"/> "/> "/>
Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Üçbucağın sahəsinin 8 xassəsi

üçbucaq  sahə  xassə  

 

I xassə

I xassə: Əgər üçbucağın təpəsini onun oturacağına paralel düz xətt üzərində sürüşdürsək, onun sahəsi dəyişməz.

İsbatı: Bunun isbatı trivialdır. Şəkildən görünür ki, $ABC$ və $ADC$ üçbucaqlarının oturacaqları və hündürlükləri eynidir. Deməli, sahələri də eynidir.


II xassə

II xassə: Əgər iki üçbucağın hündürlükləri eynidirsə, onların sahələrinin nisbəti oturacaqlarınin nisbətinə bərabərdir.

İsbatı: Şəkildən görünür ki, hər iki üçbucağın hündürlüyü $h$-dır. Onda

$S_1=\dfrac{ah}{2}, \ S_2=\dfrac{bh}{2} \Rightarrow \dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\frac{ah}{2}}{\frac{bh}{2}} = \dfrac{a}{b}$


III xassə

III xassə: Əgər iki üçbucağın eyni bucaqları varsa, onların sahələrinin nisbəti bu bucaqları əmələ gətirən tərəflərin hasilinin nisbətinə bərabərdir.

İsbatı: $\triangle ABC$ və $\triangle MBN$-ə baxaq. Bu üçbucaqların sahəsini $\angle B$-nin sinusu vasitəsilə tapaq.

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC \cdot sin \angle B \\[15pt] S_{\triangle MBN} = \dfrac{1}{2} MB \cdot BN \cdot sin \angle B$

Yenə nisbətə baxaq

$\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle MBN}} = \dfrac{\frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot sin \angle B}{\frac{1}{2} MB \cdot BN \cdot sin \angle B} = \dfrac{AB \cdot BC}{MB \cdot BN}$


IV xassə

IV xassə: Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

İsbatı: Şəkildəki üçbucaqların sahələrini yenə $\angle B$-nin sinusu vasitəsilə hesablayaq. Tutaq ki, $\dfrac{AB}{MB} = \dfrac{BC}{BN} = k$. Onda III xassəyə görə bu sahələrin nisbəti

$\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle MBN}} = \dfrac{AB \cdot BC}{MB \cdot BN} = \dfrac {k MB \cdot k BN}{MB \cdot BN} = k^2$


V xassə

V xassə: Üçbucağın medianı onu iki eyni böyüklükdə hissələrə bölür. Yəni iki eyni sahəli üçbucağa bölür.

İsbatı: Şəkildən görünür ki, $\triangle ABM$ və $\triangle CBM$ -də hündürlük eynidir. Ona görə II xassəyə görə onların sahələrinin nisbəti oturacaqlarının nisbətinə bərabərdir. Oturacaqlar da bərabər olduğu üçün bu nisbət 1-ə bərabərdir. Yəni sahələr eynidir.


VI xassə

VI xassə: Üçbucağın medianları onu 3 eyni böyüklükdə hissələrə bölür.

İsbatı: V xassəyə görə,  $S_{\triangle ABB_1} = S_{\triangle CBB_1}$. $OB$ həm də $\triangle AOC$ üçün mediandir. Onda $S_{\triangle AOB_1} = S_{\triangle COB_1}$. Biz aldıq ki,

$S_{\triangle ABB_1} – S_{\triangle AOB_1} = S_{\triangle CBB_1} – S_{\triangle COB_1} \Rightarrow S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COB}$.

Eynilə isbat olunur ki, $S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}$

VII xassə: Üçbucağın medianları onu 6 eyni böyüklükdə hissələrə bölür.

İsbatı: VI xassəyə görə

$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COB} = S_{\triangle AOC}$

Deməli, bu sahələrin yarısı da bir-birinə bərabər olacaq. V xassəyə görə

$S_{\triangle AOB_1}=S_{\triangle COB_1} = \dfrac{S_{\triangle AOC}}{2}\\[15pt]
S_{\triangle AOC_1}=S_{\triangle BOC_1} = \dfrac{S_{\triangle AOB}}{2} \\[15pt]
S_{\triangle BOA_1}=S_{\triangle COA_1} = \dfrac{S_{\triangle BOC}}{2}$

Yəni, bütün bu üçbucaqların sahələri bərabərdir.


VIII xassə

VIII xassə: Üçbucağın orta xətti onu 4 eyni böyüklükdə hissələrə bölür.

İsbatı: $MN$ xətti $\triangle ABC$ üçün orta xətt olduğundan oturacağın yarısına bərabərdir. Yəni $MN=\dfrac{AC}{2}$. Orta xətt Fales teoreminə görə həm də hündürlüyü yarı bölür. Onda $\triangle ABC$-nin hündürlüyü $h$ olarsa $\triangle MBN$-in hündürlüyü $\dfrac{h}{2}$ olacaq. $\triangle ABC$ və $\triangle MBN$-in sahələri belə olar

$S = \dfrac{1}{2} AC \cdot h$

$S_{\triangle MBN} = \dfrac{1}{2} MN \cdot \dfrac{h}{2} = \dfrac{1}{2} \ \cdot \dfrac{AC}{2} \cdot \dfrac{h}{2} = \dfrac{1}{8} AC \cdot h=\dfrac{1}{4}S$

Eynilə $S_{\triangle AMK}$ və $S_{\triangle KNC}$-nin də sahələri $\dfrac{1}{4}S$-ə bərabərdir.  İndi $\triangle MNK$-nın sahəsini tapaq.

$S_{\triangle MNK} = S – 3 \cdot \dfrac{1}{4}S = \dfrac{1}{4}S$

Deməli bütün üçbucaqların sahələri bərabərdir.

Digər məqalələr

Sadə fiqurların sahəsi
Üçbucaq, düzbucaqlı, trapesiya, paraleloqram və rombun sahə düsturları yəqin ki, məktəb kursundan yadınızdadır. Bəs bu sahə düsturlarının çıxarılışı necə? O da yadınızadadırmı? Əgər unutmusunuzsa oxuyub hamısını bir dəfəyə yada salın.

Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi
Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının bu oturacaq qarşısındakı bucağın yarısının tangensinin 4 mislinə nisbətinə bərabərdir. Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının dörddən birinin yan tərəfin oturacaqla əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə hasilinə bərabərdir.

Sinuslar teoremi
Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Üçbucağın sahəsi
Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün çoxlu düsturlar mövcuddur. Burada onları bir yerə yığmışıq. Əvvəl bütün növ üçbucaqlar üçün doğru olan sahə düsturları gəlir. Sonra bərabərtərəfli üçbucaq, ən axırda isə məxsusi olaraq düzbucalı üçbucağın sahəsi üçün düsturlar verilir.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi
Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun yarımperimetri ilə hər bir katetin ayrı-ayriliqda fərqinin hasilinə bərabərdir. Bu sahə həm də üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu ilə bu radiusun hipotenuz ilə cəminin hasilinə bərabərdir. Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrənin hipotenuza toxunma nöqtəsində onu böldüyü hissələrin uzunluqları hasili də sahəni verir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.