Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Yaranma tarixi:

Pifaqor teoremi

Tarixçə

Əvvəla onu deyək ki, düzbucaqlı üçbucağın düz bucağını əmələ gətirən tərəflərə katetlər, düz bucağın qarşısındakı tərəfə isə hipotenuz deyilir.

Düzbucaqlı üçbucaq

Qədim yunan filosofu Pifaqor b.e. əvvəl 500-cü ildə yaşamış və 80 il ömür sürmüşdür. Hazırda danışacağımız teorem isə əslində Pifaqordan daha əvvəl istifadə edilib və konkret hallar üçün öz təsdiqini tapıb. Belə ki, katetləri 3 və 4 vahid olan düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzunun 5 olması 1500 il Pifaqordan əvvəl misirlilərə bəlli olub. Bu fakt yeri ölçmə zamanı və tikintidə istifadə edilmişdir. Əslində onlar bu teoremin əksini istifadə etmişdilər. Yəni tərəfləri 3,4 və 5 olan üçbucaqdan düz bucaq almaq üçün istifadə etmişdilər.

Eyni fakt Babilistan, Çin və Meksikada ehramların tikintisində istifadə edilib. Ondan da əvvəl bu teorem hindlilərdə istifadə olunub. Ona görə demək olar ki, Pifaqor bu xassəni ilk olaraq ümumiləşdirib, isbat edib, bununla da praktikadan elmə gətirib.

Ona görə də təsadüfi deyil ki, Pifaqor teoremi ən çox müxtəlif isbatı olan teorem kimi tarixə düşüb. 1940-cı ildə nəşr olunmuş kitabda bu teoremin 370 müxtəlif isbatı verilib. Biz isə burada 5 növ isbat ilə kifayətlənəcəyik.

Pifaqor teoremi

Teorem: Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Əgər katetləri $a$ və $b$, hipotenuzu $c$ ilə işarə etsək $c^2 = a^2 + b^2$.

İsbat 1: Bu isbatı Pifaqor özü vermişdir. Başqa bir mənbədə bu isbatı qədim çinlilərin adına çıxırlar. Şəkildəki düzbucaqlı üçbucağın $b$ katetinə $a$ qədər, $a$ katetinə $b$ qədər əlavə edib uzadaq. Sonra isə bu fiquru kvadrata qədər tamamlayaq. Şəklə diqqət yetirsək görərik ki, alınmış kvadratın tərəfi $a+b$-dir.

Düzbucaqlı üçbucaqPifaqor teoremi

Böyük kvadratın daxilindəki 4 üçbucağın hamısı bərabərdir. Ona görə ki, bu üçbucaqların hamısının uyğun katetləri bərabərdir və aralarındakı bucaqlar isə düz bucaqdır. Deməli üçbucaqların bərabərliyinin birinci əlamətinə görə bu üçbucaqlar bərabərdir. Yəni hamısının hipotenuzu $c$-yə bərabərdir.

Bu isə o deməkdir ki, daxildə alınan dördbucaqlı tərəfi $c$ olan rombdur. İndi bu rombun bucaqlarına baxaq. Yuxarıda qeyd etdik ki, bütün 4 üçbucaq bərabərdir. Deməli onların uyğun bucaqları da bərabərdir. Şəkildə bərabər bucaqlar eyni hərflərlə işarə edilib. Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi $180°$ olduğunu nəzərə alsaq hər bir üçbucaq üçün $α+β+90° = 180°$. Deməli $α+β=90°$ olacaq. Baxsaq görərik ki, həmin $α$ və $β$ bucaqları dördbucaqlının hər bir təpəsinə söykənib və onunla birlikdə açıq bucaq ($180°$) əmələ gətirir. Yəni daxili dördbucaqlının hər təpəsindəki bucaq $α$ və $β$ ilə birlikdə $180°$ olacaq. $α+β=90°$ olduğu üçün bu bucaq da $90°$-yə bərabərdir.

Deməli bayaq romb olduğunu isbat etdiyimiz dördbucaqlı əslində kvadrat imiş. Onda həmin daxili kvadratın sahəsi $c^2$ olacaq. İndi böyük kvadratın sahəsini iki cür hesablayaq. Tərəf vasitəsilə bu sahə

$S = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Daxildəki üçbucaqların sahəsini $s$ ilə işarələsək, 4 dənə üçbucaq və mərkəzdəki kvadratın sahələri cəmi elə böyük $S$ sahəsini verəcək.

