Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Dördbucaqlı


Yaranma tarixi:

Trapesiya

dördbucaq  trapesiya  

 

Yalnız iki qarşı tərəfi paralel olan qabarıq dördbucaqlıya trapesiya deyilir. Bu paralel tərəflərə trapesiyanın oturacaqları, paralel olmayan tərəflərə isə yan tərəfləri deyilir. Trapesiyanın qarşı təpələrini birləşdirən düz xətt parçasına onun diaqonalı deyilir. Trapesiyanın iki diaqonalı var. Trapesiyanın bir oturacağınin istənilən nöqtəsindən digər oturacağına endirilmiş perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Əgər trapesiyanın bir düz bucağı olarsa ona düzbucaqlı trapesiya deyilir.

Trapesiya

Teorem 1: Trapesiyanın diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi, yan tərəflərinin uzantılarının kəsişmə nöqtəsi, və oturacaqlarının orta nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Teorem 1

İsbatı: Əvvəlcə isbat edək ki, oturacaqların ortasından keçən düz xətt yan tərəflərin uzantılarınin kəsişmə nöqtəsindən keçir.

Şəkildəki $ABCD$ trapesiyasına baxaq. Tutaq ki, yan tərəflərin uzantıları hər hansı $S$ nöqtəsində kəsişir. Həmin nöqtədən $BC$ oturacağının orta nöqtəsi olan $M$ nöqtəsinə düz xətt çəkək. Həmin düz xətin digər oturacağı kəsdiyi nöqtəni $N$ ilə işarə edək. İsbat etməliyik ki, $N$ nöqtəsi $AD$ tərəfinin orta nöqtəsidir. $\triangle BSM$ və $\triangle ASN$-də Fales teoreminə görə iki yan tərəf mütənasibdir. Təpə bucaqları da eyni olduğu üçün II əlamətə görə bu üçbucaqlar oxşardır. Onda,

$\dfrac{BM}{AN} = \dfrac{SM}{SN}$

Eynilə, $\triangle CSM \sim \triangle DSN$. Bu oxşarlıqdan alırıq ki,

$\dfrac{CM}{DN} = \dfrac{SM}{SN}$

Bu iki münasibətdən aşağıdakı alınır.

$\dfrac{BM}{AN} =\dfrac{CM}{DN}$

$BM=CM$ olduğunu nəzərə alsaq $AN=DN$ alarıq. Yəni $N$ nöqtəsi $AD$ oturacağının orta nöqtəsidir.

Trapesiyanın diaqonalları

İndi isə $MN$ xəttinin trapesiyanın diaqonallarının kəsişmə nöqtəsindən keçdiyini isbat edək. Bu nöqtəni $O$ ilə işarə edək. $\triangle BOC \sim \triangle DOA$, çünki $\angle CBO=\angle ADO$, $\angle BCO = \angle DAO$. Bu bucaqlar çarpaz olduğu üçün bərabərdir. Ona görə oxşarlığın I əlamətinə görə bu üçbucaqlar oxşardır. Oxşarlıqdan alırıq ki,

$\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AD}{BC} = \dfrac{2AN}{2MC} =\dfrac{AN}{MC}$

Onda $\triangle MOC$ və $\triangle NOA$-da iki tərəf mütənasib, aralarındakı bucaqlar isə qarşılıqlı olduğu üçün bərabərdir. Deməli, $\triangle MOC \sim \triangle NOA$. Yəni, $\angle MOC = \angle NOA$. Bucaqların bərabərliyi onların qarşılıqlı olmasını göstərir, yəni $O$ nöqtəsi $MN$ xətti üzərindədir.

Teorem 2: Trapesiyanın yan tərəflərinə bitişik bucaqların tənbölənləri perpendikulyardır.

Trapesiyanın tənbölənləri

İsbatı: Trapesiyanın yan tərəflərinə bitişik bucaqlar daxili birtərəfli bucaqlar olduğu üçün onların cəmi $180°$-yə bərabərdir. Onda bu bucaqların yarısının cəmi $90°$ olacaq.

$\angle A +\angle B = 180° \Rightarrow \dfrac{\angle A}{2} + \dfrac{\angle B}{2} = 90°$

$\triangle AOB$-də $\angle BAO$ və $\angle ABO$-nun cəmi $90°$ olduğu üçün $\angle BOA=90°$ olmalıdır.

Trapesiyanın iki yan tərəfinin ortasını birləşdirən düz xətt parçasına onun orta xətti deyilir.

Teorem 3: Trapesiyanın orta xətti oturacaqlara paralel olub onların uzunluqları cəminin yarısına bərabərdir.

