Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Çevrə və Dairə


Yaranma tarixi:

Çevrə vətərinin 9 xassəsi

çevrə  vətər  

 

Şəkil 1

Şəkil 1

Xassə 1: Çevrənin mərkəzindən eyni məsafədə olan vətərlər bərabərdir.

İsbatı: Şəkil 1-dəki $AB$ və $CD$ vətərləri üçün $OP=PK$. $OA$, $OB$, $OC$ və $OD$ hamısı radius olduğu üçün bir-birinə bərabərdir. Onda $AOP$ və $COK$ düzbucaqlı üçbucaqlarında katet və hipotenuz bərabər olduğu üçün bu üçbucaqlar bərabərdir. Eynilə $\triangle BOP = \triangle DOK$. Deməli, $\triangle OAB = \triangle COD$. Bu isə o deməkdir ki, onların oturacaqları olan $AB$ və $CD$ vətərləri də bərabərdir.


Şəkil 2

Şəkil 2

Xassə 2: Əgər vətərlər bərabər mərkəzi bucaqlar qarşısındadırsa onlar bərabərdir.

İsbatı: Şəkil 2-də $\angle AOB = \angle COD$. Yenə də $OA=OB=OC=OD$, çünki bunların hamısı radiusdur. Onda $\triangle AOB$ və $\triangle COD$-də iki tərəf və onlar arasındakı bucaqlar bərabər olduğu üçün $\triangle AOB = \triangle COD$. Yəni $AB=CD$.


Şəkil 3

Şəkil 3

Xassə 3: Əgər diametr vətərə perpendikulyardırsa onun mərkəzindən keçir.

İsbatı: Tutaq ki, $AB=a$ vətəri və ona perpendikulyar olan $d$ diametri çəkilib (Şəkil 3-ə bax). Çevrənin mərkəzini $A$ və $B$  nöqtələri ilə birləşdirsək yan tərəfləri radiusa bərabər olan bərabəryanlı üçbucaq alarıq. Diametr bu üçbucağın oturacağına perpendikulyar olduğu üçün hündürlüyüdür. Deməli həm də medianıdır. Yəni $d$ diametri $a$ vətərinin ortasından keçir.


Şəkil 4

Şəkil 4

Xassə 4: Eyni vətərə eyni tərəfdən söykənən daxili bucaqlar bərabərdir.

İsbatı: Bu daxili bucaqların hamısının gərdiyi qövs eyni olduğu üçün onların dərəcə ölçüsü həmin qövsün dərəcə ölçüsünün yarısına bərabərdir.


Xassə 5: Əgər daxilə çəkilmiş iki bucaq eyni vətərə müxtəlif tərəflərdən söykənibsə bu bucaqların cəmi $180°$-yə bərabərdir.

İsbatı: Adı çəkilən bucaqlar əslində bir-birinin tamamlayıcı qövslərinə söykənib. Yəni qövslərin birinin ölçüsü $\alpha $ olarsa, digərinin ölçüsü $360°-\alpha$ olacaq. Bu qövslərin hər birinə söykənən daxili bucaqların da ölçüləri uyğun olaraq $\dfrac{\alpha}{2}$ və $\dfrac{ 360°-\alpha}{2}$ olacaq. Onda bu bucaqların cəmi $\dfrac{\alpha + 360°-\alpha}{2} = 180°$ olacaq.


Xassə 6: Bərabər vətərlər arasındakı qövslər də bərabərdir.

İsbatı: Şəkil 2-yə baxsaq görərik ki, $\triangle AOB$ və $\triangle COD$ üç tərəfinə görə bərabərdir. Bu üçbucaqların yan tərəfləri radius, oturacaqları isə şərtə görə bərabər vətərlərdir. Deməli, onların $O$ təpəsindəki bucaqları da bərabərdir. Bu isə o deməkdir ki, həmin bucaqların gərdiyi qövslər də bərabərdir.


Şəkil 5

Şəkil 5

Xassə 7: Əgər vətər dərəcə ölçüsü $\alpha$ olan qövsü gərirsə, onun uzunluğu aşağıdakı kimi hesablanır.

$l = 2r \ sin \dfrac{\alpha}{2}$

İsbatı: Bu vətərin gərdiyi qövsün ölçüsü $\alpha$ olarsa, mərkəzi bucağın da ölçüsü $\alpha$ olacaq. Onda şəkil 5-dəki bərabəryanlı üçbucağın hündürlüyü həm tənbölən, həm də median olacaq. Yəni bu üçbucaq hündürlük ilə iki bərabər düzbucaqlı üçbucağa ayrılır. Bu üçbucaqların hər birinin oturacaq kateti $r \ sin \dfrac{\alpha}{2}$ olacaq. Onda üçbucağın oturacağı $2r \ sin \dfrac{\alpha}{2}$ olacaq.


