Naviqator


Arxiv

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201943

Yaranma tarixi:

Törəmə nədir?


törəmə funksiya

 

Çoxlarında törəmə termini darıxdırıcı və hətta dəhşət doğuran hisslərlə əlaqələnir. Amma işiniz mənim kimi predikativ analitika və ümumiyyətlə riyazı statistika ilə əlaqədardırsa gec-tez başa düşəcəksiniz ki, törəmə ilə məcburiyyət qarşısında qalıb “dostlaşmalısınız”.

Şəxsən mən institut illərində hər dəfə diferensial tənliklər kitabını açarkən özümü dərin bir mağarada havasız və rütubət şəraitində oturmuş kimi hiss edirdim. Son vaxtlara qədər yuxuda özümü Riyazi-fizika tənlikləri imtahanına hazırlaşan görəndə soyuq tər içində ayılıb Allahdan yuxumu xeyrə calamağı diləyirdim.

Lakin son vaxtlar tez-tez işimlə əlaqədar riyazı statistikanın müxtəlif paylanma funksiyaları ilə məşğul olduğumdan yenidən riyaziyyatın bu sahəsinə baş vurmalı oldum. Bir çox məsələləri diskret şəkildə həll etmək mümkün olsa da, hiss edirdim ki, əksər hallarda modeli diferensial tənliklə daha gözəl vermək olardı. Buna görə hazırki məqalədə törəmə anlayışını məktəb və institut dərsliklərində verilən şəkildə deyil, öz yanaşmam ilə izah edəcəyəm. Limitin tərifini verib onun mənasını izah etməyəcəyəm. Birbaşa diferensialı “barmaq hesabı” ilə başa salacağam.

Tutaq ki, hər hansı $y=f(x)$ funksiyası var. Bu funksiyanın iki nöqtədə, $x_1$ və $x_2$ nöqtələrində qiymətlərini uyğun olaraq $y_1 = f(x_1)$ və $y_2 = f(x_2)$ ilə işarə edək. Arqument $x_1$-dən $x_2$-yə keçərkən funksiyanın qiymətinin dəyişməsinə baxaq. Arqument $x_1-x_2$ qədər dəyişərkən funksiya $y_1-y_2 = f(x_1)-f(x_2)$ qədər dəyişəcək. Bu dəyişməni nisbət şəklində göstərmək üçün $\dfrac {y_1-y_2}{x_1-x_2}$ və yaxud $y_1-y_2=\Delta y$ və $x_1-x_2=\Delta x$ işarələsək $\dfrac {\Delta y}{\Delta x}$ yaza bilərik. Bu yazılışda $x_1<x_2$ və ya $x_1>x_2$ olması əhəmiyyətli deyil. Çünki məxrəcdə arqumentin qiymətinin dəyişməsi hansı istiqamətdə verilirsə, surətdə də funksiyanın qiymətinin dəyişməsi eyni istiqamətdə verilir.

Çatdıq əsas məqama. İndi təsəvvür edin ki, $x_1$ və $x_2$ nöqtələri bir-birinə mümkün qədər yaxındır, $x_1-x_2$ fərqi prosessorun qəbul edə biləcəyi $0$-dan fərqli minimal ədəddir. Bu mənfi də ola bilər. Bu fərqi şərti olaraq $x_1-x_2=\pm 0$ kimi göstərmək olar. Belə bir tərifə görə riyaziyyatçılar məni bağışlasın, amma mən həmin nisbəti törəmə adlandıracağam.

$y’ = f’(x) = \dfrac{\Delta y }{\Delta x} = \dfrac {y_1-y_2}{x_1-x_2} = \dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$

Bundan sonra $y’$ görən kimi yuxarıdakı fərqin nisbətini göz önünə gətirin. İndi bu fərqin timsalında sadə funksiyaların törəmələrini tapaq.

Sabit funksiyanın törəməsi

$y=f(x)=C$

Bu funksiya $x$-ın istənilən qiymətində $C$-yə bərabərdir. Onda

$y’ = \dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\dfrac{C-C}{x_1-x_2}= \dfrac{0}{x_1-x_2}=0$

Yəni sabit funksiyanın törəməsi sıfıra bərabərdir.

$y=x$ funksiyası

$y=x$ funksiyasının törəməsində surət və məxrəc eyni olduğundan nisbət $1$-ə bərabər olacaq.

