Naviqator


Arxiv

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201943

Yaranma tarixi:

Üçbucağın tənböləninin xassələri


üçbucaq tənbölən

 

Üçbucağın tənböləninin xassələri bu məqalədə bir yerə yığmışıq.

Xassə 1: Üçbucağın tənböləni qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür (şəklə baxın).

$(1)$
$\dfrac{c}{a_1} = \dfrac{b}{a_2}$

Bu xassəni artıq isbat etmişik.

Xassə 2: Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişir və bu nöqtə daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzidır.

Bu xassəni də buradaburada isbat etmişik.

Xassə 3: Bərabəryanlı üçbucağın oturacağına çəkilmiş tənbölən həm median, həm də hündürlükdür.

Bu xassənin isbatını burada oxuya bilərsiniz.

Aşağıdakı xassələrin hamısında bu şəkildəki üçbucaqdan istifadə edəcəyik. $l$ tənböləninin üçbucağın $a$ oturacağını kəsərkən onu böldüyü parçaları $a_1$ və $a_2$ kimi işarə etmişik.

Üçbucağın tənböləni

Xassə 4: Üçbucağın tənböləninin qarşı tərəfi böldüyü parçaları tərəflər vasitəsilə belə tapmaq olar.

$(2)$
$a_1 = \dfrac{ac}{b+c}; \ a_2 = \dfrac{ab}{b+c}$

İsbatı: Bu düsturlar birbaşa xassə 1-dəki $(1)$ düsturundan alınır.

$\dfrac{c}{a_1} = \dfrac{b}{a_2} \Rightarrow \dfrac{c}{a_1} = \dfrac{b}{a-a_1} \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow ac-a_1c = ba_1 \Rightarrow (b+c)a_1 = ac \Rightarrow \\ \Rightarrow a_1 = \dfrac{ac}{b+c}\\$
$\dfrac{c}{a_1} = \dfrac{b}{a_2} \Rightarrow \dfrac{c}{a-a_2} = \dfrac {b}{a_2} \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow ab-a_2b = ca_2 \Rightarrow (b+c)a_2 = ab \Rightarrow \\ \Rightarrow a_2 = \dfrac{ab}{b+c}$

Xassə 5: Üçbucağın tənböləninin uzunluğu bitişik və qarşı tərəflər vasitəsilə aşağıdakı düsturlarla hesablanır.

$(3)$

$l=\sqrt{bc-a_1a_2}\\$

$(4)$

$l=\dfrac{\sqrt{bc(b+c+a)(b+c-a)}}{b+c}\\$

$(5)$

$l=\dfrac{2\sqrt{bcp (p-a)}}{a+b}, \ p=\dfrac{a+b+c}{2}$

İsbatı: $a_1$ və $a_2$ parçalarının uzunluğunu kosinuslar teoremi vasitəsilə belə tapmaq olar.

$a_1 = c^2 + l^2 -2cl \cos \dfrac{\alpha}{2} \\[15pt]
a_2 = b^2 + l^2 -2bl \cos \dfrac{\alpha}{2}$

Bu iki bərabərliyi $\cos \dfrac{\alpha}{2}$ –yə görə həll edib bərabərləşdirək.

$\dfrac{c^2+l^2-a_1^2}{2cl} = \dfrac{b^2+l^2-a_2^2}{2bl} \\[15pt]
(c^2+l^2-a_1^2)b=( b^2+l^2-a_2^2)c\\[10pt]
l^2(b-c) = b^2c-c^2b+a_1^2b-a_2^2c\\[10pt]
l^2(b-c) = bc(b-c) +a_1^2b-a_2^2c\\[10pt]
l^2=bc+\dfrac{ a_1^2b-a_2^2c }{b-c}$

$a_1$ və $a_2$ üçün xassə-4-dəki əvəzləmələri aparsaq:

$l^2 = bc + \dfrac{a^2c^2b-a^2b^2c}{(b-c)(b+c)^2} = \\[15pt]
=bc - \dfrac{a^2bc(b-c)}{(b-c)(b+c)^2} = bc - \dfrac{a^2bc}{(b+c)^2}$

$(2)$ əvəzləmələrini tərsinə aparsaq xassədəki $(3)$ bərabərliyini alarıq.

