Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri

Bərabər üçbucaqlar elə üçbucaqlara deyilir ki, onların hər üç təpə bucaqları və hər üç tərəfi bərabər olsun.

Üçbucaqların birinci bərabərlik əlaməti

Teorem: Əgər bir üçbucağın iki tərəfi və onlar arasındakı bucaq o biri üçbucağın iki tərəfi və onlar arasındakı bucağa bərabərdirsə onda bu üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaqlar

İsbatı: Tutaq ki $\triangle ABC$ və $\triangle A_1 B_1 C_1$ teoremdə deyilən şərti ödəyir.

Yəni $\angle A = \angle A_1$, $AB=A_1 B_1$, $AC=A_1 C_1$. Onda $A_1 B_1 C_1 $ üçbucağının $A_1$ təpəsini $ABC$ üçbucağının $A$  təpəsi üzərinə elə qoyaq ki, $A_1 B_1$ tərəfi $AB$ tərəfi yerləşən şüanın üstündə, $A_1 C_1$ tərəfi isə $AC$ tərəfi yerləşən şüanın üstündə olsun. Bu zaman $AB=A_1 B_1$ olduğundan $B$ və $B_1$ təpələri üst-üstə düşəcək. $AC=A_1 C_1$ olduğundan $C$ və $C_1$ təpələri üst-üstə düşəcək.

Bərabər üçbucaqlar

Ona görə $A$ təpəsi $A_1$, $B$ təpəsi $B_1$, $C$ təpəsi isə $C_1$ -in üstündə olacaq. Deməli $BC$ tərəfi də $B_1 C_1$ tərəfinin üstünə düşəcək. Yəni hər üç təpə bir-birinin üzərinə düşdü. Bununla da bütün tərəflər və bucaqlar bərabər oldu.

Üçbucaqların ikinci bərabərlik əlaməti

Teorem: Əgər bir üçbucağın bir tərəfi və ona söykənən bucaqlar o biri üçbucağın bir tərəfi və ona söykənən bucaqlara bərabərdirsə onda bu üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaqlar

İsbatı: Tutaq ki $\triangle ABC$ və $\triangle A_1 B_1 C_1$ teoremdə deyilən şərti ödəyir. $AB=A_1 B_1$, $\angle CAB=\angle C_1 A_1 B_1$, $\angle CBA=\angle C_1 B_1 A_1$

Yenə $A_1 B_1 C_1 $ üçbucağını $ABC$ üşbucağı üzərinə elə yerləşdirək ki, $A_1 B_1$ tərəfi bütünlüklə $AB$ tərəfi üzərində otursun və $C_1$ təpəsi $C$ təpəsi ilə eyni yarımmüstəviyə düşsün.

Bərabər üçbucaqlar

Onda $\angle CAB = \angle C_1 A_1 B_1 $ olduğundan $A_1 C_1$ tərəfi $AC$ tərəfi yerləşən şüa üzərində $\angle CBA = \angle C_1 B_1 A_1$ olduğundan $C_1 B_1$ tərəfi $CB$ tərəfi yerləşən şüa üzərində olacaq. Deməli $C_1$ nöqtəsi hər iki şüa üzərində olmalıdır. Bu yalnız iki şüanın kəsişmə nöqtəsində ola bilər. Bu nöqtədə isə $C$ təpəsi durub. Yəni $C$ və $C_1$ təpələri də bir-birinin üzərinə düşür. Yenə $\triangle ABC$ və $\triangle A_1 B_1 C_1$-də hər üç təpə bir-birinin üstünə düşdü. Bu da bütün tərəf və bucaqların bərabər olması deməkdir.

Üçbucaqların üçüncü bərabərlik əlaməti

Teorem: Əgər bir üçbucağın hər üç tərəfi o biri üçbucağın üç tərəfinə bərabərdirsə bu üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaqlar

İsbatı: Tutaq ki, $\triangle ABC$ və $\triangle A_1B_1C_1$ hər üç tərəfi bərabər olan üçbucaqlardır. $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$, $AC=A_1C_1$. İsbat etməliyik ki, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

$\triangle A_1B_1C_1$-in $A_1C_1$ tərəfini $\triangle ABC$-nin $AC$ tərəfinə elə yerləşdirək ki, $B$ və $B_1$ təpələri $AC$ xəttinə nəzərən müxtəlif yarımmüstəvilərdə yerləşsin. $B$ və $B_1$ təpələrini birləşdirəm parça $AC$ xəttini hər hansı $F$ nöqtəsində kəsəcək. Bu $F$ nöqtəsi $A$ və $C$ nöqtələri arasına düşə də bilər, düşməyə də. Biz $F$ nöqtəsinin $AC$ parçası daxilində olan halı isbat edəcəyik. İsbatdan görəcəksiniz ki, bu nöqtənin $AF$ parçasının davamı olan xətt üzərində yerləşən hal da analoji alınır.