$y’=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{x_1-x_2}{x_1-x_2} = \dfrac{\Delta x}{\Delta x} = 1$

Cəmin və fərqin törəməsi

İki funksiyanın cəminin (fərqinin) törəməsinə baxaq. Tutaq ki, $y=u \pm v$ funksiyası verilib. $y’=\left(u(x) \pm v(x)\right)’$ törəməsini tapaq. Bunu tapmaq üşün törəməni bildiyimiz nisbət şəklində göstərək. Cəm halının timsalında araşdırmanı davam edəcəyik.

$u+v = \dfrac{(u(x_1)+v(x_1))-( u(x_2)+v(x_2))}{x_1-x_2} = \\[15pt] = \dfrac{u(x_1)+v(x_1)-u(x_2)-v(x_2)}{x_1-x_2} = \\[15pt] =\dfrac {(u(x_1)-u(x_2)) + (v(x_1)-v(x_2))}{x_1-x_2} = \\[15pt]= \dfrac {u(x_1)-u(x_2)}{x_1-x_2} +\dfrac {v(x_1)-v(x_2)}{x_1-x_2} = \\[15pt] = \dfrac{\Delta u}{\Delta x}+\dfrac{\Delta v}{\Delta x} = u’+v’$

Eyni çıxarış fərq üçün də işarə fərqi ilə doğrudur. Deməli, cəmin (fərqin) törəməsi, törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir.

$(u \pm v)’ = u’ \pm v’$

Hasilin törəməsi

$(u \cdot v)’ = \dfrac {u(x_1)v(x_1)-u(x_2)v(x_2)}{x_1-x_2}$

Sadəlik üçün $u_1=u(x_1)$, $u_2=u(x_2)$, $v_1=v(x_1)$, $v_2=v(x_2)$ işarələməsi aparsaq

$(uv)’ = \dfrac {u_1v_1-u_2v_2}{x_1-x_2} $

Surətə $u_2v_1$ əlavə edib çıxsaq

$\dfrac {u_1v_1-u_2v_2}{x_1-x_2} = \dfrac {u_1v_1-u_2v_1+u_2v_1-u_2v_2}{x_1-x_2} = \\[15pt] =
\dfrac {(u_1-u_2)v_1+u_2(v_1-v_2)}{x_1-x_2} = \\[15pt] = \dfrac {u_1-u_2}{x_1-x_2} v_1 + u_2 \dfrac {v_1-v_2}{x_1-x_2} = \\[15pt] = \dfrac {\Delta u}{\Delta x} v_1 +u_2 \dfrac {\Delta v}{\Delta x} = u’ v_1 + u_2 v’$

Burada $v_1$ və $u_2$ uyğun olaraq $u(x)$ və $v(x)$ funksiyalarının $x_1$ və $x_2$ nöqtələrindəki qiymətləridir. $x_1$ və $x_2$ bir-birinə sonsuz yaxın olduğundan bunları bir $x$ ilə işarə etsək, $v_1$ əvəzinə $v(x)=v$, $u_2$ əvəzinə isə $u(x)=u$ yazmaq olar. Onda

$(uv)’=u’v+uv’$

Yəni hasilin törəməsi birinci vuruğun törəməsinin ikinci vuruğa hasili ilə ikinci vuruğun törəməsinin birinci vuruğa hasilinin cəminə bərabərdir.

Bu şərtdən istifadə edib aşağıdakı mühakiməni yürütmək olar.

$y’=(Cu(x))’ = C’u(x)+Cu’(x)$

Sabit funksiyanın törəməsi sıfır olduğu üçün yuxarıdakı bərabərlik belə şəklə düşəcək

$ C’u(x)+Cu’(x) = 0+ Cu’(x) = Cu’(x) \Rightarrow (Cu)’ = Cu’$

Yəni sabiti törəmədən xaricə çıxarmaq olar. Ona görə də xətti funksiyanın törəməsi sabitə bərabərdir.

$f’(x) = (kx+b)’ = k(x’)+0=k$

Çünki $b$ sabitinin törəməsi $0$, $(kx)’=k(x)’=k$ ($x$-ın törəməsi $1$-dır). Xəttin törəməsi onun bucaq əmsalına ($k$-ya) bərabərdir.

Nisbətin törəməsi

İndi kəsr funksiyanın törəməsini tapaq.

