Naviqator


Arxiv

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201942

Yaranma tarixi:

Stüart teoremi


Kosinuslar Stüart üçbucaq

 

Metio Stüart şotland astronomu və riyaziyyatçısı olub 1717-1785-ci illərdə yaşamışdır. Bu teoremi Stüart 1746-ci ildə Edinburqda çap etdirdiyi “Bəzi ümumi teoremlər” əsərində isbat etmişdir.

Stüart teoremi: Bir düz xətt üzərində olan $A$, $B$ və $C$ nöqtələrindən $B$ nöqtəsi $A$ və $C$ nöqtələri arasındadırsa müstəvinin istənilən $M$ nöqtəsi üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$MA^2 \cdot BC +MC^2 \cdot AB - MB^2 \cdot AC = AB \cdot BC \cdot CA$

Bu teoremi üçbucağın tərəfləri vasitəsilə də verirlər. Üçbucağın oturacağı üzərində olan nöqtədən qarşı təpəyə qədər məsafənin kvadratının oturacağa hasili, digər iki tərəfin kvadratlarının oturacağın onlarla qonşu olmayan hissələrinə hasili cəmi ilə oturacaq və onun hissələrinin hasilinin fərqinə bərabərdir.

$MB^2 \cdot AC = MA^2 \cdot BC +MC^2 \cdot AB - AB \cdot BC \cdot CA$

Stüart teoremi

İsbatı: $\triangle MAC$ verilib. $B$ nöqtəsi $AC$ tərəfi üzərində, $A$ və $C$ nöqtələri arasındadır. Kosinuslar teoreminə görə $\triangle MAC$-də


$(1)$

$MC^2=MA^2+AC^2-2MA \cdot AC \ \cos A \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow \cos A = \dfrac{MA^2+AC^2-MC^2}{2MA \cdot AC}$

Yenə Kosinuslar teoreminə görə $\triangle MAB$-də


$(2)$

$MB^2=MA^2+AB^2-2 MA\cdot AB \ \cos A \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow  \cos A = \dfrac{ MA^2+AB^2-MB^2}{2 MA \cdot AB}$

$(1)$ və $(2)$ bərabərliyindən aşağıdakı alınır.

$\dfrac{MA^2+AC^2-MC^2}{2MA \cdot AC} = \dfrac{ MA^2+AB^2-MB^2}{2 MA \cdot AB} \Rightarrow\\[15pt]
\Rightarrow \dfrac{MA^2+AC^2-MC^2}{AC} = \dfrac{MA^2+AB^2-MB^2}{AB} \Rightarrow\\[15pt]
\Rightarrow MA^2 \cdot AB + AC^2 \cdot AB - MC^2 \cdot AB = MA^2\cdot AC+AB^2\cdot AC-MB^2\cdot AC \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow -MA^2(AC-AB)+AB \cdot AC (AC-AB) = MC^2 \cdot AB - MB^2 \cdot AC$

Şəklə baxsaq görərik ki, $AC-AB=BC$-dir. Bunu nəzərə alsaq,

$-MA^2 \cdot BC + AB \cdot AC \cdot BC = MC^2 \cdot AB - MB^2 \cdot AC \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow MB^2 \cdot AC = MA^2 \cdot BC + MC^2 \cdot AB - AB\cdot BC \cdot AC$

Teorem isbat olundu.

Stüart teoremindən alınan nəticələr

Stüart teoremi

Nəticə 1: Əgər $f$ mediandırsa, onda

$f^2 = \dfrac{1}{4}(2a^2+2b^2-e^2)$

İsbatı: Stüart teoremini aşağıdakı şəkildə yazaq. İşarələmələr şəkildəki kimidir. Bütün oturacaq $e$ ilə işarə edilib.

