Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Üçbucaq üçün Paskal teoremi

Paskal  üçbucaq  

 

Blez Paskal (1623-1662) qısa bir ömür yaşasa da fizika və riyaziyyat kimi dəqiq elmlərlə yanaşı fəlsəfə və ədəbiyyatda da iz buraxmışdır. O, riyazı analizin, ehtimal nəzəriyyəsinin və proyektiv həndəsənin yaradıcılarından sayılır.

Paskal teoremi: Tutaq ki, $\triangle ABC$ bərabəryanlı deyil. Onun xaricinə çevrə çəkilib. $AA’$, $BB’$ və $CC’$ bu çevrəyə uyğun olaraq $A$, $B$ və $C$ nöqtələrində toxunandır. $A’$, $B’$ və $C’$ nöqtələri isə həmin toxunanların $ABC$ üçbucağının tərəflərinin uzantıları ilə kəsişmə nöqtələridir. Onda $A’$, $B’$ və $C’$ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Paskal teoremi

İsbatı: Şəkilə diqqət yetirin. Bilirik ki, vətərlə toxunan arasındakı bucaq bu vətərin əmələ gətirdiyi qövsün yarısına bərabərdir. Onda $\alpha ' = \angle BAA’$ bucağı $\smile AB$-nin yarısına bərabərdir. Digər tərəfdən $\triangle ABC$-nin $C$ təpəsindəki bucağı da $\dfrac{\smile AB}{2}$-yə bərabərdir. Deməli,

$\alpha ' = \angle C$.

$\alpha '' = \angle A'AC$ isə $\dfrac{\smile ABC}{2}$-yə bərabərdir. $\smile ABC$-ni isə $2 \pi - \smile AC = 2\pi – 2\cdot \angle B$ kimi yaza bilərik. Onda

$\alpha '' = \dfrac{2\pi-2\cdot \angle B}{2} = \pi - \angle B$

Eyni qayda ilə,

$\beta ' = \dfrac{\smile BAC}{2} = \dfrac {2\pi - \smile BC}{2} = \pi - \dfrac{\smile BC}{2} = \pi - \angle A \\[15pt]
\beta '' = \angle C \\[15pt]
\gamma ' = \dfrac{\smile ABC}{2} = \dfrac{2\pi - \smile AC}{2} = \pi - \angle B \\[15pt]
\gamma '' = \angle A$

Bilirik ki, Menelay teoremi nöqtələr üçbucağın xaricində olduqda belə doğrudur. Həmin teoremi triqonometrik şəkildə bu üçbucaq üçün yazsaq

$\dfrac{sin \alpha '}{sin \alpha ''} \cdot \dfrac{sin \beta '}{sin \beta ''} \cdot \dfrac{sin \gamma '}{sin \gamma ''} =\\[15pt]= \dfrac {sin \angle C }{sin (\pi - \angle B)} \cdot \dfrac{sin (\pi - \angle A)}{sin \angle C} \cdot \dfrac{sin (\pi - \angle B)}{sin \angle A} = 1$

Çünki $sin (\pi - \alpha) = sin \alpha$. Bununla da Paskal teoremi isbat olundu.

Digər məqalələr

Stüart teoremi
Üçbucağın oturacağı üzərində olan nöqtədən qarşı təpəyə qədər məsafənin kvadratının oturacağa hasili, digər iki tərəfin kvadratlarının oturacağın onlarla qonşu olmayan hissələrinə hasili cəmi ilə oturacaq və onun hissələrinin hasilinin fərqinə bərabərdir.

Menelay teoremi
Tutaq ki, düz xətt ABC üçbucağını kəsir. Bu xətt AB tərəfini C1, BC tərəfini A1, AC tərəfinin uzantısını isə B1 nöqtəsində kəsirsə, AC1/C1B, BA1/A1C və CB1/B1A nisbətlərinin hasili vahidə bərabərdir. Bu şərt həm də A1, B1 və C1 nöqtələrinin bir düz xətt üzərində olması üçün kafidir.

Morli teoremi
Bucağı üç bərabər hissəyə bölən şüaların hər birinə üçbölən deyilir. İstənilən üçbucağın qonşu üçbölənlərinin kəsişmə nöqtələri bərabərtərəfli üçbucağın təpə nöqtələridir.

Dezarq teoremi
Əgər iki üçbucağın cüt-cüt təpə nöqtələrini birləşdirən düz xətlər bir nöqtədə kəsişərsə və ya bu düz xətlərin üçü də paralel olarsa, onsa bu üşbucaqların həmin təpələrə uyğun tərəflərinin uzantıları kəsişirsə, bu kəsişmə nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Apolloniy teoremi
Üçbucağın oturacağına median çəkilibsə, onun yan tərəflərinin kvadratları cəmi, medianın kvadratı ilə oturacağının yarısının kvadratı cəminin iki mislinə bərabərdir.

Papp teoremi
Bu teorem yunan riyaziyyatçısı İskəndəriyyəli Pappın adı ilə bağlıdır. O, bu teoremi eramızın 4-cü əsrində isbat edib. Haqqında danışılacaq teorem Pifaqor teoreminin analoqudur. Fərqi isə ondadır ki, Papp teoremi üçbucaq üzərinə heç bir məhdudiyyət qoymur.

Jerqon nöqtəsi və Jerqon teoremi
Üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin tərəflərlə toxunma nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların kəsişmə nöqtəsi Jerqon nöqtəsi adlanır.

Napoleon teoremi
Əgər ixtiyari üçbucağın tərəflərində bərabərtərəfli üçbucaqlar qursaq, onların mərkəzləri də bərabərtərəfli üçbucağın təpəsi olacaq. İlk dəfə bu teoremi Vilyam Rezerford Napoleonun ölümündən 4 il sonra çap elətdirib.

Çeva teoremi
İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Çeva teoremi üçbucağın təpələrindən çəkilmiş şüaların bir nöqtədə kəsişməsi üçün zəruri və kafi şərt verir.

Üçbucaq üçün Van-Obel teoremi
ABC üçbucağının daxilində O nöqtəsində kəsişən üç AA1, BB1 və CC1 çevianları üçün belə bir bərabərlik doğrudur: CO/OC1 = CA1/A1B + CB1/B1A

Qauss teoremi
Tutaq ki, düz xətt üçbucağın iki tərəfini və üçüncü tərəfin uzantısını kəsir. Onda, kəsişmə nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların orta nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.