$ S = c^2 + 4s = c^2 + 4 \cdot \dfrac{ab}{2} = c^2 + 2ab $

Bu sahələri bərabərləşdirsək

$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab => c^2 = a^2 + b^2$

İsbat 2: İndi qədim Hindistanda verilən isbata nəzər salaq. Burada da düzbucaqlı üçbucaqları əvvəlcə yuxarıdakı kimi kvadrata tamamlayırlar. Sonra bu 4 üçbucağı başqa cür birləşdirib eyni kvadratı bu dəfə başqa cür alırlar.

Hindistan isbatı

Bu alınan kvadrat  4 üçbucaq və 2 kiçik kvadratdan təşkil olunub. Özü də bu kvadratların tərəfləri $a$ və $b$-dir. Yenə sahələri bərabərləşdirsək görərik ki, hər iki sahədə eyni düzbucaqlı üçbucaqlar 4 dəfə iştirak edir. Onların sahəsini $s$ ilə işarə etsək

$S = c^2 + 4s$

$S = a^2 + b^2 + 4s $

$c^2 + 4s = a^2 + b^2 + 4s \Rightarrow c^2 = a^2 + b^2 $

İsbat 3: Bu isbatı 20-ci ABŞ prezidenti Ceyms Qarfild (1831-1881) verib. 1976-cı il “New England Journal of Education” jurnalının 1 aprel nüsxəsində həmin isbat dərc edilsə də Qarfildin ölümündən 60 il sonra aşkarlanıb. Bəlkə də jurnal 1 apreldə buraxılmasaydı münasibət daha ciddi olardı :-). Bu isbat son dərəcə trivialdır.

Ceyms Qarfildin isbatı

Qarfild düzbucaqlı üçbucağın eynisini onun b tərəfinə şəkildəki kimi əlavə edir. Nəticədə oturacaqları $a$ və $b$, hündürlüyü isə $a+b$ olan trapesiya alır. $\gamma$ bucağının düz bucaq olması eynilə isbat1-də olduğu kimi göstərilir.

Onda alırıq ki, bu trapesiya üç düzbucaqlı üçbucaqdan ibarətdir. Bunların ikisini biz özümüz bir-birinə bərabər qurmuşuq. Üçüncüsü isə katetləri bir-birinə bərabər olan bərabəryanlı düzbucaqlı üçbucaqdır. Trapesiyanın sahəsini iki cür tapaq. Bilirik ki, trapesiyanın sahəsi oturacaqları cəminin yarısı ($\dfrac{a+b}{2}$) ilə hündürlüyü ($a+b$) hasilinə bərabərdir.

$ S = \dfrac{a+b} {2} (a+b) = \dfrac{(a+b)^2} {2}$

digər tərəfdən bu trapesiyanın sahəsi onu əmələ gətirən üçbucaqların sahələri cəminə bərabərdir

$ S = 2 \dfrac{ab}{2} + \dfrac{c^2}{2} = \dfrac{2ab + c^2}{2}$

Bu sahələri bərabərləşdirsək:

$ \dfrac{(a+b)^2} {2} = \dfrac{2ab + c^2}{2} \Rightarrow a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab \Rightarrow c^2 = a^2 + b^2 $

İsbat 4: Bu isbatı Bxaskara (1114-1185) vermişdir. Düzü bu isbatı əvvəl özüm tapdım. Sonra isə maraqlandım ki, belə sadə isbat ola bilməz ki, əvvəllər kiminsə ağlına gəlməsin. Plagiat olmasın deyə elə Bxaskaranın adı ilə də verirəm. Şəklə diqqət yetirin.

Bxaskaranın isbatı

Burada 4 eyni düzbucaqlı üçbucağın hər birinin kiçik katetini o biri üçbucağın böyük katetinə birləşdirək. Nəticədə tərəfi $c$ olan romb alınacaq. Hər bir düzbucaqlı üçbucağın $\alpha $ və $\beta $ bucaqlarının cəmi $90°$-dir. Eyni bucaqlar da rombun təpə bucaqlarını təşkil edir. Ona görə alınan rombun da bütün dörd bucağı $90°$ olacaq.  Deməli, xaricdə alınan dördbucaqlı tərəfi $c$ olan kvadratdır. Daxildəki dördbucaqlı da bütün tərəfləri $b-a$-ya bərbər olan kvadratdır. Çünki bucaqlarının hamısı $90°$-li bucağın qonşu bucaqlarıdır.

