Naviqator


Arxiv

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201955
20234

Yaranma tarixi:

sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b), cos(a-b)


triqonometriya

 

$\sin (\alpha \pm \beta)$ və $\cos(\alpha \pm \beta)$ məktəb triqonometriyasından başlayaraq, sonra da institut kursunda ən çox rast gəlinən düsturlardandır. Bu düsturların açılışı trivial olmadığı üçün adı çəkilən mövzuya məqalə həsr etmək qərarına gəldik.

üçbucaq

İlk öncə bu şəklə nəzər salaq. Bütün çıxarışlar bu qrafikin üzərində gedəcək. Şəkildə iki düzbucaqlı üçbucaq var. $\triangle ABC$ və $\triangle ACD$.

Əvvəl $\sin(\alpha + \beta)$ çıxarılışına baxaq.


$(1)$
$ \sin(\alpha + \beta) = \dfrac{DF} {AD} = \dfrac {DF} {R} = \dfrac {DE+EF} {R}$

 

$EF$ isə $BC$ ilə eynidir, çünki düzbucaqlının qarşı tərəfləridir. $BC$ isə öz növbəsində belə tapılır.


$(2)$
$\sin \alpha = \dfrac{BC} {AC} \Rightarrow BC = AC \cdot \sin \alpha \Rightarrow EF = AC \cdot \sin \alpha$

$\angle CDE = \angle BAC = \alpha$, çünki bunlar tərəfləri perpendikulyar olan bucaqlardır. İndi $DE$-ni tapmağa çalışaq.


$(3)$
$\cos \alpha = \dfrac {DE} {DC} \Rightarrow DE = DC \cdot \cos \alpha$

(2) və (3) düsturlarını (1)-də yerinə yazsaq:


$(4)$
$\sin (\alpha + \beta) = \dfrac {DE+EF} {R} = \dfrac{DC\cdot \cos \alpha + AC \cdot \sin \alpha} {R}$

Indi $DC$ və $AC$-ni $R$ vasitəsilə ifadə edək.


$(5)$
$\sin \beta = \dfrac{DC}{R} \Rightarrow DC = R \cdot \sin \beta; \ \cos \beta = \dfrac {AC}{R} \Rightarrow AC = R \cdot \cos \beta $

Bu ifadələri də (4) düsturunda yerinə yazsaq:



$(6)$
$\sin (\alpha +\beta) = \dfrac{DC\cdot \cos \alpha + AC \cdot \sin \alpha} {R} = \\[15pt] = \dfrac {R \cdot \sin \beta \ \cos \alpha + R \cdot \cos \beta \ \sin \alpha} {R} = \dfrac {(\sin \beta \ \cos \alpha + \cos \beta \ \sin \alpha)R} {R} = \\[15pt] = \sin \beta \ \cos \alpha + \cos \beta \ \sin \alpha \\[15pt] \mathbf{\sin (\alpha +\beta) = \sin \alpha \ \cos \beta + \cos \alpha \ \sin \beta}$

Onda

$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \ \cos (-\beta) + \cos \alpha \ \sin (-\beta)$

Kosinus cüt funksiya olduğundan $\cos (-\beta) = \cos \beta$, amma sinus tək funksiyadır. Ona görə $\sin(-\beta) = -\sin \beta$. Nəticədə aşağıdakı düsturu alırıq.

$\mathbf{\sin (\alpha -\beta) = \sin \alpha \ \cos \beta - \cos \alpha \ \sin \beta}$

Eyni qayda ilə $\cos(\alpha + \beta)$ çıxarılışına baxaq.