$f’(x)=\left(\dfrac{u(x)}{v(x)} \right)’ = \dfrac {\dfrac{u(x_1)}{v(x_1)} - \dfrac{u(x_2)}{v(x_2)} }{x_1-x_2} = \dfrac {\dfrac {u_1v_2-u_2v_1}{v_1v_2}}{x_1-x_2}$

Vurma halında olduğu kimi $u_2v_2$ əlavə edib çıxsaq

$\dfrac {\dfrac {u_1v_2-u_2v_2+u_2v_2-u_2v_1}{v_1v_2}}{x_1-x_2} = \dfrac {\dfrac {(u_1-u_2)v_2-u_2(v_1-v_2)}{ v_1v_2}}{ x_1-x_2} = \\[15pt]= \dfrac {(u_1-u_2)v_2-u_2(v_1-v_2)}{v_1v_2(x_1-x_2)} = \dfrac {\dfrac{u_1-u_2}{x_1-x_2} v_2- u_2 \dfrac {v_1-v_2}{x_1-x_2}} {v_1v_2} = \dfrac {u’v_2-u_2v’}{v_1v_2}$

Burada yenə də $v_1-v_2= \pm 0$ və $u_1-u_2= \pm 0$ olduğunu nəzərə alsaq, bunların hər ikisini $v$ və $u$ ilə əvəz edə bilərik.

$\dfrac {u’v_2-u_2v’}{v_1v_2} = \dfrac {u’v-vu’}{v \cdot v} = \dfrac {u’v-vu’}{v^2}$

Qüvvətin törəməsi

İndi qüvvət funksiyasının törəməsinə baxaq. Əvvəl kvadratik funksiyadan başlayaq.

$y’=(x^2)’=\dfrac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2} = \dfrac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1-x_2} = x_1+x_2$

Yenə də $x_1-x_2=\pm 0$ olduğundan $x_1=x_2=x$ götürə bilərik. Onda

$y’ = x+x = 2x$, yəni $(x^2)’ = 2x$.

İndi $y’=(x^3)’$ baxaq.

$y’=(x^3)’=(x \cdot x^2)$

Hasilin törəməsindən bilirik ki,

$(x \cdot x^2)’=x’ \cdot x^2 + x \cdot (x^2)’ = \\[15pt] = 1\cdot x^2 + x \cdot 2x = x^2 + 2x^2 = 3x^2 \Rightarrow (x^3)’ = 3x^2$

Yoxlasanız, eynilə $(x^4)’ = 4x^3$ olduğuna əmin olacaqsınız.

İndi mənfi qüvvətin törəməsinə baxaq.

$y=x^{-2}\\[15pt]y’=(x^{-2})’=\left(\dfrac{1}{x^2}\right)’$

Yuxarıda aldığımız kəsr funksiyanın törəməsinə əsaslanaraq

$\left(\dfrac {1}{x^2}\right)’ = \dfrac{1’ \cdot x^2 – 1\cdot (x^2)’}{(x^2)^2} = \\[15pt] =\dfrac{0\cdot x^2 - 2x}{x^4}=
-\dfrac{2x}{x^4}=-\dfrac{2}{x^3}=-2x^{-3}$

Demli, bu halda da qüvvət vuruq kimi iştirak edib bir vahid azalır. Ümumiləşdirdikdə aşağıdakı düsturu alırıq.

$y’=(x^n)’=nx^{n-1}$

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

$y=f(u(x))$ mürəkkəb funksiyanın ümumi yazılışıdır. Burada $u$ funksiyası $v$ funksiyasından, $v$ isə $x$ arqumentindən asılıdır.

$y’ = (u(v))’ = (u(v(x)))’ = \dfrac{u(v(x_1))-u(v(x_2))}{x_1-x_2}$

Surət və məxrəci $v(x_1)-v(x_2)$-yə vurub bölsək

$\dfrac{u(v(x_1))-u(v(x_2))}{v(x_1)-v(x_2)} \cdot \dfrac{ v(x_1)-v(x_2)}{x_1-x_2}=\\[15pt]
= \dfrac {u(v_1)-u(v_2)}{v_1-v_2} \cdot \dfrac {v_1-v_2}{x_1-x_2} = \dfrac {u_1-u_2}{v_1-v_2} \cdot \dfrac {v_1-v_2}{x_1-x_2} = u’(v)\cdot v’(x)$

Deməli, $(u(v))’ = u’(v) \cdot v’$. Yəni $v$ funksiyasından asılı olan $u$ funksiyasının $x$ arqumentinə görə törəməsi, $u$ funksiyasının $v$ funksiyasına nəzərən törəməsinin $v$ funksiyasənən $x$ arqumentinə ənzərən törəməsi ilə hasilinə bərabərdir.

Digər məqalələr

Törəmə düsturları

Funksiyanın nöqtədəki qiymət artımının, arqumentin həmin bu artımı yaradan fərqinə nisbətinə funksiyanın həmin nöqtədəki törəməsi deyilir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.