Навигатор


Архив

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201955

Дата создания:

Глава II. Задача 32 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)


предел

 

Докажите сходимость последовательности $\{x_n\}$, где $x_n = \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k}$

Решение

Знаем, что монотонная ограниченная последовательность сходится. Сначала нам нужно доказать монотонность этой последовательности. Попробуем доказать, что $\{x_n\}$ возрастающая последовательность. Для этого нам потребуется показать, что $\forall n \quad x_{n+1}> x_n$.

$x_{n+1}=\dfrac{1}{n+1+1} + \dfrac{1}{n+1+2}+ \ ... \ + \dfrac{1}{n+1+n+1} =\\[15pt]
= \dfrac{1}{n+2} + \dfrac{1}{n+3} + \ ... \ + \dfrac{1}{2n+2}\\[15pt]
x_n=\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2}+ \ ... \ + \dfrac{1}{2n}$

Эти две последовательности имеют много общих элементов, за исключением следующих трех. Они и останутся при разности этих двух последовательностей:

$x_{n+1}-x_n = \dfrac{1}{2n+1} + \dfrac{1}{2n+2}-\dfrac{1}{n+1}=\\[15pt]
=\dfrac{2n+2+2n+1}{(2n+1)(2n+2)}-\dfrac{1}{n+1}=\\[15pt]
= \dfrac{4n+3-2(2n+1)}{2(2n+1)(n+1)}=\dfrac{1}{2(n+1)(2n+1)}$

Мы показали, что $x_{n+1}>x_n$. Это значит $\{x_n\}$ возрастающая последовательность.

Эта последовательность снизу ограничена, так как $x_1=\dfrac{1}{2}$, а последовательность возрастающая, все члены последовательности больше, чем $\dfrac{1}{2}$. Осталось показать, что последовательность ограничена и сверху.

$$\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n+k} < \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} = 1$$

Значит любой член последовательности $|x_n| \leqslant 1$. Таким образом мы доказали монотонность и ограниченность этой последовательности. Значит она сходится.

Читайте также

Глава II. Задача 7 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что в некоторой окрестности нуля находится:
а) конечное число членов последовательности;
б) бесконечное число членов последовательности.
Следует ли отсюда, что в каждом из этих случаев последовательность является: ограниченной; бесконечно малой; бесконечно большой.

Глава II. Задача 30.а (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Нужно вычислить следующий предел:
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{2^2} + \dfrac{3}{2^3} + ... + \dfrac{n}{2^n}\right)$

Глава II. Задача 2 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пользуясь определением предела последовательности, докажите правильность следующих утверждений:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(-1)^n}{n}=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2n}{n+3}=2$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\cos n}{n}=0$; г)$\lim \limits_{n \to \infty} \log_n 2=0$; д)$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3+2n+1} =0$

Глава II. Задача 1 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Ограничены ли следующие последовательности:
а)$x_n = (-1)^n \dfrac{1}{n}$; б)$x_n = 2n$; в)$x_n = \ln n$; г)$x_n = \sin n$; д)$x_n = 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, \ ... $
Обоснуйте ответы.

Глава II. Задача 4, 5 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть $\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$. Следует ли отсюда, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$ ?

Глава II. Задача 3 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что $\lim \limits_{n \to \infty} x_n=a$. Докажите следующие равенства:
а)$\lim \limits_{n \to \infty} (x_{n+1}-x_n)=0$; б)$\lim \limits_{n \to \infty} |x_n|=|a|$; в)$\lim \limits_{n \to \infty} x_n^2=a^2$

Глава II. Задача 6 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится и $M=\sup\{x_n\}, \ m=\inf\{x_n\}$. Докажите, что $\exists n$ такое, что $x_n=M$, либо $\exists k$, такое, что $x_k=m$, либо $\exists n,k$, такие, что $x_n=M, \ x_k=m$. Приведите примеры последовательностей всех трех видов.

Глава II. Задача 9 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Приведите примеры последовательностей $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$, для которых $\lim_\limits{n \to \infty} x_n =0$, $\lim_\limits{n \to \infty} y_n =\infty$, а произведение их $\{ x_n y_n\}$ является последовательностью: а) сходящейся; б) расходящейся, но ограниченной; в) бесконечно малой; г) бесконечно большой.

Глава II. Задача 8 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Известно, что последовательность $\{ x_n \}$ сходится, а $\{ y_n \}$ бесконечно большая. Может ли последовательность $\{ x_n y_n \}$: а) сходиться; б) расходиться, но быть ограниченной; в) быть бесконечно большой; г) быть бесконечно малой?

© Все права защищены

Все статьи этого сайта написаны Джафаром Н.Алиевым. Перепечатывание любой статьи на стороннем ресурсе должно сопровождаться именем автора и ссылкой на данный ресурс. Сам автор следует этим правилам.