Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Vektorlar


Yaranma tarixi:

Vektorların skalyar hasili

vektor  koordinat  

 

Vektorların skalyar hasili

İki vektorun skalyar hasili onların uzunluğu ilə aralarındakı bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir. Vektorların skalyar hasili $\vec{a}\cdot \vec{b}$ kimi işarə edilir.


$(1)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}| cos (\widehat {\vec{a}\vec{b}})$

Əgər $\vec{a}$ və $\vec{b}$ vektorları ortoqonaldırsa $cos 90°=0$ olduğu üçün $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$. Əgər $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ olarsa, və $\vec{a}$ və $\vec{b}$ vektorları sıfırdan fərqlidirsə, $(1)$ bərabərliyindən alırıq ki, $ cos (\widehat{ \vec{a}\vec{b}})=0$, yəni $\widehat{ \vec{a} \vec{b}}=90°$. Deməli, iki sıfırdan fərqli vektorun skalyar hasili yalnız və yalnız o zaman sıfır olar ki, bu vektorlar perpendikulyar olsun.

$(1)$ düsturundan həm də alınır ki, sıfırdan fərqli vektorların skalyar hasilinin qiyməti $\widehat{ \vec{a} \vec{b}}<90°$ olarsa mənfi, $\widehat{ \vec{a} \vec{b}}>90°$ olarsa müsbət olacaq.

Əgər $\vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b}$ olarsa $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$. Xüsusi halda $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| ^2$. Ona görə $\vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{a} ^2$ kimi də işarə edirlər və bu yazılışa skalyar kvadrat deyilir.

Teorem: dekart koordinat sistemində $\vec{a}(x_1; y_1)$ və $\vec{b}(x_2; y_2)$ vektorlarının skalyar hasili $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1y_2$ düsturu ilə hesablanır.

İsbatı: Əgər $\vec{a}$ və $\vec{b}$ vektorlarından heç olmazsa biri sıfırdırsa, onda onun koordinatları da sıfıra bərabərdir. Deməli skalyar hasil və teoremdəki bərabərliyin hər ikisi sıfır olacaq. Ona görə $\vec{a}$ və $\vec{b}$ vektorlarının hər ikisinin sıfırdan fərqli halına baxaq. $\vec{a}$ və $\vec{b}$ vektorlarını $O$ nöqtəsinə köçürsək, əgər bu vektorlar kollinear deyilsə kosinuslar teoreminə görə


$(2)$

$AB^2 = OA^2+OB^2-2OA \cdot OB \cdot cos \alpha$

Vektorların skalyar hasili

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} = \vec{b}-\vec{a}$ və $\vec{a}\cdot \vec{b} = \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = OA \cdot OB \cdot cos \alpha$ olduğundan $(2)$ bərabərliyində $AB$ əvəzinə $\vec{b}-\vec{a}$, $OA \cdot OB \cdot cos \alpha$ əvəzinə isə $\vec{a}\vec{b}$ yaza bilərik.


$(3)$

$|\vec{b}-\vec{a} |^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 – 2 \vec{a}\vec{b} \Rightarrow \vec{a}\vec{b} = \dfrac{1}{2} (|\vec{a}|^2 +|\vec{b}|^2-|\vec{b}-\vec{a}|^2)$

Bu tənlikdə $|\vec{a}|^2=x_1^2+y_1^2$, $|\vec{b}|^2=x_2^2+y_2^2$, $|\vec{b}-\vec{a}|^2 = (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$. Bu əvəzləmələri $(3)$ tənliyində yerinə yazaq

$\vec{a} \vec{b} = \dfrac{1}{2} (x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2) = \\ = \dfrac{1}{2}(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-x_2^2+2x_1x_2-x_1^2-y_2^2+2y_1y_2-y_2^2)= x_1x_2+y_1y_2$

Nəticə 1: İki $\vec{a}(x_1;y_1)$ və $\vec{b}(x_2;y_2)$ vektorlarının ortoqonallığı üçün zəruri və kafi şərt $x_1x_2+y_1y_2=0$ olmasıdır.

Nəticə 2: İki $\vec{a}(x_1;y_1)$ və $\vec{b}(x_2;y_2)$ ortoqonal olmayan vektorları və onlar arasındakı $\alpha$ bucağı üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$cos \alpha = \dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

Doğrudan da bir tərəfdən $\vec{a}\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos \alpha $, digər tərəfdən isə $\vec{a}\vec{b} = x_1x_2+y_1y_2$ olduğundan,

$x_1x_2+y_1y_2 = |\vec{a}||\vec{b}|cos \alpha = \sqrt {x_1^2+y_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2} cos \alpha$

Buradan $cos \alpha$-ni tapsaq nəticədə göstərilən bərabərliyi alarıq.

