Yaranma tarixi: 30 Yanvar, 2019

Düzbucaqlı üçbucağın xassələri

üçbucaq xassə

 

Düzbucaqlı üçbucağa xas olan bir-neçə xassəni isbat etməyə çalışaq. Ona görə əvvəlcə bizə məlum olan teorem və tərifləri xatırladaq. Çünki bu faktların vasitəsilə düzbucaqlı üçbucağı həll edəcəyik. Tutaq ki, düzbucaqlı üçbucaq şəkildəki kimi olub katetləri $a$ və $b$, hipotenuzu isə $c$-dir. $a$ kateti qarşısındakı bucaq $\alpha$, $b$ kateti qarşısındakı bucaq $\beta$ ilə işarə edilib. Düz bucaq təpəsindən hündürlük endirilib.

Xassə 1: Düzbucaqlı üçbucaqların həllində Pifaqor teoremini sözsüz ki, ən vacib fakt kimi birinci qeyd etmək lazımdır. Bu teoremin isbatına burada baxa bilərsiniz.

$c^2 = a^2 + b^2$

Xassə 2: Sinus və kosinusun tərifinə görə düzbucaqlı üçbucağı aşağıdakı düsturlarla həll etmək olar.

$c=\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{a}{\cos \beta} = \dfrac{b}{\cos \alpha} = \sqrt {a^2+b^2}\\[15pt]
b=c \cdot \cos \alpha = c\cdot \sin \beta = a \cdot \mbox{tg} \beta = a \cdot \mbox{ctg} \alpha\\
a=c \cdot \sin \alpha = c\cdot \cos \beta = b \cdot \mbox{tg} \alpha = b \cdot \mbox{ctg} \beta $

Xassə 3: Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən endirilmiş hündürlüyü onu iki oxşar üçbucağa bölür. Bu üçbucaqlarla əsas üçbucağın perimetrləri, medianları, hündürlükləri, tənbölənləri, daxilə və xaricə çəkilmiş çevrələri arasında aşağıdakı qanunauyğunluq var.

$l_{ABC} = l_{CBD}^2 + l_{ACD}^2$

Burada $l$ yuxarıda adları çəkilən xətti elementlərdən hər biri ola bilər.

İsbatı: Alınan düzbucaqlı üçbucaqların ilkin verilən üçbucağa oxşarlığı birbaşa olaraq üçbucaqların oxşarlığının birinci əlamətindən çıxır. Ona görə birbaşa keçək teoremin ikinci hissəsinə. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi,

$c^2 = a^2+b^2$

$c$ əsas üçbucağın hipotenuzu, $a$ və $b$ isə bu üçbucağın katetləri olmaqla yanaşı, həm də uyğun olaraq $\triangle CBD$ və $\triangle ACD$-nin hipotenuzlarıdır. Oxşar üçbucaqların xassələrini yada salsaq ixtiyari xətti element üçün

$\dfrac{a}{l_{CBD}} = \dfrac{c}{l_{ABC}} \Rightarrow a=\dfrac{c}{l_{ABC}} \cdot l_{CBD}\\[15pt]
\dfrac{b}{l_{ACD}} = \dfrac{c}{l_{ABC}} \Rightarrow b=\dfrac{c}{l_{ABC}} \cdot l_{ACD}$

Bunları Pifaqor teoremində yerinə yazsaq:

$c^2 = \dfrac{c^2}{l_{ABC}^2} \left( l_{CBD}^2 + l_{ACD} ^2 \right) \Rightarrow l_{ABC} = l_{CBD}^2 + l_{ACD}^2$

Xassə 4: Düz bucaq təpəsindən çəkilmiş hündürlük hipotenuzu $c_a$ və $c_b$ parçalarına bölür ki, bu parçalara katetlərin hipotenuz üzərində proyeksiyaları deyilir. Həmin proyeksiyalar üçün aşağıdakı bərabərliklər doğrudur.

