \triangle CYF$ olduğundan $\dfrac{x_1}{y_2}=\dfrac{AX}{CY}$.

$\triangle DXG \sim \triangle BYH$ olduğundan $\dfrac{x_2}{y_1} = \dfrac{XD}{YB}$.

Birinci iki bərabərliyi bir-birinə vursaq

$\dfrac{x^2}{y^2}=\dfrac{x_1}{y_1} \cdot \dfrac{x_2}{y_2}=\dfrac{x_1}{y_2}\cdot \dfrac{x_2}{y_1}=\dfrac{AX \cdot XD}{CY \cdot YB}$

Çevrənin vətərinin xassəsinə görə, vətərlər kəsişmə nöqtəsində mütənasib hissələrə bölünür. Yəni,

$\dfrac{AX}{PX}=\dfrac{XQ}{XD} \Rightarrow AX \cdot XD = PX \cdot XQ$

$\dfrac{CY}{YQ} = \dfrac{PY}{YB} \Rightarrow CY \cdot YB = PY \cdot YQ$

Bunları yuxarıdakı bərabərlikdə yerinə yazsaq

$\dfrac{x^2}{y^2} = \dfrac{PX \cdot XQ}{PY \cdot YQ} = \dfrac{(a-x)(a+x)}{(a-y)(a+y)} = \dfrac{a^2-x^2}{a^2-y^2}\Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow x^2(a^2-y^2)=y^2(a^2-x^2)\Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow x^2a^2-x^2y^2=y^2a^2-y^2x^2 \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow x^2a^2=y^2a^2 \Rightarrow x^2=y^2$

$x$ və $y$ məsafə olduğu üçün heç biri mənfi ola bilməz. Deməli, $x=y$.

Teorem isbat olundu.

Digər məqalələr

Çevrə və bucaqların 6 xassəsi

Kəsişən vətərlər arasındakı bucaq həmin bucağın tərəfləri arasında qalan qövslərin ölçüləri cəminin yarısına bərabərdir. Çevrəni kəsən iki düz xətt arasındakı bucaq, həmin bucağın kəsişmədə əmələ gətirdiyi böyük qövs ilə kiçik qövsün fərqinin yarısına bərabərdir.

Çevrəyə toxunan

Əgər çevrə və düz xəttin yalnız bir orta nöqtəsi varsa bu düz xəttə çevrəyə toxunan deyilir.Çevrəyə toxunan, toxunma nöqtəsindən çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.

Çevrə və Dairə

Müstəvidə verilmiş nöqtədən eyni məsafədə olan nöqtələrin əmələ gətirdiyi həndəsi fiqura çevrə deyilir. Müstəvinin çevrə ilə məhdudlaşmış hissəsinə dairə edilir.

Çevrənin və düz xəttin tənliyi

Əgər müstəvidə verilmiş fiqurun istənilən nöqtəsinin (x; y) koordinatları verilmiş tənliyi ödəyirsə bu tənliyə həmin fiqurun tənliyi deyilir. Düz xəttin tənliyi ax+by+c=0 kimidir.

Düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr

Əgər çoxbucaqlının bütün təpələri çevrə üzərindədirsə, bu çevrəyə çoxbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrə deyilir. Əgər çoxbucaqlının bütün tərəfləri çevrəyə toxunursa, bu çevrəyə çoxbucaqlı daxilinə çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə həmişə çevrə çəkmək olar.

Çevrə uzunluğu və dairənin sahəsi

Çevrə uzunluğunu və dairənin sahəsini tapmaq üçün onun daxilinə və xaricinə düzgün 6-bucaqlı çəkək. Daxilə çəkilmiş 6-bucaqlının perimetri p, sahəsi isə s, xaricə çəkilmiş 6-bucaqlını perimetri P, sahəsi isə S olsun.

Çevrə vətərinin 9 xassəsi

Çevrənin mərkəzindən eyni məsafədə olan vətərlər bərabərdir. Əgər vətərlər bərabər mərkəzi bucaqlar qarşısındadırsa onlar bərabərdir. Əgər diametr vətərə perpendikulyardırsa onun mərkəzindən keçir. Eyni vətərə eyni tərəfdən söykənən daxili bucaqlar bərabər, müxtəlif tərəflərdən söykənən bucaqların cəmi 180°-yə bərabərdir.

Daxilə çəkilmiş və mərkəzi bucaqlar

Təpəsi çevrənin mərkəzində olan bucağa mərkəzi bucaq deyilir. Təpəsi çevrə üzərində olub tərəfləri çevrənin tərəflərini kəsən bucağa daxili bucaq deyilir. Daxili bucaq söykəndiyi qövsün yarısı ilə ölçülür.