Yaranma tarixi: 16 Dekabr, 2017

Çevrə uzunluğu və dairənin sahəsi

çevrə sahə

 

Çevrə uzunluğu

Çevrə uzunluğunu tapmaq üçün onun daxilinə və xaricinə düzgün 6-bucaqlı çəkək. Daxilə çəkilmiş düzgün 6-bucaqlının perimetrini $p$, xaricə çəkilmiş düzgün 6-bucaqlını perimetrini isə $P$ ilə işarələyək. Çevrənin radiusu $r$ olsun.

Şəkil 1

Əvvəl daxilə çəkilmiş 6-bucaqlıya baxaq. Hər bir 6-bucaqlını 6 ədəd üçbucağa bölə bilərik. Alınan üçbucaqların oturacaqlarının uzunluqları cəmi 6-bucaqlının perimetrini verir. Bu üçbucaqların yan tərəfləri radiusa bərabər olduğu üçün onlar bərabəryanlıdır. Oturacaqları isə 6-bucaqlının tərəfləri olduğu üçün bərabərdir. Deməli bu bərabəryanlı üçbucaqlar, üçbucaqların bərabərliyinin 3-cü əlamətinə görə bərabərdir. Yəni bir üçbucağın oturacağını tapıb 6-ya vurmaq kifayətdir ki, altıbucaqlının perimetrini tapaq.

Bu üçbucaqlardan birinin hündürlüyünü çəksək həmin hündürlük həm də median olacaq. Deməli onu iki bərabər düzbucaqlı üçbucağa böləcək. Nəticədə 6-bucaqlının perimetri artıq 6 yox, 12 ədəd üçbucağın oturacaqları cəminə bərabər olacaq.

İndi bu deyilənlər vasitəsilə daxilə çəkilən düzgün altıbucaqlının perimetrini tapaq. Şəkildə göstərilən mərkəzi bucaq ($\alpha$) tam bucağın (360°) $\dfrac{1}{6}$ hissəsinə bərabərdir. Deməli 6-bucaqlı halı üçün $$\alpha = \dfrac{360°}{6} = 60°$$ Bir də bilirik ki, düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu $r$-ə bərabərdir. Onda sinusin tərifinə görə $\dfrac{\alpha}{2}$ bucağının qarşısındakı katet $r \cdot sin\dfrac{\alpha}{2}$ olacaq. Üçbucaqların sayı 12 dənə, yəni çoxbucaqlının tərəfləri sayından 2 dəfə çox olduğu üçün, bu uzunluğu 12-yə vuracağıq.

$ p=6 \cdot 2r \ sin \dfrac{360°}{6 \cdot 2} = 6 \cdot 2r \ sin 30° = 2r \cdot \dfrac{6}{2} = 2r \cdot 3$

Şəkil 2

Eyni mülahizəni çevrə xaricinə çəkilmiş 6-bucaqlı üçün də apara bilərik. Burada fərq ondadır ki, çevrənin radiusu artıq düzbucaqlı üçbucaqların hipotenuzu deyil, kateti olacaq. Bu üçbucaqlarda təpə bucaqları və bitişik katetlər bərabər olduğundan, onlar hamısı düzbucaqlı üçbucağın bərabərlik əlamətinə görə bir-birinə bərabərdir.

Onda qarşı katet bitişik katet ilə $\dfrac{\alpha}{2}$ bucağının tangensi hasilinə bərabər olacaq $(r \cdot tg \dfrac{\alpha}{2})$. Eyni qayda ilə

$P=6 \cdot 2r \ tg \dfrac{360°}{6 \cdot 2} = 6\cdot 2r \ tg 30° =$
$= 2r \cdot \dfrac{6 \sqrt{3}}{3} = 2r \cdot 3,46$

Bizə lazım olan çevrənin uzunluğunu $c$ ilə işarə etsək, bu uzunluq tapılan $p$ və $P$ perimetrləri arasında olacaq.

$2r \cdot 3 < c < 2r \cdot 3,46$

Yuxarıdakı düsturları ümumiləşdirsək görərik ki, çoxbucaqlının bucaqları artdıqca dəyişən yalnız mərkəzi bucaq və düzbucaqlı üçbucaqların sayı olacaq. Yəni üçbucaqların sayı $2n$, onların təpə bucaqlarının ölçüsü isə $\dfrac{360°}{2n}$ olacaq. Daxilə və xaricə çəkilmiş çoxbucaqlıların perimetri isə $c$-yə yaxınlaşacaq. Bu dustluları n-bucaqlı halı üçün yazaq.

