Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Çevrə və Dairə


Yaranma tarixi:

Çevrəyə toxunan

Əgər çevrə və düz xəttin yalnız bir ortaq nöqtəsi varsa bu düz xəttə çevrəyə toxunan deyilir.

Şəkil 1

Teorem: Çevrəyə toxunan, toxunma nöqtəsindən çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.

İsbatı: Tutaq ki, $p$ xətti mərkəzi $O$ nöqtəsində olan çevrəyə $A$ nöqtəsindən çəkilmiş toxunandır. İsbat etməliyik ki, $p$ düz xətti $OA$ radiusuna perpendikulyardır.

Şəkil 2

Tutaq ki, bu belə deyil. Onda $OA$ radiusu $p$ düz xəttinə çəkilmiş mail olacaq. Yəni $O$ nöqtəsindən $p$ düz xəttinə perpendikulyar endirsək bu perpendikulyarın uzunluğu radiusdan kiçik olacaq, çünki nöqtədən düz xəttə perpendikulyar və mail çəksək, mail həmişə perpendikulyardan böyükdür.

Bu perpendikulyarın düz xətt ilə kəsişmə nöqtəsini $H$ ilə işarə edək və həmin $H$ nöqtəsindən əks tərəfə $AH$ uzunluqda parça ayıraq. Bu parçanın ucunu $B$ ilə işarələsək, $AH=BH$. $OH$ perpendikulyarı $AB$ parçasının ortasında qaldığına görə əvvəl isbat etdiyimiz teoremə əsasən bu perpendikulyar $A$ və $B$ nöqtələrindən eyni məsafədə olan nöqtələrin həndəsi yeridir, yəni $OB=OA=r$. Deməli, $B$ nöqtəsi də çevrənin üzərindədir. Bu isə şərtə ziddir. Çünki şərtə görə toxunan ilə çevrənin yalnız bir ortaq nöqtəsi ola bilər.

Deməli $p$ düz xətti $OA$ radiusuna perpendikulyardır. Teorem isbat olundu.

Çevrə xaricində olan nöqtədən bu çevrəyə iki toxunan çəkək. Şəklə baxsaq, $AB$ və $AC$ parçaların $A$ nöqtəsindən çəkilmiş toxunan parçalar adlanır.

Teorem: Çevrə xaricindəki nöqtədən çəkilmiş toxunan parçalar bərabərdir və bu nöqtədən çevrənin mərkəzinə çəkilmiş düz xətt ilə bərabər bucaqlar əmələ gətirir.

Şəkil 3

İsbatı: Toxunanın tərifinə görə $\angle OBA = \angle OCA = 90°$. $OA$ tərəfi isə ortaqdır. $OB=OC$, çünki hər ikisi radiusdur. Onda $\triangle OAB = \triangle OAC$, çünki bu iki düzbucaqlı üçbucağın katet və hipotenuzları bərabərdir. Deməli, $AB=AC$ və $\angle OAB = \angle OAC$.

Teorem: Radiusun çevrə üzərində olan sonundan keçib ona perpendikulyar olan düz xətt, bu çevrənin toxunanıdır.

İsbatı: Biz isbat etməliyik ki, həmin düz xətt ilə çevrənin yeganə toxunma nöqtəsi var. Düz xətt radiusun çevrə üzərindəki sonundan keçdiyi üçün bu düz xətt ilə çevrənin toxunma nöqtəsi artıq var. İsbat etməliyik ki, bu nöqtə yeganədir. Tutaq ki, həmin düz xətt çevrəni başqa bir nöqtədə də kəsir. Onda həmin nöqtəni çevrənin mərkəzi ilə birləşdirsək çevrənin mərkəzindən eyni xəttə uzunluğu radiusa bərabər olan iki xətt çəkmiş oluruq. Bunlardan biri həmin xəttə perpendikulyar.

Biz isə bilirik ki, düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə yeganə perpendikulyar endirmək olar. Deməli ikinci xətt maildir. Digər teoremə görə düz xətt xaricindəki nöqtədən bu düz xəttə perpendikulyar və mail çəksək mail həmişə perpendikulyardan uzun olacaq. Biz isə bilirik ki, bu parçaların hər ikisinin uzunluğu radiusa bərabərdir. Burada ziddiyyətə gəldik. Yəni düz xətt çevrəni ikinci bir nöqtədə kəsə bilməz. Yəni bu düz xətt toxunandır.

Digər məqalələr

Ptolemey teoremi
Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının diaqonallarının hasili qarşı tərəflərin hasilləri cəminə bərabərdir.

Dördbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Çevrə daxilinə çəkilmiş istənilən dördbucaqlının qarşı bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Çevrə xaricinə çəkilmiş istənilən dördbucaqlının qarşı tərəflərinin cəmi bərabərdir.

Çevrə və bucaqların 6 xassəsi
Kəsişən vətərlər arasındakı bucaq həmin bucağın tərəfləri arasında qalan qövslərin ölçüləri cəminin yarısına bərabərdir. Çevrəni kəsən iki düz xətt arasındakı bucaq, həmin bucağın kəsişmədə əmələ gətirdiyi böyük qövs ilə kiçik qövsün fərqinin yarısına bərabərdir.

Çevrə və Dairə
Müstəvidə verilmiş nöqtədən eyni məsafədə olan nöqtələrin əmələ gətirdiyi həndəsi fiqura çevrə deyilir. Müstəvinin çevrə ilə məhdudlaşmış hissəsinə dairə edilir.

Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Əgər çevrə üçbucağın bütün təpələrindən keçirsə, onda bu çevrə üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə adlanır. Çevrə üçbucağın bütün tərəflərinə toxunursa, onda ona üçbucaq daxilin çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən üçbucağın xaricinə və daxilinə yeganə çevrə çəkmək olar.

Çevrənin və düz xəttin tənliyi
Əgər müstəvidə verilmiş fiqurun istənilən nöqtəsinin (x; y) koordinatları verilmiş tənliyi ödəyirsə bu tənliyə həmin fiqurun tənliyi deyilir. Düz xəttin tənliyi ax+by+c=0 kimidir.

Daxilə çəkilmiş və mərkəzi bucaqlar
Təpəsi çevrənin mərkəzində olan bucağa mərkəzi bucaq deyilir. Təpəsi çevrə üzərində olub tərəfləri çevrənin tərəflərini kəsən bucağa daxili bucaq deyilir. Daxili bucaq söykəndiyi qövsün yarısı ilə ölçülür.

Düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Əgər çoxbucaqlının bütün təpələri çevrə üzərindədirsə, bu çevrəyə çoxbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrə deyilir. Əgər çoxbucaqlının bütün tərəfləri çevrəyə toxunursa, bu çevrəyə çoxbucaqlı daxilinə çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə həmişə çevrə çəkmək olar.

Çevrə uzunluğu və dairənin sahəsi
Çevrə uzunluğunu və dairənin sahəsini tapmaq üçün onun daxilinə və xaricinə düzgün 6-bucaqlı çəkək. Daxilə çəkilmiş 6-bucaqlının perimetri p, sahəsi isə s, xaricə çəkilmiş 6-bucaqlını perimetri P, sahəsi isə S olsun.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.