Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Menelay teoremi

İskəndəriyyəli Menelay bizim eranın I əsrində Yunanıstanda yaşamış riyazıyyatçı və astronom olub. O, sferik triqonometriya üzrə bir sıra əsərlərin müəllifidir. Belə ki, “Sferika” adlı 3 kitab, “Vətərlərin hesablanması” adlı 6 kitab və “Həndəsənin başlanğıcı” adlı 3 kitabın müəllifidir. Bir çox işlərində istifadə etdiyi teorem bu gün Menelay teoremi kimi tanınır.

Menelay teoremi: Tutaq ki, düz xətt $\triangle ABC$-ni kəsir. Bu xətt $AB$ tərəfini $C_1$, $BC$ tərəfini $A_1$, $AC$ tərəfinin uzantısını isə $B_1$ nöqtəsində kəsir. Onda aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

Menelay teoremi

İsbatı: $\triangle ABC$-nin $C$ nöqtəsindən $AB$ tərəfinə paralel xətt çəkək. Onun $B_1C_1$ xətti ilə kəsişməsini $K$ ilə işarə edək. $\triangle AC_1B_1$ və $\triangle CKB_1$-ə nəzər salaq. Onların $B_1$ təpəsindəki bucaqları eyni, $C_1$ və $K$ təpələrindəki bucaqları isə iki paralel xəttin üçüncü ilə kəsişməsindən alınan uyğun bucaqlar olduğu üçün bərabərdir. Deməli, iki bucağa görə $\triangle AC_1B_1 \sim \triangle CKB_1$.

Oxşarlıqdan alınır ki,

$\dfrac {AC_1}{CK} = \dfrac {B_1A}{CB_1}$

$\triangle BC_1A_1$ və $\triangle CKA_1$-də $A$ təpəsindəki bucaqlar qarşılıqlı, $B$ və $C$ təpəsindəki bucaqlar isə iki paralel düz xəttin üçüncü ilə kəsişməsindən alınan çarpaz bucaqlar olduğu üçün bərabərdir. Deməli, bu iki üçbucaq da oxşardır. Bu oxşarlıq da bizə aşağıdakı bərabərliyi verir.

$\dfrac {C_1B}{CK} = \dfrac{BA_1}{A_1C}$

Bu bərabərliklərdən $CK$-nı tapsaq

$CK = \dfrac{AC_1 \cdot CB_1}{B_1A} = \dfrac{C_1B \cdot A_1C}{BA_1}$

Bütün parçaların uzunluğu sıfırdan fərqli olduğu üçüm sol tərəfi sağ tərəfə bölə bilərik

$\dfrac{AC_1 \cdot CB_1 \cdot BA_1}{B_1A\cdot C_1B \cdot A_1C}=\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

Tərs Menelay teoremi: Tutaq ki, $\triangle ABC$ verilib. $C_1$ nöqtəsi $AB$ tərəfində, $A_1$ nöqtəsi $BC$ tərəfində, $B_1$ nöqtəsi isə $AC$ tərəfinin uzantısı üzərindədir və aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

Onda $A_1$, $B_1$ və $C_1$ nöqtələri bir düz xətt üzərində yerləşir.

Tərs Menelay teoremi

İsbatı: Bunun tərsini fərz edək. Tutaq ki, teoremdəki şərtin ödənməsinə baxmayaraq $A_1$, $B_1$ və $C_1$ nöqtələri bir düz xətt üzərində deyil. Onda $A_1$ və $B_1$ nöqtələrindən keçən bir düz xətt çəkək. Tutaq ki, bu düz xətt $AB$ tərəfini hər hansı $C_2$ nöqtəsində kəsir. Onda Menelay teoreminə görə

$\dfrac{AC_2}{C_2B}\cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

Bu bərabərliyi teoremin şərti ilə eyniləşdirsək alarıq ki,

$\dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AC_2}{C_2B}$

Bu isə o deməkdir ki, $C_1$ və $C_2$ nöqtələri $AB$ parçasını eyni nisbətdə bölür, yəni $C_1$ və $C_2$ üst-üstə düşür. Teorem isbat olundu.

Ümumiləşdirilmiş Menelay teoremi

Qeyd: Menelay teoremi və onun tərsi $A_1$, $B_1$ və $C_1$ nöqtələrinin hər üçü $ABC$ üçbucağının tərəflərinin uzantısı üzərində olduğu hal üçün də doğrudur. Bunun isbatı eynilə yuxarıdakı isbat kimi üçbucaqların oxşarlığından alınır. Bunun üçün $B$ təpəsindən $AC$ tərəfinə paralel xətt çəkmək lazımdır.

$\triangle A_1KB \sim \triangle A_1B_1C \Rightarrow \dfrac{KB}{CB_1} = \dfrac{BA_1}{A_1C}$

$\triangle KBC_1 \sim \triangle B_1AC_1 \Rightarrow \dfrac{KB}{B_1A} = \dfrac{C_1B}{AC_1}$

Bu iki bərabərlikdən $KB$-ni tapsaq:

$KB = \dfrac{BA_1 \cdot CB_1}{A_1C}= \dfrac{C_1B \cdot B_1A}{AC_1} \Rightarrow $

$ \dfrac{AC_1 \cdot BA_1 \cdot CB_1}{C_1B \cdot A_1C \cdot B_1A}=1 \Rightarrow \dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

Digər məqalələr

Jerqon nöqtəsi və Jerqon teoremi
Üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin tərəflərlə toxunma nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların kəsişmə nöqtəsi Jerqon nöqtəsi adlanır.

Çeva teoremi
İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Çeva teoremi üçbucağın təpələrindən çəkilmiş şüaların bir nöqtədə kəsişməsi üçün zəruri və kafi şərt verir.

Üçbucaq üçün Van-Obel teoremi
ABC üçbucağının daxilində O nöqtəsində kəsişən üç AA1, BB1 və CC1 çevianları üçün belə bir bərabərlik doğrudur: CO/OC1 = CA1/A1B + CB1/B1A

Qauss teoremi
Tutaq ki, düz xətt üçbucağın iki tərəfini və üçüncü tərəfin uzantısını kəsir. Onda, kəsişmə nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların orta nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.