$p=2rn \ sin \dfrac{360°}{2n}; \ P=2rn \ tg \dfrac{360°}{2n}$

Bu iki qiyməti 1000-bucaqlı üçün hesablayaq.

$p=2r \cdot 1000 \ sin \dfrac{360°}{2000} \approx  2r \cdot 3,141587$
$P=2r \cdot 1000 \ tg \dfrac{360°}{2000} \approx 2r \cdot 3,141603$
$2r \cdot 3,141587 <c<2r \cdot 3,141603$

Eyni hesablamanı 10000-bucaqlı üçün aparsaq aşağıdakı qiymətləri alarıq.

$2r \cdot 3,141592602 <c<2r \cdot 3,141592757$

Gördüyünüz kimi bucaqların sayı artdıqca daxilə və xaricə çəkilmiş çoxbucaqlıların perimetri bir-birinə yaxınlaşır. Bu bərabərsizlikdə təkcə dəyişən bir ədəd var ki, onu da $\pi$ ilə işarə etsək, çevrənin uzunluğu üçün aşağıdakı düsturu alarıq.

$c=2 \pi r$

Sadəlik üçün $\pi \approx 3,14$ götürülür.

Dairənin sahəsi

Yenə şəkil 1-ə baxaq. Eynilə çevrə uzunluğunu taparkən istifadə etdiyimiz vasitə ilə daxilə çəkilmiş düzgün n-bucaqlının sahəsini tapaq. Daxilə çəkilmiş n-bucaqlının sahəsini $s_n = n \cdot s_{\triangle}$ işarə etsək $s_{\triangle}$ sinus vasitəsilə belə tapıla bilər.

$s_{\triangle} = \dfrac{r^2}{2} sin \alpha =  \dfrac{r^2}{2} sin \dfrac{360°}{n}$

Burada üçbucağın tərəfləri $r$, bu tərəflər arasındakı bucaq isə $\alpha$-dır. n-bucaqlının sahəsi yuxarıdakı düstura görə belə hesablanacaq.

$s_n = \dfrac{n}{2} r^2 \ sin \dfrac{360°}{n}$

Xaricə çəkilmiş n-bucaqlının sahəsini $S_n = n \cdot S_{\triangle}$ işarə edək. Burada $S_{\triangle}$  başqa yolla tapılacaq. Bizə məlumdur ki n-bucaqlı xaricə çəkilərsə, alınan üçbucaqların hündürlüyü $r$-ə bərabər olacaq (şəkil 3). Oturacağı isə üçbucağın təpə bucağının yarısı və hündürlük ilə tapa bilərik.

$\dfrac {a}{2} = r \ tg \dfrac{\alpha}{2}; \ \alpha = \dfrac{360°}{n}$

Onda aşağıdakı sahə düsturunda $\dfrac{a}{2}$ qiymətini yerinə yazsaq

$S_{\triangle} = \dfrac{a}{2} \cdot r = r^2 \ tg \dfrac{\alpha}{2}$
$S_n = nr^2 \ tg \dfrac{\alpha}{2} = nr^2 \ tg \dfrac{360°}{2n}$

Bizə lazım olan $S$ sahəsi

$s_n < S < S_n$
$\dfrac{n}{2} r^2 \ sin \dfrac{360°}{n} < S < nr^2 \ tg \dfrac {360°}{2n}$
$r^2 \cdot \dfrac{n}{2} \ sin \dfrac{360°}{n} < S < r^2 \cdot n \ tg \dfrac{360°}{2n}$

$n=1000$ halı üçün

$r^2 \cdot  3,141572 < S < r^2 \cdot 3,141602$

$n=10000$ halı üçün

$r^2 \cdot  3,141592447 < S < r^2 \cdot 3,141592757$

Görürük ki, $n$ artdıqca yenə sağ və sol tərəfdəki ədəd bayaqkı $\pi$-yə yaxınlaşır. Onda dairənin sahəsini də $\pi$ vasitəsilə belə ifadə edə bilərik.

$S=\pi r^2$

Digər məqalələr