Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Üçbucağın sahəsi

üçbucaq  sahə  

 

Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün çoxlu düsturlar mövcuddur. Burada onları bir yerə yığmışıq.

İxtiyarı üçbucaq üçün sahə düsturları

I düstur

Bu düstur üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün ən çox istifadə olunan düsturdur.

$S=\dfrac{1}{2} ah$

Burada $a$ – oturacaq, $h$ – həmin oturacaqdan qaldırılmış hündürlükdür. Bu düsturun çıxarılışına burada baxa bilərsiniz.

II düstur

$S=\dfrac{1}{2}ab \ sin \gamma$

Burada $a$ və $b$ üçbucağın istənilən tərəfləri, $\gamma$ isə bu tərəflər arasındakı bucaqdır. Bu düsturun çıxarışını Sinuslar teoremi barədə məqalədə vermişik.

III düstur

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \ p= \dfrac{a+b+c}{2}$

Bu Heron düsturudur. $a$, $b$, $c$ – üçbucağın tərəfləri , $p$ – yarımperimetrdir. Bu düsturun çıxarılışına ayrıca məqalə həsr olunub.

IV düstur

İtibucaqlı üçbucaq

$S=\dfrac{a^2}{2(ctg \beta + ctg \gamma)}$

Burada $a$ üçbucağın tərəfi, $\beta$ və $\gamma$ isə bu tərəfə bitişik bucaqlardır.

Bu düsturun çıxarılışına üç halda baxacağıq. Əvvəlcə təsəvvür edək ki, baxdığımız üçbucaq itibucaqlıdır. Üçbucağı şəkildəki kimi hündürlük ilə iki düzbucaqlı üçbucağa bölək.

$ctg \beta = \dfrac{x}{h} \Rightarrow x=h \ ctg \beta\\[15pt]
ctg \gamma = \dfrac{y}{h} \Rightarrow y = h \ ctg \gamma$

Onda,

$a=x+y=h \ ctg \beta + h \ ctg \gamma = h(ctg \beta + ctg \gamma) \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow h = \dfrac{a}{ctg \beta + ctg \gamma}$

Bunu I düsturda yerinə yazsaq

$S=\dfrac{1}{2} ah = \dfrac{a^2}{2(ctg \beta + ctg \gamma)}$

Korbucaqlı üçbucaq

İndi korbucaqlı üçbucaq halına baxaq. Tutaq ki, $\beta$ bucağı kor bucaqdır. Onda $A$ təpəsindən endirilən hündürlük üçbucağın xaricinə düşəcək. $ \triangle ABD$-də $BD=x$ işarə etsək, $B$ təpəsindəki bucaq $\pi-\beta$ olduğu üçün

$x=h \ ctg (\pi-\beta) = -h \ ctg \beta$

$\triangle ACD$-də $CD=y$ işarə etsək

$y = h \ ctg \gamma$

Onda $BC=a$ tərəfini $CD-BD$ kimi ifadə etsək aşağıdakı bərabərliyi alarıq.

$a=y-x=h \ ctg \gamma - (- h \ ctg \beta) = h(ctg \beta + ctg \gamma) \Rightarrow \\[15pt] \Rightarrow h=\dfrac{a}{ctg\beta+ctg\gamma}$

$h$ üçün yenə eyni düsturu aldıq.

Düzbucaqlı üçbucaq

Üçbucaq düzbucaqlı olan hala baxaq. Bu halda $A$ təpəsindən endirilən perpendikulyar $AB$ kateti ilə eyni olacaq. Onda

$ctg\gamma=\dfrac{a}{h} \Rightarrow h=\dfrac{a}{ctg \gamma}\\[15pt]
S=\dfrac{1}{2} ah = \dfrac{a^2}{2 ctg \gamma}$

Doğrudan da $\beta = \dfrac{\pi}{2}$ olarsa $ctg \beta = 0$. Yəni məxrəcdəki birinci toplanan sıfıra bərabər olur və düstur yuxarıda göstərilən şəkli alır.

V düstur

$S=pr, \ p=\dfrac{a+b+c}{2}$

Burada $a$, $b$, $c$ – üçbucağın tərəfləri, $p$ – yarımperimetr, $r$ isə üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusudur. Bu düsturun çıxarılışını artıq vermişik.

