All articles of October-2019
All articles, issued in October-2019 sorted by publishing date.
05 October, 2019 - Глава I. Задачи 30, 31, 34 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)
Применяя метод математической индукции, докажите справедливость неравенства $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}\cdot \ ... \ \cdot \dfrac{2n-1}{2n} < \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}$
05 October, 2019 - Глава I. Задачи 27, 28, 29 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)
Применяя метод математической индукции, докажите, что $\forall n \in \mathbb{N}$ справедливо равенство $1^2+2^2+3^2+ ... +n^2 = \dfrac{1}{6} n (n+1)(2n+1)$
06 October, 2019 - Глава II. Задача 32 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)
Докажите сходимость последовательности $\{x_n\}$, где $x_n = \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k}$
06 October, 2019 - Глава II. Задача 1 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)
Ограничены ли следующие последовательности:
а)$x_n = (-1)^n \dfrac{1}{n}$; б)$x_n = 2n$; в)$x_n = \ln n$; г)$x_n = \sin n$; д)$x_n = 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, \ ... $
Обоснуйте ответы.
06 October, 2019 - Глава II. Задача 9 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)
Приведите примеры последовательностей $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$, для которых $\lim_\limits{n \to \infty} x_n =0$, $\lim_\limits{n \to \infty} y_n =\infty$, а произведение их $\{ x_n y_n\}$ является последовательностью:
а) сходящейся;
б) расходящейся, но ограниченной;
в) бесконечно малой;
г) бесконечно большой.
07 October, 2019 - Глава II. Задача 3 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)
Известно, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$. Докажите следующие равенства:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} (x_{n+1}-x_n)=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} x_n^2=a^2$
07 October, 2019 - Глава II. Задача 4, 5 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)
Пусть $\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$. Следует ли отсюда, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$ ?
07 October, 2019 - Глава II. Задача 2 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)
Пользуясь определением предела последовательности, докажите правильность следующих утверждений:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(-1)^n}{n}=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2n}{n+3}=2$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\cos n}{n}=0$; г)$\lim \limits_{n \to \infty} \log_n 2=0$; д)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3+2n+1} =0$
12 October, 2019 - Глава II. Задача 6 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)
Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится и $M=\sup\{x_n\}, \ m=\inf\{x_n\}$. Докажите, что $\exists n$ такое, что $x_n=M$, либо $\exists k$, такое, что $x_k=m$, либо $\exists n,k$, такие, что $x_n=M, \ x_k=m$. Приведите примеры последовательностей всех трех видов.
27 October, 2019 - Глава II. Задача 8 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)
Известно, что последовательность $\{ x_n \}$ сходится, а $\{ y_n \}$ бесконечно большая. Может ли последовательность $\{ x_n y_n \}$:
а) сходиться; б) расходиться, но быть ограниченной; в) быть бесконечно большой; г) быть бесконечно малой?
27 October, 2019 - Глава II. Задача 7 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)
Известно, что в некоторой окрестности нуля находится:
а) конечное число членов последовательности;
б) бесконечное число членов последовательности.
Следует ли отсюда, что в каждом из этих случаев последовательность является: ограниченной; бесконечно малой; бесконечно большой.