Şəkil 6

Şəkil 6

Xassə 8: Əgər iki çevrənin ümumi vətəri varsa, bu vətər hər iki çevrənin mərkəzini birləşdirən parçaya perpendikulyardır.

İsbatı: Şəkil 6-dakı çevrələrə baxaq. $AB$ onların ümumi vətəridir. İsbat etməliyik ki, $AB \perp O_1O_2$. $AO_1O_2$ və $BO_1O_2$ üçbucaqlarında $O_1A=O_1B$ və $O_2A=O_2B$, çünki bunlar hər ikisi radiusdur. $O_1O_2$ isə ümumi tərəfdir. Onda bərabərliyin üçüncü şərtinə görə $\triangle AO_1O_2 = \triangle BO_1O_2$. Bu bərabərlikdən alınır ki, $\angle AO_1M=\angle BO_1M$.

Biz aldıq ki, $O_1M$ parçası $\triangle AO_1B$ üçün oturacağa çəkilmiş tənböləndir. Bu üçbucaq bərabəryanlı olduğu üçün tənbölən həm də hündürlükdür. Deməli, $O_1M \perp AB$, yəni $O_1O_2 \perp AB$.


Xassə 9: İxtiyari iki $AB$ və $CD$ vətərləri hər hansı $O$ nöqtəsində kəsişirsə aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$AO \cdot OB = CO \cdot OD$

Bu xassənin isbatını artıq digər məqalədə vermişik.

Digər məqalələr

Çevrə və bucaqların 6 xassəsi
Kəsişən vətərlər arasındakı bucaq həmin bucağın tərəfləri arasında qalan qövslərin ölçüləri cəminin yarısına bərabərdir. Çevrəni kəsən iki düz xətt arasındakı bucaq, həmin bucağın kəsişmədə əmələ gətirdiyi böyük qövs ilə kiçik qövsün fərqinin yarısına bərabərdir.

Çevrə və Dairə
Müstəvidə verilmiş nöqtədən eyni məsafədə olan nöqtələrin əmələ gətirdiyi həndəsi fiqura çevrə deyilir. Müstəvinin çevrə ilə məhdudlaşmış hissəsinə dairə edilir.

Çevrənin və düz xəttin tənliyi
Əgər müstəvidə verilmiş fiqurun istənilən nöqtəsinin (x; y) koordinatları verilmiş tənliyi ödəyirsə bu tənliyə həmin fiqurun tənliyi deyilir. Düz xəttin tənliyi ax+by+c=0 kimidir.

Daxilə çəkilmiş və mərkəzi bucaqlar
Təpəsi çevrənin mərkəzində olan bucağa mərkəzi bucaq deyilir. Təpəsi çevrə üzərində olub tərəfləri çevrənin tərəflərini kəsən bucağa daxili bucaq deyilir. Daxili bucaq söykəndiyi qövsün yarısı ilə ölçülür.

Düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Əgər çoxbucaqlının bütün təpələri çevrə üzərindədirsə, bu çevrəyə çoxbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrə deyilir. Əgər çoxbucaqlının bütün tərəfləri çevrəyə toxunursa, bu çevrəyə çoxbucaqlı daxilinə çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə həmişə çevrə çəkmək olar.

Çevrəyə toxunan
Əgər çevrə və düz xəttin yalnız bir orta nöqtəsi varsa bu düz xəttə çevrəyə toxunan deyilir.Çevrəyə toxunan, toxunma nöqtəsindən çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.

Kəpənək teoremi
Tutaq ki, M nöqtəsi çevrənin PQ vətərinin orta nöqtəsidir. Həmin M nöqtəsindən iki AB və CD vətərləri çəkək. AD parçasının PQ vətərini kəsən nöqtəni X, BC parçasının PQ vətərini kəsən nöqtəni Y ilə işarə edək. Onda M nöqtəsi XY parçasının da orta nöqtəsi olacaq.

Çevrə uzunluğu və dairənin sahəsi
Çevrə uzunluğunu və dairənin sahəsini tapmaq üçün onun daxilinə və xaricinə düzgün 6-bucaqlı çəkək. Daxilə çəkilmiş 6-bucaqlının perimetri p, sahəsi isə s, xaricə çəkilmiş 6-bucaqlını perimetri P, sahəsi isə S olsun.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.