Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Stüart teoremi

Kosinuslar  Stüart  üçbucaq  

 

Metio Stüart şotland astronomu və riyaziyyatçısı olub 1717-1785-ci illərdə yaşamışdır. Bu teoremi Stüart 1746-ci ildə Edinburqda çap etdirdiyi “Bəzi ümumi teoremlər” əsərində isbat etmişdir.

Stüart teoremi: Bir düz xətt üzərində olan $A$, $B$ və $C$ nöqtələrindən $B$ nöqtəsi $A$ və $C$ nöqtələri arasındadırsa müstəvinin istənilən $M$ nöqtəsi üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$MA^2 \cdot BC +MC^2 \cdot AB - MB^2 \cdot AC = AB \cdot BC \cdot CA$

Bu teoremi üçbucağın tərəfləri vasitəsilə də verirlər. Üçbucağın oturacağı üzərində olan nöqtədən qarşı təpəyə qədər məsafənin kvadratının oturacağa hasili, digər iki tərəfin kvadratlarının oturacağın onlarla qonşu olmayan hissələrinə hasili cəmi ilə oturacaq və onun hissələrinin hasilinin fərqinə bərabərdir.

$MB^2 \cdot AC = MA^2 \cdot BC +MC^2 \cdot AB - AB \cdot BC \cdot CA$

Stüart teoremi

İsbatı: $\triangle MAC$ verilib. $B$ nöqtəsi $AC$ tərəfi üzərində, $A$ və $C$ nöqtələri arasındadır. Kosinuslar teoreminə görə $\triangle MAC$-də


$(1)$

$MC^2=MA^2+AC^2-2MA \cdot AC \ cos A \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow cos A = \dfrac{MA^2+AC^2-MC^2}{2MA \cdot AC}$

Yenə Kosinuslar teoreminə görə $\triangle MAB$-də


$(2)$

$MB^2=MA^2+AB^2-2 MA\cdot AB \ cos A \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow  cos A = \dfrac{ MA^2+AB^2-MB^2}{2 MA \cdot AB}$

$(1)$ və $(2)$ bərabərliyindən aşağıdakı alınır.

$\dfrac{MA^2+AC^2-MC^2}{2MA \cdot AC} = \dfrac{ MA^2+AB^2-MB^2}{2 MA \cdot AB} \Rightarrow\\[15pt]
\Rightarrow \dfrac{MA^2+AC^2-MC^2}{AC} = \dfrac{MA^2+AB^2-MB^2}{AB} \Rightarrow\\[15pt]
\Rightarrow MA^2 \cdot AB + AC^2 \cdot AB - MC^2 \cdot AB = MA^2\cdot AC+AB^2\cdot AC-MB^2\cdot AC \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow -MA^2(AC-AB)+AB \cdot AC (AC-AB) = MC^2 \cdot AB - MB^2 \cdot AC$

Şəklə baxsaq görərik ki, $AC-AB=BC$-dir. Bunu nəzərə alsaq,

$-MA^2 \cdot BC + AB \cdot AC \cdot BC = MC^2 \cdot AB - MB^2 \cdot AC \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow MB^2 \cdot AC = MA^2 \cdot BC + MC^2 \cdot AB - AB\cdot BC \cdot AC$

Teorem isbat olundu.

Digər məqalələr

Menelay teoremi
Tutaq ki, düz xətt ABC üçbucağını kəsir. Bu xətt AB tərəfini C1, BC tərəfini A1, AC tərəfinin uzantısını isə B1 nöqtəsində kəsirsə, AC1/C1B, BA1/A1C və CB1/B1A nisbətlərinin hasili vahidə bərabərdir. Bu şərt həm də A1, B1 və C1 nöqtələrinin bir düz xətt üzərində olması üçün kafidir.

Morli teoremi
Bucağı üç bərabər hissəyə bölən şüaların hər birinə üçbölən deyilir. İstənilən üçbucağın qonşu üçbölənlərinin kəsişmə nöqtələri bərabərtərəfli üçbucağın təpə nöqtələridir.

Dezarq teoremi
Əgər iki üçbucağın cüt-cüt təpə nöqtələrini birləşdirən düz xətlər bir nöqtədə kəsişərsə və ya bu düz xətlərin üçü də paralel olarsa, onsa bu üşbucaqların həmin təpələrə uyğun tərəflərinin uzantıları kəsişirsə, bu kəsişmə nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Üçbucaq üçün Paskal teoremi
Tutaq ki, bərabəryanlı olmayan ABC üçbucağının xaricinə çevrə çəkilib. Bu çevrəyə A, B və C nöqtələrində toxunanlar çəkilib. A’, B’ və C’ nöqtələri isə həmin toxunanların ABC üçbucağının tərəflərinin uzantıları ilə kəsişmə nöqtələridir. Onda A’, B’ və C’ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Apolloniy teoremi
Üçbucağın oturacağına median çəkilibsə, onun yan tərəflərinin kvadratları cəmi, medianın kvadratı ilə oturacağının yarısının kvadratı cəminin iki mislinə bərabərdir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.