$c_a = \dfrac{a^2}{c}, \ c_b = \dfrac{b^2}{c}$

İsbatı: Bu xassənin isbatı birbaşa olaraq alınan $ABC$ və $CBD$ üçbucaqlarının oxşarlığından çıxır.

$\dfrac{a}{c_a} = \dfrac{c}{a} \Rightarrow c_a = \dfrac{a^2}{c}$

Eynilə $\triangle ABC \sim \triangle ACD$ olduğundan

$\dfrac{b}{c_b} = \dfrac{c}{b} \Rightarrow c_b = \dfrac{b^2}{c}$

Xassə 5: Düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük, katetlərin hipotenuz üzərindəki proyeksiyalarının həndəsi ortasına bərabərdir.

$h=\sqrt{c_a \cdot c_b}$

İsbatı: Hündürlüyü $\triangle BCD$-dən $\beta$ bucağının tangensi vasitəsilə ifadə edək.

$h=c_a \cdot \mbox{tg} \beta$

Həmin hündürlüyü $\triangle ACD$-dən $\alpha$ bucağının tangensi ilə ifadə edək.

$h=c_b \cdot \mbox{tg} \alpha$

Bu iki bərabərliyi bir-birinə vursaq,

$h^2 = c_a \cdot c_b \cdot \mbox{tg} \alpha \cdot \mbox {tg} \beta$

$\alpha + \beta = \dfrac{\pi}{2}$ olduğu üçün tangens funksiyasının çevrilməsi düsturuna görə

$h^2 = c_a \cdot c_b \cdot \mbox{tg} \alpha \cdot \mbox {tg} \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha \right)=\\[15pt]
= c_a \cdot c_b \cdot \mbox{tg} \alpha \cdot \mbox {ctg} \alpha = c_a c_b\\[15pt]
h=\sqrt {c_a \cdot c_b}$

Xassə 6: Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən çəkilən median hipotenuzun yarısına bərabərdir. Bu medianın oturacağı üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi, uzunluğu bu çevrənin radiusu, hipotenuzu isə diametridir.

Bu xassə teorem şəklində "Üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə" məqaləsində isbat edilib.

Xassə 7: Düzbucaqlı üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu onun katetlərinin cəmi ilə hipotenuzun fərqinin yarısına bərabərdir.

$r=\dfrac{a+b-c}{2}$

İsbatı: Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi üçün isbat etdiyimiz düstura görə,

$S=r \cdot (r+c)$

Digər tərəfdən ixtiyarı üçbucağın sahəsi onun daxilinə çəkilmiş çevrə ilə belə ifadə olunur.

$S=r \cdot \dfrac{a+b+c}{2}$

Bu iki düsturu bərabərləşdirsək, aşağıdakı ifadəni alarıq.

$r \cdot (r+c)= r \cdot \dfrac{a+b+c}{2}\\[15pt]
r=\dfrac{a+b+c}{2}-c\\[15pt]
r=\dfrac{a+b-c}{2}$

Xassə isbat olundu.

Xassə 8: Düzbucaqlı üçbucağın sahəsini aşağıdakı düsturlarla hesablamaq olar.

$S=\dfrac{1}{2} ab, \ S=\dfrac{1}{2}c^2 \sin \alpha \sin \beta, \\[15pt]
S=\dfrac{1}{2}c^2 \sin \alpha \cos \alpha, \ S=\dfrac{1}{2}c^2 \sin \beta \cos \beta, \\[15pt]
S=\dfrac{1}{2}a^2 \mbox{tg} \beta, \  S=\dfrac{1}{2}a^2 \mbox{ctg} \alpha, S=\dfrac{1}{2}b^2 \mbox{tg} \alpha,  S=\dfrac{1}{2}b^2 \mbox{ctg} \beta$

Bu düsturların bir hissəsi düzbucaqlı üçbucağın sahə düsturları verilərkən isbat olunub. Yerdə qalanları isə $\beta = \dfrac{\pi}{2}- \alpha$ nəzərə alınmaqla asanlıqla triqonometrik funksiyaların çevrilməsindən alınır.

Digər məqalələr