Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Üçbucaq üçün Van-Obel teoremi

Teorem: $ABC$ üçbucağının daxilində $O$ nöqtəsində kəsişən üç $AA_1$, $BB_1$ və $CC_1$ çevianları üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$\dfrac{CO}{OC_1} = \dfrac {CA_1}{A_1B}+ \dfrac{CB_1}{B_1A}$

Van-Obel teoremi

İsbatı: $C$ təpəsindən üçbucağın $AB$ tərəfinə paralel xətt çəkək və bu düz xəttin $BB_1$ və $CC_1$ çevianları ilə kəsişmə nöqtələrini uyğun olaraq $E$ və $F$ ilə işarə edək.

$\triangle CFO \sim \triangle C_1AO$, çünki bu üçbucaqların $EF$ və $AB$ paralel düz xətlərinin $AF$ xətti ilə kəsişmədə əmələ gətirdiyi $\angle CFO$ və $\angle C_1AO$ çarpaz bucaqları bərabərdir, həmin paralel düz xətlərin $CC_1$ xətti ilə kəsişmədə əmələ gətirdiyi $\angle FCO$ və $\angle AC_1O$ çarpaz bucaqları bərabərdir. Ona görə bu üçbucaqlar iki bucağa görə oxşardırlar. Bu oxşarlıqdan aşağıdakı münasibət alınır.

$\dfrac {CO}{OC_1} = \dfrac{CF}{AC_1} \Rightarrow CF = \dfrac {CO \cdot AC_1}{OC_1}$

$\triangle CFA_1$ və $\triangle BAA_1$ də həmçinin üçbucaqların oxşarlığının birinci əlamətinə görə oxşardırlar. Bu oxşarlıq da bizə aşağıdakı münasibəti verir.

$\dfrac {CF}{AB}=\dfrac {CA_1}{A_1B} \Rightarrow CF=\dfrac {CA_1 \cdot AB}{A_1B}$

Bu iki bərabərliyin hər ikisinin sol tərəfi eyni olduğu üçün sağ tərəfləri də eynidir.


$(1)$

$\dfrac  {CO \cdot AC_1}{OC_1} = \dfrac {CA_1 \cdot AB}{A_1B}$

Eyni qayda ilə $\triangle ECO \sim \triangle BC_1O$ və $\triangle ECB_1 \sim \triangle BAB_1$ olduğu üçün aşağıdakı münasibətlər də doğrudur.

$\dfrac {CO}{OC_1} = \dfrac {EC}{C_1B} \Rightarrow EC = \dfrac {CO \cdot C_1B}{OC_1}$

$\dfrac {EC}{AB} = \dfrac {CB_1}{B_1A} \Rightarrow EC = \dfrac {CB_1 \cdot AB}{B_1A}$

Bu iki bərabərliyin də hər ikisinin sol tərəfi eyni olduğu üçün sağ tərəfləri də eynidir.


$(2)$

$\dfrac {CO \cdot C_1B}{OC_1} = \dfrac {CB_1 \cdot AB}{B_1A}$

$(1)$ və $(2)$ bərabərliklərini toplayaq.

$\dfrac {CO}{OC_1} (AC_1+C_1B) = \left(\dfrac {CA_1}{A_1B} + \dfrac {CB_1}{B_1A} \right)AB$

Şəklə baxsaq görərik ki, $AC_1+C_1B = AB$

$\dfrac {CO}{OC_1} AB = \left(\dfrac {CA_1}{A_1B} + \dfrac {CB_1}{B_1A}\right) AB \Rightarrow \dfrac {CO}{OC_1}  = \dfrac {CA_1}{A_1B} + \dfrac {CB_1}{B_1A}$

Bununla da Van-Obel teoremi isbat olundu.

Digər məqalələr

Jerqon nöqtəsi və Jerqon teoremi
Üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin tərəflərlə toxunma nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların kəsişmə nöqtəsi Jerqon nöqtəsi adlanır.

Çeva teoremi
İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Çeva teoremi üçbucağın təpələrindən çəkilmiş şüaların bir nöqtədə kəsişməsi üçün zəruri və kafi şərt verir.

Menelay teoremi
Tutaq ki, düz xətt ABC üçbucağını kəsir. Bu xətt AB tərəfini C1, BC tərəfini A1, AC tərəfinin uzantısını isə B1 nöqtəsində kəsirsə, AC1/C1B, BA1/A1C və CB1/B1A nisbətlərinin hasili vahidə bərabərdir. Bu şərt həm də A1, B1 və C1 nöqtələrinin bir düz xətt üzərində olması üçün kafidir.

Qauss teoremi
Tutaq ki, düz xətt üçbucağın iki tərəfini və üçüncü tərəfin uzantısını kəsir. Onda, kəsişmə nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların orta nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Dördbucaqlı üçün Van-Obel teoremi
İxtiyarı dördbucaqlının tərəflərində xarici kvadratlar qursaq, qarşılıqlı kvadratların orta nöqtələrini birləşdirən düz xətt parçaları bərabər və perpendikulyar olacaq.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.