Yaranma tarixi: 07 Mart, 2018

Apolloniy teoremi

Qədim yunan riyaziyyatçısı Perqalı Apollonius (262 b.e.ə. – 190 b.e.ə.) bizim eradan əvvəl III əsrdə yaşamışdır. Evklid və Arximed kimi o da antik dövrün məşhur həndəsə alimlərindən sayılır. Apolloniy (və ya Apollonius) özünün 8 cildlik “Konik kəsiklər” kitabı ilə məşhurlaşmışdır. Bu kitabda o ellips, hiperbola və parabolanın ümumi nəzəriyyəsini vermişdir. Ümumiyyətlə bu əyrilərin adlarını birinci dəfə Apollonius vermişdir.

Bu məqalədə onun üçbucağın medianına aid olan teoremini veririk.

Teorem: Tutaq ki, $ABC$ üçbucağının $AD$ medianı çəkilib. Onda aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2+BD^2)$

Əgər $\triangle ABC$ bərabəryanlı olsa $(AB=AC)$, onda $AD \perp BC$ olacaq və bu teorem Pifaqor teoreminə çevriləcək. Hazırda isə bu teorem Stüart teoreminin xüsusi halıdır. Biz isə burada tam başqa bir isbat verəcəyik.

İsbatı: Rahat olmaq üçün tərəfləri şəkildəki kimi işarələyək. Onda yan tərəflər ($B$ təpəsinin qarşısındakı tərəf) $b$ və ($C$ təpəsinin qarşısındakı tərəf) $c$, oturacaq ($A$ təpəsinin qarşısındakı tərəf) $a$, onun bərabər hissələri isə $m$ olsun. Medianı isə $d$ ilə işarə edək. Medianın oturacaqla əmələ gətirdiyi bucaqları $\theta$ və $\theta '$ işarə edək. $\theta + \theta' = 180°$ olduğu üçün $cos \theta = -\ cos \theta'$.

$b$ və $c$ tərəflərini Kosinuslar teoremi ilə tapaq.

$c^2 = m^2+d^2 -2md \ cos \theta\\
b^2 = m^2+d^2 – 2md \ cos \theta' = m^2+d^2+2md \ cos \theta$

Bu iki bərabərliyi toplasaq

$b^2+c^2 = 2m^2+2d^2=2(m^2+d^2)$

Bu da teoremdəki bərabərlikdir. Teorem isbat olundu.

Digər məqalələr

Dezarq teoremi

Əgər iki üçbucağın cüt-cüt təpə nöqtələrini birləşdirən düz xətlər bir nöqtədə kəsişərsə və ya bu düz xətlərin üçü də paralel olarsa, onsa bu üşbucaqların həmin təpələrə uyğun tərəflərinin uzantıları kəsişirsə, bu kəsişmə nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Menelay teoremi

Tutaq ki, düz xətt ABC üçbucağını kəsir. Bu xətt AB tərəfini C1, BC tərəfini A1, AC tərəfinin uzantısını isə B1 nöqtəsində kəsirsə, AC1/C1B, BA1/A1C və CB1/B1A nisbətlərinin hasili vahidə bərabərdir. Bu şərt həm də A1, B1 və C1 nöqtələrinin bir düz xətt üzərində olması üçün kafidir.

Üçbucaq üçün Paskal teoremi

Tutaq ki, bərabəryanlı olmayan ABC üçbucağının xaricinə çevrə çəkilib. Bu çevrəyə A, B və C nöqtələrində toxunanlar çəkilib. A’, B’ və C’ nöqtələri isə həmin toxunanların ABC üçbucağının tərəflərinin uzantıları ilə kəsişmə nöqtələridir. Onda A’, B’ və C’ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Stüart teoremi

Üçbucağın oturacağı üzərində olan nöqtədən qarşı təpəyə qədər məsafənin kvadratının oturacağa hasili, digər iki tərəfin kvadratlarının oturacağın onlarla qonşu olmayan hissələrinə hasili cəmi ilə oturacaq və onun hissələrinin hasilinin fərqinə bərabərdir.

Morli teoremi

Bucağı üç bərabər hissəyə bölən şüaların hər birinə üçbölən deyilir. İstənilən üçbucağın qonşu üçbölənlərinin kəsişmə nöqtələri bərabərtərəfli üçbucağın təpə nöqtələridir.

Çeva teoremi

İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Çeva teoremi üçbucağın təpələrindən çəkilmiş şüaların bir nöqtədə kəsişməsi üçün zəruri və kafi şərt verir.

Qauss teoremi

Tutaq ki, düz xətt üçbucağın iki tərəfini və üçüncü tərəfin uzantısını kəsir. Onda, kəsişmə nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların orta nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Napoleon teoremi

Əgər ixtiyari üçbucağın tərəflərində bərabərtərəfli üçbucaqlar qursaq, onların mərkəzləri də bərabərtərəfli üçbucağın təpəsi olacaq. İlk dəfə bu teoremi Vilyam Rezerford Napoleonun ölümündən 4 il sonra çap elətdirib.

Üçbucaq üçün Van-Obel teoremi

ABC üçbucağının daxilində O nöqtəsində kəsişən üç AA1, BB1 və CC1 çevianları üçün belə bir bərabərlik doğrudur: CO/OC1 = CA1/A1B + CB1/B1A

Papp teoremi

Bu teorem yunan riyaziyyatçısı İskəndəriyyəli Pappın adı ilə bağlıdır. O, bu teoremi eramızın 4-cü əsrində isbat edib. Haqqında danışılacaq teorem Pifaqor teoreminin analoqudur. Fərqi isə ondadır ki, Papp teoremi üçbucaq üzərinə heç bir məhdudiyyət qoymur.

Jerqon nöqtəsi və Jerqon teoremi

Üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin tərəflərlə toxunma nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların kəsişmə nöqtəsi Jerqon nöqtəsi adlanır.