Trapesiyanın orta xətti

İsbatı: $ABCD$ trapesiyasının $KL$ orta xəttini çəkək. $B$ və $L$ nöqtələrindən düz xətt çəkib $AD$ oturacağının davamı ilə kəsişmə nöqtəsini $G$ ilə işarə edək. Alinmiş $\triangle LBC$ və $\triangle LGD$-yə baxaq. $CL=LD$, $\angle BCL$ və $\angle LDG$ çarpaz bucaqlar, $\angle CLB$ və $\angle DLG$ isə qarşılıqlı bucaqlar olduğu üçün bərabərdirlər. Onda, üçbucaqların bərabərliyinin ikinci əlamətinə görə $\triangle LBC=\triangle LGD$. Deməli, $BL=LG$, $BC=DG$.

Yəni trapesiyanın orta xətti həm də $\triangle ABG$ üçün orta xətt olacaq. isbat edək ki $KL \parallel AD$. $AD$ isə trapesiyanın oturacağı olduğu üçün $BC$ tərəfinə paraleldir. Deməli həm də $KL \parallel BC$.

Üçbucağın orta xəttinin xassəsinə görə

$KL=\dfrac{AG}{2}=\dfrac{AD+DG}{2}=\dfrac{AD+BC}{2}$

Teoremin hər iki hökmü isbat olundu.

Digər məqalələr

Ptolemey teoremi
Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının diaqonallarının hasili qarşı tərəflərin hasilləri cəminə bərabərdir.

Dördbucaqlının sahəsi
Qabarıq dördbucaqlının sahəsi onun diaqonalları ilə bu diaqonalların kəsişmə nöqtəsində əmələ gələn bucağın sinusu hasilinin yarısına bərabərdir. Əgər bu dördbucaqlının xaricinə çevrə çəkmək mümkündürsə onun sahəsini Braxmaqupta düsturu vasitəsi ilə də tapmaq olar.

Düzbucaqlı, romb, kvadrat
Bütün bucaqları düz bucaq olan paraleloqrama düzbucaqlı deyilir. Bütün tərəfləri bərabər olan paraleloqrama romb deyilir. Bütün tərəfləri bərabər olan düzbucaqlı kvadrat adlanır.

Tebo teoremləri
Paraleloqramın tərəfləri üzərində qurulmuş kvadratların mərkəzləri özü, kvadratın təpə nöqtələridir. Əgər kvadratın iki qonşu tərəfində bərabərtərəfli üçbucaq qursaq bu üçbucaqların kvadrata aid olmayan təpələri ilə kvadratın bu üçbucaqlara aid olmayan təpəsini birləşdirərkən bərabərtərəfli üçbucaq alarıq.

Dördbucaqlı üçün Van-Obel teoremi
İxtiyarı dördbucaqlının tərəflərində xarici kvadratlar qursaq, qarşılıqlı kvadratların orta nöqtələrini birləşdirən düz xətt parçaları bərabər və perpendikulyar olacaq.

Bərabəryanlı trapesiya
Əgər trapesiyanın yan tərəfləri bərabərdirsə ona bərabəryanlı trapesiya deyilir. Bərabəryanlı trapesiyanın oturacağa bitişik bucaqları bərabərdir. Onun diaqonalları bərabərdir və diaqonallar oturacaqlar ilə eyni bucaq əmələ gətirir. Bu cür trapesiyanın xaricinə çevrə çəkmək olar.

Paraleloqram
Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabərdir, qarşı bucaqları bərabərdir, bir tərəfə söykənən bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsində yarı bölünür.

Varinyon teoremi
İstənilən dördbucaqlının tərəflərinin orta nöqtəsini birləşdirsək paraleloqram alarıq. Bu teoremdə dördbucaqlının qabarıq olması şərt deyil və bütün dördbucaqlılar üçün doğrudur.

Paralel xətlər
Müstəvi üzərində yerləşən xətlər ya bir nöqtədə kəsişir, ya da ümumiyyətlə kəsişmir. Müstəvidə kəsişməyən xətlərə paralel xətlər deyilir.

Hərəkət nədir?
Hərəkət, elə çevirmə əməliyyatıdır ki, bunun nəticəsində məsafə saxlanılır. Başqa cür desək, hərəkət müstəvini özünə elə inikas edir ki, onun nəticəsində məsafə dəyişmir.

Perpendikulyar və mail
Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə doğru çəkilən xəttin onunla əmələ gətirdiyi bucaq düz bucaq olarsa, bu xətlər perpendikulyar xətlər adlanır. Əgər düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə doğru çəkilən xəttin onunla əmələ gətirdiyi bucaq düz bucaqdan fərqlidirsə, bu xəttə mail deyilir.

Çoxbucaqlı
Qonşu tərəfləri bir düz xətt üzərində olmayan və qonşu olmayan tərəfləri ümumi nöqtəyə malik olmayam qapalı fiqura çoxbucaqlı deyilir. Əgər çoxbucaqlı istənilən tərəfdən keçən xəttə nəzərən bütünlüklə bir yarımmüstəvidə yerləşirsə, ona qabarıq çoxbucaqlı deyilir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.