$f^2 = \dfrac{c}{e}a^2+\dfrac{d}{e}b^2-cd$

$f$ median olduğu üçün,

$c=\dfrac{e}{2}, \ d=\dfrac{e}{2} \\[15pt]
\dfrac{c}{e} = \dfrac{d}{e} = \dfrac {1}{2} \\[15pt]
cd = \dfrac{1}{4} e^2$

Onda medianın kvadratını belə ifadə etmək olar.

$f^2 = \dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}-\dfrac{e^2}{4} = \dfrac{1}{4}(2a^2+2b^2-e^2)$

Stüart teoremi

Nəticə 2: Əgər $f$ tənböləndirsə, onda Stüart teoremi aşağıdakı daha sadə şəklə düşər.

$f^2=ab-cd$

İsbatı: Əvvəlcə düsturu aşağıdakı şəkildə yazaq.

$f^2 = \dfrac{1}{e} \left(ca^2+db^2\right)-cd$

Bu düsturda birinci həddi sadələşdirməyə çalışaq.

$\dfrac{1}{e}\left(ca^2+db^2\right)=\dfrac{1}{e}\left((e-d)a^2+db^2\right)= \\[15pt]
=\dfrac{1}{e}\left( ea^2+db^2-da^2)\right) = a^2+\dfrac{d}{e}(b^2-a^2)$

Tənbölənin xassəsinə görə $\dfrac{d}{c}=\dfrac{a}{b}$ olduğu üçün $d=\dfrac{ac}{b}$. Onda,

$e=c+d=c+\dfrac{ac}{b}=\dfrac{(a+b)c}{b}\Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow a+b=\dfrac{eb}{c}$

Onda,

$\dfrac{1}{e}(ca^2+db^2)=a^2+\dfrac{d}{e}(b+a)(b-a)=\\[15pt]
=a^2+\dfrac{d}{e} \cdot \dfrac{eb}{c}(b-a)=a^2+\dfrac{db}{c}(b-a)$

Yenə tənbölənin xassəsinə görə $a=\dfrac{db}{c}$. Onda,

$\dfrac{1}{e}(ca^2+db^2)=a^2+a(b-a)=ab$

Nəticədəki birinci həddi aldığımız ifadə ilə əvəzləsək Stüart teoremi $f$ tənbölən olan halda aşağıdakı şəklə düşər.

$f^2=ab-cd$

Digər məqalələr

Menelay teoremi

Tutaq ki, düz xətt ABC üçbucağını kəsir. Bu xətt AB tərəfini C1, BC tərəfini A1, AC tərəfinin uzantısını isə B1 nöqtəsində kəsirsə, AC1/C1B, BA1/A1C və CB1/B1A nisbətlərinin hasili vahidə bərabərdir. Bu şərt həm də A1, B1 və C1 nöqtələrinin bir düz xətt üzərində olması üçün kafidir.

Morli teoremi

Bucağı üç bərabər hissəyə bölən şüaların hər birinə üçbölən deyilir. İstənilən üçbucağın qonşu üçbölənlərinin kəsişmə nöqtələri bərabərtərəfli üçbucağın təpə nöqtələridir.

Dezarq teoremi

Əgər iki üçbucağın cüt-cüt təpə nöqtələrini birləşdirən düz xətlər bir nöqtədə kəsişərsə və ya bu düz xətlərin üçü də paralel olarsa, onsa bu üşbucaqların həmin təpələrə uyğun tərəflərinin uzantıları kəsişirsə, bu kəsişmə nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Üçbucaq üçün Paskal teoremi

Tutaq ki, bərabəryanlı olmayan ABC üçbucağının xaricinə çevrə çəkilib. Bu çevrəyə A, B və C nöqtələrində toxunanlar çəkilib. A’, B’ və C’ nöqtələri isə həmin toxunanların ABC üçbucağının tərəflərinin uzantıları ilə kəsişmə nöqtələridir. Onda A’, B’ və C’ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Apolloniy teoremi

Üçbucağın oturacağına median çəkilibsə, onun yan tərəflərinin kvadratları cəmi, medianın kvadratı ilə oturacağının yarısının kvadratı cəminin iki mislinə bərabərdir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.