VI düstur

$S=\dfrac{abc}{4R}$

Burada $a$, $b$, $c$ – üçbucağın tərəfləri, $R$ – üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusudur. Bu düsturun da çıxarılışını artıq vermişik.

VII düstur

$S=2R^2 \cdot sin\alpha \cdot sin\beta \cdot sin \gamma$

Burada $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ – bucaqlar, R – xaricə çəkilmiş çevrənin radiusudur.

Sinuslar teoremindən bilirik ki,

$\dfrac{a}{sin \alpha}=\dfrac{b}{\sin \beta}=\dfrac{c}{sin \gamma}=2R$

Deməli,

$a=2R \ sin \alpha, \ b= 2R \ sin \beta, c= 2R \ sin \gamma$

VI düsturda bunu yerinə yazsaq

$S=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{2R\sin \alpha \cdot 2R \ sin \beta \cdot 2R \ sin \gamma}{4R}=\\[15pt]
=2R^2 \cdot sin \alpha \cdot sin \beta \cdot sin \gamma $

Düzgün (bərabərtərəfli) üçbucağın sahəsi

VIII düstur

Düzgün üçbucaq

$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

Bilirik ki, bərabərtərəfli üçbucağın bütün bucaqları $\dfrac{\pi}{3}$-ə bərabərdir. Bərabərtərəfli üçbuaq həm də bərabəryanlı olduğu üçün onun hündürlüyü həm də median olacaq. Onda, $a$ düzgün üçbucağın tərəfidirsə onun hündürlüyü oturacağı hər biri $\dfrac{a}{2}$-yə bərabər olan iki hissəyə bölür. Onda I düstura görə sahə

$S=\dfrac{1}{2} ah = \dfrac{1}{2}  a \cdot a \ sin  \dfrac{\pi}{3} =\\[15pt]
= \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

IX düstur

$S=\dfrac{h^2}{\sqrt{3}}$

Burada $h$ – bərabərtərəfli üçbucağın hündürlüyüdür.

$S=\dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{h}{sin \dfrac{\pi}{3}} \cdot h=\\[20pt]
=\dfrac{h^2}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{h^2}{\sqrt{3}}$

X düstur

Bərabərtərəfli üçbucaq

$S=3 \sqrt{3} r^2$

$r$ – daxilə çəkilmiş çevrənin radiusudur.

V düstura görə

$S=pr = \dfrac{3a}{2} r$

Şəkildən görünür ki,

$\dfrac{a}{2} = \dfrac{r}{tg \dfrac{\pi}{6}}=\dfrac{r}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}r$

Bunu yerinə yazaq.

$S=3\sqrt{3} r^2$

XI düstur

$S=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}$

$R$ xaricə çəkilmiş çevrənin radiusudur.

VI düstura görə $S=\dfrac{a^3}{4R}$

$a$-nı $R$ vasitəsilə tapsaq

$\dfrac{a}{2} = R \ cos \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow a=2R \dfrac{\sqrt{3}}{2} = R \sqrt {3}$

$S=\dfrac{R^3 3 \sqrt{3}}{4R}=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}$

Digər məqalələr

Sadə fiqurların sahəsi
Üçbucaq, düzbucaqlı, trapesiya, paraleloqram və rombun sahə düsturları yəqin ki, məktəb kursundan yadınızdadır. Bəs bu sahə düsturlarının çıxarılışı necə? O da yadınızadadırmı? Əgər unutmusunuzsa oxuyub hamısını bir dəfəyə yada salın.

Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi
Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının bu oturacaq qarşısındakı bucağın yarısının tangensinin 4 mislinə nisbətinə bərabərdir. Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının dörddən birinin yan tərəfin oturacaqla əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə hasilinə bərabərdir.

Üçbucağın sahəsinin 8 xassəsi
Əgər iki üçbucağın eyni bucaqları varsa, onların sahələrinin nisbəti bu bucaqları əmələ gətirən tərəflərin hasilinin nisbətinə bərabərdir. Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

Sinuslar teoremi
Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi
Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun yarımperimetri ilə hər bir katetin ayrı-ayriliqda fərqinin hasilinə bərabərdir. Bu sahə həm də üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu ilə bu radiusun hipotenuz ilə cəminin hasilinə bərabərdir. Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrənin hipotenuza toxunma nöqtəsində onu böldüyü hissələrin uzunluqları hasili də sahəni verir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.