Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Üçbucaqların həlli

Üçbucağın həlli dedikdə verilmiş 3 element vasitəsilə onun bütün tərəflərinin və bucaqlarının tapılması nəzərdə tutulur. Üçbucaqların həlli məsələlərinin hamısında tərəfləri $a$, $b$, $c$, qarşı bucaqları isə uyğun olaraq $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ilə işarə edəcəyik.

Üçbucaqların həlli

I məsələ: İki tərəf və arasındakı bucaq vasitəsilə üçbucağın həlli.

Tutaq ki, üçbucağın $a$, $b$ tərəfləri və bunlar arasında qalan $\gamma$ bucağı verilib. $c$ tərəfi, $\alpha$ və $\beta$ bucaqlarını tapmalıyıq.

  1. Kosinuslar teoreminə görə $$c = \sqrt{a^2+b^2-2ab \ cos \gamma}$$
  2. $c$ tərəfi tapılandan sonra $\angle \alpha$ Sinuslar teoreminə görə belə tapılır $$\dfrac{a}{sin \alpha}=\dfrac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow sin \alpha = \dfrac{a \ sin \gamma}{c}$$
  3. $\angle \alpha$ tapılandan sonra $$\angle \beta = 180° -\angle \alpha -\angle \beta$$

Əgər verilən bucaq $a$ və $b$ tərəfləri arasında olmasa, birbaşa Sinuslar teoreminin köməyi ilə digər bucağı tapa bilərik. Yəni, 1 bəndini ötürüb birbaşa 2 bədinə keçə bilərik. Sonra isə $a$ və $b$ arasındakı bucağı yenə 3-cü bəndin köməyi ilə taparıq. Üç bucaq və iki tərəfi bilərək $c$ tərəfini yenə Sinuslar teoreminə görə taparıq.

Nəticə: Üçbucağın istənilən iki tərəfi və bir bucağı vasitəsilə qalan tərəf və bucaqları tapmaq mümkündür.

II məsələ: Bir tərəf və ona bitişik iki bucağa görə üçbucağın həlli

Tutaq ki, $a$ tərəfi, $\gamma$ və $\beta$ bucaqları verilib. $b$, $c$ tərəflərini və $\alpha$ bucağını tapmalıyıq.

  1. $\angle \alpha = 180° - \angle \beta -\angle \gamma$
  2. Sinuslar teoreminə görə $$b = \dfrac{a\ sin\beta}{sin \alpha}; \ c= \dfrac{a \ sin \gamma}{sin \alpha}$$

Verilmiş bucaqlardan biri $a$ tərəfi qarşısında olsa belə eyni qayda ilə (1-ci bənd) üçüncü bucaq tapılacaq.

Nəticə: Üçbucağın istənilən tərəfi və iki bucağı verilərsə qalan tərəf və bucaqları tapmaq mümkündür.

III məsələ: Üç tərəfi məlum olan üçbucağın həlli

Tutaq ki, $a$, $b$ və $c$ tərəfləri verilib. $\alpha$, $\beta$ və $\gamma$ bucaqları tapılmalıdır.

  1. Kosinuslar teoreminə görə $\angle \alpha$ belə tapılır $$cos \alpha = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$
  2. Eynilə $\beta$ bucağı tapılır $$cos \beta = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$
  3. $\angle \alpha$ və $\angle \beta$ məlum olduqdan sonra $\angle \gamma$ asanlıqla tapılacaq

$$\angle \gamma = 180° - \angle \alpha -\angle \beta$$

Bununla da üçbucağı, verilmiş istənilən üç komponentin köməyilə həll etmək mümkün olduğunu göstərdik.

Digər məqalələr

Kosinuslar teoremi
Üçbucağın istənilən tərəfinin kvadratı, qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin fərqinə bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi
Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Median, tənbölən, hündürlük
Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Pifaqor teoremi
Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri
İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaq
Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Çeva teoremi
İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Çeva teoremi üçbucağın təpələrindən çəkilmiş şüaların bir nöqtədə kəsişməsi üçün zəruri və kafi şərt verir.

Oxşar üçbucaqlar
Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Üçbucağın sahəsinin 8 xassəsi
Əgər iki üçbucağın eyni bucaqları varsa, onların sahələrinin nisbəti bu bucaqları əmələ gətirən tərəflərin hasilinin nisbətinə bərabərdir. Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Əgər çevrə üçbucağın bütün təpələrindən keçirsə, onda bu çevrə üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə adlanır. Çevrə üçbucağın bütün tərəflərinə toxunursa, onda ona üçbucaq daxilin çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən üçbucağın xaricinə və daxilinə yeganə çevrə çəkmək olar.

Sinuslar teoremi
Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi
Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Fales teoremi
Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Düzbucaqlı üçbucaq
Bucaqlardan biri 90° olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Düzbucaqlı üçbucaqda 30°-li bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir. Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük onu iki oxşar üçbucağa ayırır.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.