Yenə xarici kvadratın sahəsini iki cür ifadə edək.

$ c^2 = 4 \dfrac{ab}{2} + (b-a)^2 = 2ab + b^2 - 2ab + a^2 = a^2 + b^2 $

İsbat 5: Bu isbat üçbucaqların oxşarlığına əsaslanıb. Üçbucağın düz bucaq təpəsindən ($A$) onun hipotenuzuna $AD$ hündürlüyü endirsək iki yeni düzbucaqlı üçbucaq alarıq. $ \triangle DAC $ və $\triangle DBA$.

Əvvəlcə $ \triangle ABC$ və $\triangle DBA$-ya baxaq. $ \angle ABC = \angle DBA$ və hər ikisinin bir bucağı düz bucaqdır. Onda üçbucaqların oxşarlığının birinci əlamətinə görə bu üçbucaqlar oxşardır($ \triangle ABC \sim \triangle DBA$).

İndi $ \triangle ABC$ və $\triangle DAC$-yə baxaq. Bu üçbacaqlarda $ \angle ABC \perp \angle DAC$. Tərəfləri perpendikulyar olan iti bucaqlar bərabər olduğu üçün $ \angle ABC = \angle DAC$. Digər tərəfdən $\angle BAC=\angle ADC = 90°$. Yenə üçbucaqların oxşarlığının birinci əlamətinə görə $ \triangle ABC \sim \triangle DAC$.

Pifaqor teoremi

Oxşar üçbucaqların tərəfləri mütənasib olduğuna görə

$ \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BD}{AB} \Rightarrow \dfrac {a}{c} = \dfrac{e}{a} \Rightarrow e = \dfrac{a^2}{c} $

Eynilə,

$ \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{CD}{AC} => \dfrac {b}{c} = \dfrac{d}{b} \Rightarrow d = \dfrac{b^2}{c} $

Digər tərəfdən

$ c = d+e \Rightarrow c =  \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{a^2}{c} => c^2 = a^2 + b^2 $

Teorem isbat olundu.

Tərs Pifaqor teoremi

Teorem: Əgər üçbucağın bir təfəsinin kvadratı digər iki tərəfin kvadratı cəminə bərabərdirsə bu üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdır.

Tərs Pifaqor teoremi

İsbatı: Tutaq ki, $\triangle ABC$-də $AC^2 = AB^2+BC^2$. İsbat edək ki, $\angle B$ düz bucaqdır.

Bunun üçün elə $\triangle A_1B_1C_1$ götürək ki, $B_1$ təpəsindəki bucaq düz bucaq olsun və $AB=A_1B_1$, $BC=B_1C_1$. Onda Pifaqor teoreminə görə

$A_1C_1^2 = A_1B_1^2+B_1C_1^2$.

Tərəflər bərabər olduğu üçün

$AB^2+BC^2 = A_1B_1^2+B_1C_1^2$.

Deməli,

$A_1C_1^2 = AC^2 \Rightarrow A_1C_1=AC$

Üçbucaqların bərabərliyinin üçüncü əlamətinə görə $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Yəni $\triangle ABC$ də düzbucaqlı üçbucaqdır.

Bu isbatdan çıxır ki, tərəfləri 3,4 və 5 olan üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdır. $5^2=3^2+4^2$. Bu üçbucaq Misir üçbucağı adlanır. Tərəfləri tam ədədlər olan düzbucaqlı üçbucaqlara Pifaqor üçbucaqlrı deyilir.

Digər məqalələr

Üçbucaq bərabərsizliyi
Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Median, tənbölən, hündürlük
Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Uçbucaqların bərabərlik əlamətləri
İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaq
Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Oxşar üçbucaqlar
Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi
Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Fales teoremi
Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Düzbucaqlı üçbucaq
Bucaqlardan biri 90° olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Düzbucaqlı üçbucaqda 30°-li bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir. Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük onu iki oxşar üçbucağa ayırır.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.