Yaranma tarixi: 01 Dekabr, 2017

Daxilə çəkilmiş və mərkəzi bucaqlar

Təpəsi çevrənin mərkəzində olan bucağa mərkəzi bucaq deyilir. Bu bucağın qarşısındakı qövs həmin bucağın dərəcə ölçüsü ilə ölçülür. Həmin qövsə mərkəzi bucağın söykəndiyi və ya gərdiyi qövs deyilir. Şəkildə $\angle AOB$-nin söykəndiyi qövs $AMB$-dir.

Təpəsi çevrə üzərində olub tərəfləri çevrənin tərəflərini kəsən bucağa daxili bucaq deyilir. $\angle ANB$-yə $\smile AMB$ uyğun gəlir.

Teorem: Daxili bucaq söykəndiyi qövsün yarısı ilə ölçülür.

İsbati: İsbatı üç hal üçün ayrı-ayrılıqda aparacağıq.

1) Tutaq ki, daxili bucağın bir tərəfi diametr ilə üst-üstə düşür. Şəkildə daxili bucaq $ABC$-dir. $AOC$ isə mərkəzi bucaqdır, yəni $\angle AOC=\smile AC$.

$\angle AOC$ isə $\triangle AOB$-nin $O$ təpəsindəki xarici bucağı olduğundan iki digər daxili bucağın cəminə bərabərdir.

$\angle AOC = \angle ABO + \angle BAO$

$\triangle AOB$ bərabəryanlıdır. Deməli $\angle ABO = \angle BAO$. Bu isə o deməkdir ki,

$\angle ABO = \dfrac {\angle AOC}{2} = \dfrac{\smile AC}{2}$

2) Indi tutaq ki,$\angle ABC$-nin tərəfləri diametrə nəzərən müxtəlif yarımçevrələrdə yerləşir. Onda indicə isbat etdiyimizə görə $\angle ABD = \dfrac {\smile AD}{2}$ və $\angle DBC = \dfrac{\smile DC}{2}$.

$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \dfrac{\smile AD+\smile DC}{2} = \dfrac {\smile AC}{2}$

3) İndi $\angle ABC$ diametrə nəzərən tamamilə eyni yarımçevrədə qalan hala baxaq. Şəkildən görünür ki,

$\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD$

Yenə də birinci halda isbat etdiyimizə görə $\angle ABD = \dfrac{\smile AD}{2}$;  $\angle CBD = \dfrac{\smile CD}{2}$.

$\angle ABC = \dfrac{\smile AD}{2} - \dfrac{\smile CD}{2} = \dfrac{\smile AD-\smile CD}{2} = \dfrac{\smile AC}{2}$

Teorem bütünlüklə isbat olundu.

Teorem: Əgər çevrənin iki vətəri kəsişirsə, birinci vətərin kəsişmədə alınan hissələrinin hasili, ikinci vətərin hissələrinin hasilinə bərabərdir.

İsbatı: Şəkildəki $AB$ və $CD$ vətərlərinin kəsişməsindən iki üçbucaq alınır. Onların $E$ təpəsindəki bucaqları qarşiliqli bucaqlar olduğundan bərabərdir.

Digər tərəfdən $\angle ACD = \angle ABD$. Çünki bu bucaqlar eyni qövsə söykənib. Deməli, üçbucaqların oxşarlığının birinci əlamətinə görə $\triangle AEC \sim \triangle DEB$. Yəni,

$\dfrac{AE}{DE} = \dfrac{CE}{BE}  \Rightarrow AE \cdot BE = DE \cdot CE$

Teorem isbat olundu.  

Digər məqalələr

İkiqat və üşqat bucağın triqonometrik funksiyaları

$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\mbox{tg} 2x$, $\mbox{ctg} 2x$, $\sin 3x$, $\cos 3x$, $\mbox{tg}3x$, $\mbox{ctg}3x$ ikiqat və üçqat bucaqların triqonometrik düsturlarını çıxarmaq üçün cəmin triqonometrik funksiya düsturlarından istifadə edəcəyik.

Çevrə və bucaqların 6 xassəsi

Kəsişən vətərlər arasındakı bucaq həmin bucağın tərəfləri arasında qalan qövslərin ölçüləri cəminin yarısına bərabərdir. Çevrəni kəsən iki düz xətt arasındakı bucaq, həmin bucağın kəsişmədə əmələ gətirdiyi böyük qövs ilə kiçik qövsün fərqinin yarısına bərabərdir.

Bucaqlar

Müstəvidə bir nöqtədən çıxan iki şüanın əmələ gətirdiyi fiqura bucaq deyilir. Həmin nöqtəyə bucağın təpəsi, şüalara isə tərəfləri deyilir. Bucaqları dərəcə və ya radianla ölçürlər.

Tangenslərin cəmi və hasili

Əgər $\alpha + \beta+ \gamma = \pi$ olarsa bu bərabərlik doğrudur: $\mbox{tg} \alpha + \mbox{tg} \beta + \mbox{tg} \gamma = \mbox{tg} \alpha \ \mbox{tg} \beta \ \mbox{tg} \gamma$

Fales teoremi

Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Kəpənək teoremi

Tutaq ki, M nöqtəsi çevrənin PQ vətərinin orta nöqtəsidir. Həmin M nöqtəsindən iki AB və CD vətərləri çəkək. AD parçasının PQ vətərini kəsən nöqtəni X, BC parçasının PQ vətərini kəsən nöqtəni Y ilə işarə edək. Onda M nöqtəsi XY parçasının da orta nöqtəsi olacaq.

Çevrəyə toxunan

Əgər çevrə və düz xəttin yalnız bir orta nöqtəsi varsa bu düz xəttə çevrəyə toxunan deyilir.Çevrəyə toxunan, toxunma nöqtəsindən çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.

Çevrə və Dairə

Müstəvidə verilmiş nöqtədən eyni məsafədə olan nöqtələrin əmələ gətirdiyi həndəsi fiqura çevrə deyilir. Müstəvinin çevrə ilə məhdudlaşmış hissəsinə dairə edilir.

Çevrənin və düz xəttin tənliyi

Əgər müstəvidə verilmiş fiqurun istənilən nöqtəsinin (x; y) koordinatları verilmiş tənliyi ödəyirsə bu tənliyə həmin fiqurun tənliyi deyilir. Düz xəttin tənliyi ax+by+c=0 kimidir.

Düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr

Əgər çoxbucaqlının bütün təpələri çevrə üzərindədirsə, bu çevrəyə çoxbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrə deyilir. Əgər çoxbucaqlının bütün tərəfləri çevrəyə toxunursa, bu çevrəyə çoxbucaqlı daxilinə çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə həmişə çevrə çəkmək olar.

Çevrə uzunluğu və dairənin sahəsi

Çevrə uzunluğunu və dairənin sahəsini tapmaq üçün onun daxilinə və xaricinə düzgün 6-bucaqlı çəkək. Daxilə çəkilmiş 6-bucaqlının perimetri p, sahəsi isə s, xaricə çəkilmiş 6-bucaqlını perimetri P, sahəsi isə S olsun.

Çevrə vətərinin 9 xassəsi

Çevrənin mərkəzindən eyni məsafədə olan vətərlər bərabərdir. Əgər vətərlər bərabər mərkəzi bucaqlar qarşısındadırsa onlar bərabərdir. Əgər diametr vətərə perpendikulyardırsa onun mərkəzindən keçir. Eyni vətərə eyni tərəfdən söykənən daxili bucaqlar bərabər, müxtəlif tərəflərdən söykənən bucaqların cəmi 180°-yə bərabərdir.