Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Sinuslar teoremi

üçbucaq  sahə  

 

Sinuslar teoremini isbat etməzdən əvvəl bir teorem isbat edək. Bu teorem bizə lazım olacaq.

Teorem: Üçbucağın sahəsi onun istənilən iki tərəfinin uzunluqları ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinin yarısına bərabərdir.

ABC üçbucağı

İsbatı: $ABC$ üçbucağına nəzər salaq. $A$ bucağının qarşısındakı tərəfi $a$ ilə, $B$ bucağının qarşısındakı tərəfi $b$ ilə, $C$ bucağının qarşısındakı tərəfi isə $c$ ilə işarə edək.

İsbat etməliyik ki,

$S = \dfrac{1}{2} ab \ sin \gamma$

$A$ təpəsindən $a$ tərəfinə hündürlük endirək. Bu hündürlüyü $h$ ilə işarə etsək $\triangle ABC$-nin sahəsi belə tapılar:

$S=\dfrac{1}{2} ah$

İndi $h$ hündürlüyünü tapaq. Sinusun tərifinə görə $sin \gamma = \dfrac{h}{b}$. Deməli, $h=b\sin \gamma$. Bunu sahə düsturunda yerinə yazsaq

$S=\dfrac{1}{2} ab \ sin \gamma$

alarıq. Teorem isbat olundu.

Sinuslar teoremi: Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir.

Sinuslar teoremi

İsbatı: Şəkildəki üçbucağa baxsaq isbat etməliyik ki,

$\dfrac{a}{sin \alpha} = \dfrac{b}{sin\beta}=\dfrac{c}{sin\gamma}$

Yuxarıda isbat etdiyimiz teoremə görə

$S=\dfrac{1}{2} bc \ sin \alpha; \ S=\dfrac{1}{2} ab \ sin \gamma; \ S=\dfrac{1}{2} ac \ sin \beta$

Birinci iki bərabərlikdən alırıq ki,

$\dfrac{1}{2} ab \ sin \gamma = \dfrac{1}{2}bc \ sin \alpha \Rightarrow a \sin \gamma = c \sin \alpha \Rightarrow \dfrac{a}{sin\alpha}=\dfrac{c}{sin\gamma}$

Eynilə ikinci və üçüncü bərabərlikdən də alırıq ki,

$\dfrac{b}{sin\beta}=\dfrac{c}{sin\gamma}$

Bunanla da Sinuslar teoremi isbat olundu.

Genişlənmiş sinuslar teoremi

Sinuslar teoremindən aşağıdakı teorem nəticə kimi çıxır ki, buna bəzən Sinuslar teoreminin genişlənmiş variantı da deyilir.

Teorem: İstənilən üçbucağın xaricinə çevrə çəksək, aşağıdakı münasibət doğrudur.

$\dfrac{a}{sin \alpha} = \dfrac{b}{sin\beta}=\dfrac{c}{sin\gamma} = 2R$

Burada $R$ xaricə çəkilmiş çevrənin radiusadır.

Genişlənmiş sinuslar teoremi

İsbatı: Teoremdəki bərabərliyi isbat etmək üçün münasibətlərdən birinin $2R$-ə bərabərliyini isbat etmək kifayətdir. Ona görə üçbucağın hər hansı iti bucağını götürüb, onun sinusunun qarşısındakı tərəfə nisbətinin $2R$ olduğunu göstərsək kifayət edəcək. İstənilən üçbucağın ən çoxu bir kor bucağı ola bilər. Yəni üçbucaqda ya bütün bucaqlar itidir, ya da ki, biri kor, digər ikisi iti bucaqdır. Odur ki, isbat üçün həmişə iti bucaq tapa bilərik.

Tutaq ki, həmin bucaq $\alpha$ bucağıdır. Həmin bucağın qarşı tərəfi $a$ olsun. Şəkildəki kimi üçbucağın $a$ tərəfinə $C$ nöqtəsindən perpendikulyar endirək və həmin perpendikulyarın çevrəni kəsdiyi nöqtəni $A_1$ ilə işarə edib həmin nöqtəni $B$ ilə birləşdirək. Aldığımız $A_1BC$ üçbucağı hipotenuzu diametrə bərabər olan düzbucaqlı üçbucaq olacaq. Çünki $A_1B$ tərəfi əslində $90°$-li daxili bucağa uyğun mərkəzi bucaq olduğu üçün açıq bucaqdır, yəni çevrənin diametridir. $\angle BA_1C=\angle BAC$, çünki hər iki daxili bucaq eyni qövsə söykənib. Deməli, $\angle BA_1C=\alpha$. Onda bu üçbucağın hipotenuzu, yəni xaricə çəkilmiş çevrənin diametri  belə hesablanacaq.

$2R=\dfrac{a}{sin \alpha}$

Teorem isbat olundu.

Digər məqalələr

Kosinuslar teoremi
Üçbucağın istənilən tərəfinin kvadratı, qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin fərqinə bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi
Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Median, tənbölən, hündürlük
Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Pifaqor teoremi
Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri
İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaq
Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Oxşar üçbucaqlar
Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi
Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Üçbucaqların həlli
Üçbucağın həlli dedikdə verilmiş 3 element vasitəsilə onun bütün tərəflərinin və bucaqlarının tapılması nəzərdə tutulur. Bu məsələni üç halda araşdıracağıq.

Bərabərtərəfli üçbucaq
Bütün tərəfləri bərabər olan üçbucağa bərabərtərəfli üçbucaq deyilir. Bərabərtərəfli üçbucaqda bütün bucaqlar 60°-dir. Belə üçbucaqlarda median, hündürlüyk və tənbölənlər üst-üstə düşür.

Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Fales teoremi
Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Sadə fiqurların sahəsi
Üçbucaq, düzbucaqlı, trapesiya, paraleloqram və rombun sahə düsturları yəqin ki, məktəb kursundan yadınızdadır. Bəs bu sahə düsturlarının çıxarılışı necə? O da yadınızadadırmı? Əgər unutmusunuzsa oxuyub hamısını bir dəfəyə yada salın.

Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi
Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının bu oturacaq qarşısındakı bucağın yarısının tangensinin 4 mislinə nisbətinə bərabərdir. Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının dörddən birinin yan tərəfin oturacaqla əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə hasilinə bərabərdir.

Üçbucağın sahəsinin 8 xassəsi
Əgər iki üçbucağın eyni bucaqları varsa, onların sahələrinin nisbəti bu bucaqları əmələ gətirən tərəflərin hasilinin nisbətinə bərabərdir. Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

Üçbucağın sahəsi
Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün çoxlu düsturlar mövcuddur. Burada onları bir yerə yığmışıq. Əvvəl bütün növ üçbucaqlar üçün doğru olan sahə düsturları gəlir. Sonra bərabərtərəfli üçbucaq, ən axırda isə məxsusi olaraq düzbucalı üçbucağın sahəsi üçün düsturlar verilir.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi
Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun yarımperimetri ilə hər bir katetin ayrı-ayriliqda fərqinin hasilinə bərabərdir. Bu sahə həm də üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu ilə bu radiusun hipotenuz ilə cəminin hasilinə bərabərdir. Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrənin hipotenuza toxunma nöqtəsində onu böldüyü hissələrin uzunluqları hasili də sahəni verir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.