Yaranma tarixi: 18 İyul, 2017

Düzbucaqlı üçbucaq

Bucaqlardan biri düz bucaq ($90°$) olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir.

Teorem: Düzbucaqlı üçbucağın iki iti bucağının cəmi $90°$-yə bərabərdir.

İsbatı: Bunun isbatı birbaşa üçbucağın daxili bucaqlarının cəmindən çıxır. Daxili bucaqların cəmindən düz bucağın dərəcə ölçüsünü çıxsaq ($180°-90°=90°$) yerdə $90°$ qalır ki, bu da qalan iki iti bucağın cəmi olacaq.

Teorem:  Düzbucaqlı üçbucaqda 30°-li bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir.

İsbatı: Tutaq ki, $\angle B=30°$. Onda yuxarıdakı teoremə görə $\angle C=60°$. Bu üçbucağın yanına eyni üçbucağı şəkildəki kimi birləşdirsək bərabəryanlı $\triangle DBC$ alarıq. Bu üçbucağın $B$ təpəsindəki və $D$ təpəsindəki bucaqları $60°$-yə bərabərdir. Deməli $\triangle DCB$ bərabəryanlıdır. Yəni $DC=BC$. Qurmaya görə isə

$DC=2AC \Rightarrow BC=2AC \Rightarrow AC= \dfrac{BC}{2}$

Teorem: Əgər düzbucaqlı üçbucağın kateti hipotenuzun yarısına bərabərdirsə bu katet qarşısındakı bucaq $30°$-dir.

Isbatı: Tutaq ki, $AC=\dfrac{BC}{2}$. İsbat edək ki, $\angle ABC=30°$. Yuxarıdakı kimi $\triangle ABC$-nin $AB$ tərəfinə özünə bərabər üçbucaq əlavə etsək alarıq ki, $BC=DB$, $DC=2AC$. Teoremin şərtinə görə $BC=2AC$. Deməli, $DC=BC=DB$ . Yəni $\triangle DBC$ bərabərtərəflidir.

Bilirik ki, bərabəryanlı üçbucağın oturacağa bitişik bucaqları bərabərdir. Bərabərtərəfli üçbucaqda isə istənilən bucağa oturacağa bitişik bucaq kimi baxmaq olar. Ona görə bərabərtərəfli üçbucağın bütün bucaqları bərabərdir. Yəni $180°/3=60°$. Deməli $\angle DBC=60°$. Qurmaya görə

$\angle ABC= \dfrac{\angle DBC}{2}=\dfrac{60°}{2}=30°$.

Teorem: Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük onu iki oxşar üçbucağa ayırır ki, bunların hər biri verilən üçbucağa oxşardır.

İsbatı: $\triangle ABC$-də $B$ təpəsindən $AC$ hipotenuzuna $AD$ perpendikulyarı endirsək, tərəfləri qarşılıqlı perpendikulyar bucaqlar alarıq. $\angle BAD$ və $\angle CBD$ tərəfləri perpendikulyar olan bucaqlar olduğu üçün bərabərdirlər. $D$ təpəsindəki bucaqlar isə düz bucaqdır. Onda üçbucaqların oxşarlığının birinci əlamətinə görə $\triangle ABD \sim \triangle BCD$.

$\triangle ABC$ və $\triangle ADB$-də $\angle A$ ortaqdır  və hər iki üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdır. Deməli, bu üçbucaqlar da oxşardır ($\triangle ABC \sim \triangle ADB$).

Eynilə $\triangle ABC \sim \triangle BDC$.

Nəticə: Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən endirilən hündürlük hipotenuzu katetlərlə mütənasıb hissələrə bölür.

Düzbucaqlı üçbucaqların bərabərlik əlamətləri

1. Əgər düzbucaqlı üçbucaqların katetləri bərabərdirsə bu üçbucaqlar bərabərdir.
   İsbatı üçbucaqların bərabərliyinin birinci əlamətindən alınır.
2. Əgər bir düzbucaqlı üçbucağın kateti və ona bitişik bucaq digər düzbucaqlı üçbucağın kateti və ona bitişik bucağa bərabərdirsə bu üçbucaqlar bərabərdir.
   İsbatı üçbucaqların bərabərliyinin ikinci əlamətindən alınır.
3. Əgər bir düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu və iti bucağı digər düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu və iti bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar bərabərdir.
   Yuxarıdakı teoremə görə bir iti bucaq bərabərdirsə digər iti bucaq da bərabər olacaq. Deməli, üçbucaqların bərabərliyinin ikinci əlamətinə görə bu üçbucaqlar bərabərdir.
4. Əgər düzbucaqlı üçbucaqların hipotenuzu və bir kateti bərabərdirsə bu üçbucaqlar bərabərdir.
   Bu əlaməti isbat etməyə ehtiyac var.

Tutaq ki, $\triangle ABC$ və $\triangle A_1B_1C_1$-də $C$ və $C_1$ təpəsindəki bucaqlar $90°$-dir. $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$. İsbat edək ki, bu üçbucaqlar bərabərdir.

$\angle C=\angle C_1$ olduğu üçün $\triangle ABC$-ni $\triangle A_1B_1C_1$ üzərinə elə yerləşdirə bilərik ki, $C$ təpəsi $C_1$ təpəsi üzərinə düşsün və $CA$ tərəfi $C_1A_1$, $CB$ tərəfi isə $C_1B_1$ şüaları üzərində olsun. $BC=B_1C_1$ olduğu üçün bu tərəflər tam üst-üstə düşəcək.

Tutaq ki, $A$ və $A_1$ təpələri üst-üstə düşmədi. Onda $A$ təpəsinin düşdüyü yeri $A_2$ ilə işarə etsək $A_1B_1A_2$ bərabəryanlı üçbucağı alarıq ki, oturacaqdakı $A_1$ və $A_2$ bucaqları fərqlidir. Şəkildən görünür ki, $A_1$ kor, $A_2$ isə iti bucaqdır. Bu da bərabəryanlı üçbucağın oturacağa bitişik bucaqlarının bərabər olması xassəsinə ziddir.

Deməli $A$ təpəsi də $A_1$ təpəsi üzərinə düşməlidir. Aldıq ki, $\triangle ABC$ bütünlüklə $\triangle A_1B_1C_1$ üzərinə düşür.

Digər məqalələr

Düzbucaqlı üçbucağın xassələri

Düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük, katetlərin hipotenuz üzərindəki proyeksiyalarının həndəsi ortasıdır. Düzbucaqlı üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu onun katetlərinin cəmi ilə hipotenuzun fərqinin yarısına bərabərdir.

Pifaqor teoremi

Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun yarımperimetri ilə hər bir katetin ayrı-ayriliqda fərqinin hasilinə bərabərdir. Bu sahə həm də üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu ilə bu radiusun hipotenuz ilə cəminin hasilinə bərabərdir. Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrənin hipotenuza toxunma nöqtəsində onu böldüyü hissələrin uzunluqları hasili də sahəni verir.