Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Üçbucağın sahəsinin 8 xassəsi

I xassə

I xassə: Əgər üçbucağın təpəsini onun oturacağına paralel düz xətt üzərində sürüşdürsək, onun sahəsi dəyişməz.

İsbatı: Bunun isbatı trivialdır. Şəkildən görünür ki, $ABC$ və $ADC$ üçbucaqlarının oturacaqları və hündürlükləri eynidir. Deməli, sahələri də eynidir.


II xassə

II xassə: Əgər iki üçbucağın hündürlükləri eynidirsə, onların sahələrinin nisbəti oturacaqlarınin nisbətinə bərabərdir.

İsbatı: Şəkildən görünür ki, hər iki üçbucağın hündürlüyü $h$-dır. Onda

$S_1=\dfrac{ah}{2}, \ S_2=\dfrac{bh}{2} \Rightarrow \dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\frac{ah}{2}}{\frac{bh}{2}} = \dfrac{a}{b}$


III xassə

III xassə: Əgər iki üçbucağın eyni bucaqları varsa, onların sahələrinin nisbəti bu bucaqları əmələ gətirən tərəflərin hasilinin nisbətinə bərabərdir.

İsbatı: $\triangle ABC$ və $\triangle MBN$-ə baxaq. Bu üçbucaqların sahəsini $\angle B$-nin sinusu vasitəsilə tapaq.

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC \cdot sin \angle B \\[15pt] S_{\triangle MBN} = \dfrac{1}{2} MB \cdot BN \cdot sin \angle B$

Yenə nisbətə baxaq

$\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle MBN}} = \dfrac{\frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot sin \angle B}{\frac{1}{2} MB \cdot BN \cdot sin \angle B} = \dfrac{AB \cdot BC}{MB \cdot BN}$


IV xassə

IV xassə: Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

İsbatı: Şəkildəki üçbucaqların sahələrini yenə $\angle B$-nin sinusu vasitəsilə hesablayaq. Tutaq ki, $\dfrac{AB}{MB} = \dfrac{BC}{BN} = k$. Onda III xassəyə görə bu sahələrin nisbəti

$\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle MBN}} = \dfrac{AB \cdot BC}{MB \cdot BN} = \dfrac {k MB \cdot k BN}{MB \cdot BN} = k^2$


V xassə

V xassə: Üçbucağın medianı onu iki eyni böyüklükdə hissələrə bölür. Yəni iki eyni sahəli üçbucağa bölür.

İsbatı: Şəkildən görünür ki, $\triangle ABM$ və $\triangle CBM$ -də hündürlük eynidir. Ona görə II xassəyə görə onların sahələrinin nisbəti oturacaqlarının nisbətinə bərabərdir. Oturacaqlar da bərabər olduğu üçün bu nisbət 1-ə bərabərdir. Yəni sahələr eynidir.


VI xassə

VI xassə: Üçbucağın medianları onu 3 eyni böyüklükdə hissələrə bölür.

İsbatı: V xassəyə görə,  $S_{\triangle ABB_1} = S_{\triangle CBB_1}$. $OB$ həm də $\triangle AOC$ üçün mediandir. Onda $S_{\triangle AOB_1} = S_{\triangle COB_1}$. Biz aldıq ki,

$S_{\triangle ABB_1} – S_{\triangle AOB_1} = S_{\triangle CBB_1} – S_{\triangle COB_1} \Rightarrow S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COB}$.

Eynilə isbat olunur ki, $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}$

VII xassə: Üçbucağın medianları onu 6 eyni böyüklükdə hissələrə bölür.

İsbatı: VI xassəyə görə

$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COB} = S_{\triangle AOC}$

Deməli, bu sahələrin yarısı da bir-birinə bərabər olacaq. V xassəyə görə

$S_{\triangle AOB_1}=S_{\triangle COB_1} = \dfrac{S_{\triangle AOC}}{2}\\[15pt]
S_{\triangle AOC_1}=S_{\triangle BOC_1} = \dfrac{S_{\triangle AOB}}{2} \\[15pt]
S_{\triangle BOA_1}=S_{\triangle COA_1} = \dfrac{S_{\triangle BOC}}{2}$

Yəni, bütün bu üçbucaqların sahələri bərabərdir.


VIII xassə

VIII xassə: Üçbucağın orta xətti onu 4 eyni böyüklükdə hissələrə bölür.

İsbatı: $MN$ xətti $\triangle ABC$ üçün orta xətt olduğundan oturacağın yarısına bərabərdir. Yəni $MN=\dfrac{AC}{2}$. Orta xətt Fales teoreminə görə həm də hündürlüyü yarı bölür. Onda $\triangle ABC$-nin hündürlüyü $h$ olarsa $\triangle MBN$-in hündürlüyü $\dfrac{h}{2}$ olacaq. $\triangle ABC$ və $\triangle MBN$-in sahələri belə olar

$S = \dfrac{1}{2} AC \cdot h$

$S_{\triangle MBN} = \dfrac{1}{2} MN \cdot \dfrac{h}{2} = \dfrac{1}{2} \ \cdot \dfrac{AC}{2} \cdot \dfrac{h}{2} = \dfrac{1}{8} AC \cdot h=\dfrac{1}{4}S$

Eynilə $S_{\triangle AMK}$ və $S_{\triangle KNC}$-nin də sahələri $\dfrac{1}{4}S$-ə bərabərdir.  İndi $\triangle MNK$-nın sahəsini tapaq.

$S_{\triangle MNK} = S – 3 \cdot \dfrac{1}{4}S = \dfrac{1}{4}S$

Deməli bütün üçbucaqların sahələri bərabərdir.

Digər məqalələr

Kosinuslar teoremi
Üçbucağın istənilən tərəfinin kvadratı, qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin fərqinə bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi
Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Median, tənbölən, hündürlük
Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Pifaqor teoremi
Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri
İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaq
Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Çeva teoremi
İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Çeva teoremi üçbucağın təpələrindən çəkilmiş şüaların bir nöqtədə kəsişməsi üçün zəruri və kafi şərt verir.

Oxşar üçbucaqlar
Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Əgər çevrə üçbucağın bütün təpələrindən keçirsə, onda bu çevrə üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə adlanır. Çevrə üçbucağın bütün tərəflərinə toxunursa, onda ona üçbucaq daxilin çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən üçbucağın xaricinə və daxilinə yeganə çevrə çəkmək olar.

Sinuslar teoremi
Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi
Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Üçbucaqların həlli
Üçbucağın həlli dedikdə verilmiş 3 element vasitəsilə onun bütün tərəflərinin və bucaqlarının tapılması nəzərdə tutulur. Bu məsələni üç halda araşdıracağıq.

Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Fales teoremi
Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Düzbucaqlı üçbucaq
Bucaqlardan biri 90° olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Düzbucaqlı üçbucaqda 30°-li bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir. Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük onu iki oxşar üçbucağa ayırır.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.