$\cos(\alpha +\beta) = \dfrac{AF}{AD} = \dfrac{AF}{R} = \dfrac{AB-FB}{R} = \dfrac{AB-EC}{R}$

Qrafikdən görünür ki,

$AB = AC \cdot \cos \alpha = R \ \cos\beta \ \cos \alpha\\[15pt] EC = DC \cdot \sin \alpha = R\ \sin \beta \ \sin \alpha\\[15pt] \cos(\alpha +\beta) = \dfrac {AB-EC}{R} = \dfrac {R \ \cos\beta \ \cos\alpha - R \ \sin\beta \ \sin \alpha}{R} = \cos\beta \ \cos\alpha - \sin\beta \ \sin \alpha \\[15pt] \mathbf{\cos(\alpha +\beta) = \cos \alpha \ \cos\beta - \sin \alpha \ \sin \beta}$

Yenə də

$ \mathbf{\cos(\alpha -\beta) = \cos \alpha \ \cos(-\beta) - \sin \alpha \ sin (-\beta) = \cos \alpha \ \cos\beta + \sin \alpha \ \sin \beta} $

Digər məqalələr

İkiqat və üşqat bucağın triqonometrik funksiyaları

$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\mbox{tg} 2x$, $\mbox{ctg} 2x$, $\sin 3x$, $\cos 3x$, $\mbox{tg}3x$, $\mbox{ctg}3x$ ikiqat və üçqat bucaqların triqonometrik düsturlarını çıxarmaq üçün cəmin triqonometrik funksiya düsturlarından istifadə edəcəyik.

Triqonometrik funksiyaların çevrilmə qaydaları

Əgər triqonometrik funksiyanın arqumenti özündə $n \dfrac {\pi}{2}$ saxlayırsa, yəni bucaq $n \dfrac {\pi}{2} + \alpha$ və ya $n \dfrac {\pi}{2}-\alpha$ şəklində göstərilibsə onda $n$-in tək və cütlüyündən asılı olaraq iki hal mümkündür. Əgər $n$ tək ədəddirsə, onda $n \dfrac {\pi}{2}$-ni arqumentdən götürüb funksiyanı onun "konfunksiyasına" çevirə bilərik.

Əsas triqonometrik bərabərliklər

Bu məqalədə əsas triqonometrik bərabərliklər göstərilir və hər biri ayrı-ayrılıqda izah edilir.

tg(a)+tg(b), tg(a)-tg(b), ctg(a)+ctg(b), ctg(a)-ctg(b)

$\mbox{tg} \alpha + \mbox{tg}\beta$, $\mbox{tg} \alpha - \mbox{tg}\beta$, $\mbox{ctg} \alpha + \mbox{ctg}\beta$, $\mbox{ctg} \alpha - \mbox{ctg}\beta$ cəm və fərqlərini $\sin$ və $\cos$ nisbəti ilə ifadə edək. Bunun üçün əsas triqonometrik bərabərlikərdən istifadə edəcəyik.

Yarım bucağın triqonometrik funksiyaları

Yarım bucağın triqonometrik düsturları ikiqat bucağın kosinusu üçün olan düsturlara əsaslanır.

Tangenslərin cəmi və hasili

Əgər $\alpha + \beta+ \gamma = \pi$ olarsa bu bərabərlik doğrudur: $\mbox{tg} \alpha + \mbox{tg} \beta + \mbox{tg} \gamma = \mbox{tg} \alpha \ \mbox{tg} \beta \ \mbox{tg} \gamma$

tg(a+b), tg(a-b), ctg(a+b), ctg(a-b)

$\mbox{tg}(\alpha+\beta)$, $\mbox{tg}(\alpha-\beta)$, $\mbox{ctg}(\alpha+\beta)$ və $\mbox{ctg}(\alpha-\beta)$ ifadələrini açaraq nisbət şəlində göstərək.

sin(a)+sin(b), sin(a)-sin(b), cos(a)+cos(b), cos(a)-cos(b)

$\sin \alpha + \sin \beta$, $\sin \alpha-\sin \beta$, $\cos \alpha+\cos \beta$, $\cos \alpha-cos \beta$ cəm və fərqlərini hasil ilə ifadə edək. Bunun üçün $\alpha$ və $\beta$-ya belə bir əvəzləmə aparaq.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.