$l^2 = bc-a_1a_2 \Rightarrow l=\sqrt{bc-a_1a_2}$

Əvəzləməni aparmadan ortaq məxrəcə gətirsək $(4)$ düsturunu alarıq.

$l^2 = bc-\dfrac{a^2bc}{(b+c)^2} = \dfrac{bc(b+c)^2-a^2bc}{(b+c)^2} =\\[15pt]
= \dfrac{bc((b+c)^2-a^2)}{(b+c)^2} = \dfrac{bc(b+c+a)(b+c-a)}{(b+c)^2}\\[15pt]
l=\dfrac{\sqrt{bc(b+c+a)(b+c-a)}}{b+c}$

Bu düsturda $b+c+a=2p$ və $b+c-a=(b+c+a)-a-a=2p-2a=2(p-a)$ əvəzləmələrini aparsaq $(5)$ düsturunu almış olarıq.

$l=\dfrac{\sqrt{bc \cdot 2p \cdot 2(p-a)}}{a+b} = \dfrac{2\sqrt{bcp(p-a)}}{a+b}$

Xassə 6: Tənböləni bitişik tərəflər və yarım bucağın kosinusu vasitəsilə belə ifadə etmək olar:

$l=\dfrac{2bc \cos \dfrac{\alpha}{2}}{b+c}$

İsbatı: $\triangle ABD$, $\triangle ACD$ və $\triangle ABC$ üçün sahə düsturlarını $A$ təpəsindəki bucaqların sinusu vasitəsilə yazaq.

$S_{ABD} = \dfrac{1}{2}cl \sin \dfrac{\alpha}{2}$, $S_{ACD} = \dfrac{1}{2}bl \sin \dfrac{\alpha}{2}$, $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}bc \sin \alpha$

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$ olduğu üçün

$\dfrac{1}{2}bc \cdot\sin \alpha = \dfrac{1}{2}cl \cdot \sin \dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{1}{2}bl \cdot\sin \dfrac{\alpha}{2} \\[15pt]
bc \cdot 2\sin \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2} = l \cdot \sin \dfrac{\alpha}{2}(b+c) \\[15pt]
2bc \cdot \cos \dfrac{\alpha}{2} = l(b+c) \Rightarrow l = \dfrac{2bc \cdot \cos \dfrac{\alpha}{2}}{b+c}$

Məsələlər

Əvvəlcə özünüz həll etməyə çalışın

Məsələ 1: $\triangle ABC$-nin üç tənböləni çəkilib. Bu tənbölənləri uyğun olaraq $AA’$, $BB’$, $CC’$ işarə edək. $\angle B= 120°$ olarsa $\angle A’B’C’$-i tapın.

Məsələ 2: $ABC$ üçbucağının $AB$ oturacağı $16 cm$, $A$ bucağının $AD$ tənböləni $12 cm$, tənbölənin $BC$ tərəfindən ayırdığı $DB$ məsafəsi $8 cm$ olarsa üçbucağın tərəflərini tapın.

Məsələ 3: $\triangle ABC$-nin $C$ təpəsindəki xarici bucağın tənböləni $AB$ tərəfinin uzantısını hər hansı $D$ nöqtəsində kəsir, isbat edin ki,
$\dfrac{AD}{BD} = \dfrac{AC}{BC}$

Digər məqalələr

Median, tənbölən, hündürlük

Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Xaricdən daxilə çəkilmiş çevrə

Üçbucağın xaricindən daxilə çəkilmiş çevrə (və ya xaricdən daxilə çəkilmiş çevrə) elə çevrədir ki, üçbucağın bir tərəfinə xaricdən toxunur, digər iki tərəfin isə uzantılarına toxunur. Xaricdə daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzi toxunduğu tərəfin qarşısındakı daxili bucağının tənböləni ilə digər iki xarici bucağın tənbölənlərinin kəsişmə nöqtəsidir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.