Skalyar hasilin xassələri

Skalyar hasil aşağıdakı xassələrə malikdir. İstənilən $\vec{a}$, $\vec{b}$ və $\vec{c}$ vektorları və $k$ ədədi üçün

  1. $\vec{a}^2 \geqslant 0$, əgər $\vec{a} \neq \vec{0}$ olarsa, $\vec{a}^2 > 0$ olacaq
  2. $\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}$ – kommutativlik (yerdəyişmə) qanunu doğrudur
  3. $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c} = \vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$ – distributivlik (paylama və ya paylaşdırma) qanunu doğrudur
  4. $(k\vec{a})\cdot \vec{b} = k(\vec{a}\cdot \vec{b})$ – assosiativlik (qruplaşdırma) qanunu

I qayda $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ düsturundan alınır.

II qayda skalyar hasilin tərifindən alınır.

III və IV qaydaları isbat edək. Bunun üçün dördbucaqlı koordinat sistemində $\vec{a}$, $\vec{b}$ və $\vec{c}$ vektorlarının koordinatlarını uyğun olaraq $(x_1;y_1)$, $(x_2; y_2)$ və $(x_3; y_3)$ kimi qəbul edək. Bilirik ki, vektorlar toplanarkən onların koordinatları toplanır. Onda III bərabərliyi belə yaza bilərik

$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c} = \overrightarrow{(x_1+x_2; y_1+y_2)} \cdot \overrightarrow{(x_3;y_3)} =x_1x_3+x_2x_3+y_1y_3+y_2y_3 = \\ =(x_1x_3+y_1y_3)+(x_2x_3+y_2y_3) = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

IV bərabərliyi isbat etmək üçün vektorun ədədə hasilinin koordinatları düsturundan istifadə edək

$(k\vec{a})\cdot \vec{b} = \overrightarrow{(kx_1;ky_1)} \cdot \overrightarrow{(x_2;y_2)}=\\ =kx_1x_2+ky_1y_2 = k(x_1x_2+y_1y_2) = k(\vec{a}\cdot \vec{b})$

Digər məqalələr

Vektorların çıxılması
İki vektorun fərqi elə bir vektordur ki, onun üzərinə çıxılan vektoru gəlsək azalan vektoru alarıq. İstənilən a və b vektoru üçün a-b=a+(-b) bərabərliyi doğrudur.

Vektorun koordinatları
Bərabər vektorların uyğun koordinatları bərabərdir. Uyğun koordinatları bərabər olan vektorlar bərabərdir. İki və daha çox vektorun cəminin koordinatları onların uyğun koordinatları cəminə bərabərdir. Vektorun ədədə hasilinin hər bir koordinatı, uyğun koordinatın həmin ədədə hasilinə bərabərdir.

Vektorların toplanması
İki vektoru üçbucaq və paraleloqram qaydası ilə toplamaq olar. İstənilən a, b, və c vektoru üçün a+b=b+a kommutativlik və (a+b)+c=a+(b+c) assosiativlik qaydaları doğrudur.

Vektorun iki kollinear olmayan vektora ayrılışı
Əgər a və b vektorları kollineardırsa və a vektoru b-dən fərqlidirsə, onda elə k ədədi var ki, b=ka. Müstəvidə verilmiş istənilən vektoru kollinear olmayan iki vektorun ayrılışı şəklində göstərmək olar və bu ayrılış yeganədir.

Vektor nədir?
Başlanğıcı və sonu olan istiqamətlənmiş düz xətt parçasına vektor deyilir. Əgər iki vektor perpendikulyar düz xətlər üzərində yerləşibsə onlara ortoqonal, bir düz xətt və ya paralel düz xətlər üzərində yerləşibsə, onlara kollinear vektorlar deyilir.

Vektorun ədədə vurulması
Sıfırdan fərqli olan a vektorunun k ədədinə hasili elə b vektoruna deyilir ki, onun uzunluğu |b|=|k||a| olsun. b vektorunun istiqaməti isə k>0 olarsa a ilə eyni, k<0 olarsa a-nın əksinə olacaq.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.