Şərtə görə $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$. Deməli, $\triangle BAB_1$ və $\triangle BCB_1$ bərabəryanlıdır. Onda bərabəryanlı üçbucağın oturacaq bucaqları bərabər olduğu üçün$\angle AB_1F = \angle ABF$ və $\angle CB_1F = \angle CBF$. Deməli,

$\angle ABC = \angle ABF+\angle CBF = \angle AB_1F + \angle CB_1F = \angle AB_1C$

Onda üçbucaqların bərabərliyinin I əlamətinə görə,  $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$.

Digər məqalələr

Kosinuslar teoremi
Üçbucağın istənilən tərəfinin kvadratı, qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin fərqinə bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi
Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Median, tənbölən, hündürlük
Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Pifaqor teoremi
Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Üçbucaq
Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Çeva teoremi
İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Çeva teoremi üçbucağın təpələrindən çəkilmiş şüaların bir nöqtədə kəsişməsi üçün zəruri və kafi şərt verir.

Oxşar üçbucaqlar
Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Üçbucağın sahəsinin 8 xassəsi
Əgər iki üçbucağın eyni bucaqları varsa, onların sahələrinin nisbəti bu bucaqları əmələ gətirən tərəflərin hasilinin nisbətinə bərabərdir. Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Əgər çevrə üçbucağın bütün təpələrindən keçirsə, onda bu çevrə üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə adlanır. Çevrə üçbucağın bütün tərəflərinə toxunursa, onda ona üçbucaq daxilin çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən üçbucağın xaricinə və daxilinə yeganə çevrə çəkmək olar.

Sinuslar teoremi
Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi
Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Üçbucaqların həlli
Üçbucağın həlli dedikdə verilmiş 3 element vasitəsilə onun bütün tərəflərinin və bucaqlarının tapılması nəzərdə tutulur. Bu məsələni üç halda araşdıracağıq.

Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Fales teoremi
Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Düzbucaqlı üçbucaq
Bucaqlardan biri 90° olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Düzbucaqlı üçbucaqda 30°-li bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir. Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük onu iki oxşar üçbucağa ayırır.

Törəmə nədir?
Proqramçılara törəmənin izahı. Çoxlarında riyaziyyatda törəmə mövzusu darıxdırıcı gəlir. Amma bu izahı oxusanız həmin mövzunu sevəcəksiniz. Çünki diskret halda türəmə nisbətdən başqa bir şey deyil.

Paralel xətlər
Müstəvi üzərində yerləşən xətlər ya bir nöqtədə kəsişir, ya da ümumiyyətlə kəsişmir. Müstəvidə kəsişməyən xətlərə paralel xətlər deyilir.

Perpendikulyar və mail
Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə doğru çəkilən xəttin onunla əmələ gətirdiyi bucaq düz bucaq olarsa, bu xətlər perpendikulyar xətlər adlanır. Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə doğru çəkilən xəttin onunla əmələ gətirdiyi bucaq düz bucaqdan fərqlidirsə, bu xəttə mail deyilir.

Sadə fiqurların sahəsi
Üçbucaq, düzbucaqlı, trapesiya, paraleloqram və rombun sahə düsturları yəqin ki, məktəb kursundan yadınızdadır. Bəs bu sahə düsturlarının çıxarılışı necə? O da yadınızadadırmı? Əgər unutmusunuzsa oxuyub hamısını bir dəfəyə yada salın.

Tək və cüt funksiyalar
Cüt funksiya elə funksiyadır ki, eyni arqumentin mənfi və müsbət qiymətlərində funksiyanın qiyməti bərabər olur. Tək funksiya elə funksiyadır ki, eyni arqumentin mənfi və müsbət qiymətlərində funksiyanın qiyməti də əksinə dəyişir.

Çoxbucaqlı
Qonşu tərəfləri bir düz xətt üzərində olmayan və qonşu olmayan tərəfləri ümumi nöqtəyə malik olmayam qapalı fiqura çoxbucaqlı deyilir. Əgər çoxbucaqlı istənilən tərəfdən keçən xəttə nəzərən bütünlüklə bir yarımmüstəvidə yerləşirsə, ona qabarıq çoxbucaqlı deyilir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.