Навигатор


Архив

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201955
20234

Дата создания:

Глава I. Задачи 27, 28, 29 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)


Бутузов математическая индукция

 

Применяя метод математической индукции, докажите, что $\forall n \in \mathbb{N}$ справедливы следующие равенства.

Задача 27

$1+2+3+...+n = 0,5n(n+1)$

Решение

Обозначим сумму для $n$ элементов через $S_n$. Для $n=1$ это равенство очевидно.

$S_1 = 0,5 \cdot 2 = 1$

Для $n=k$ допустим справедливо это равенство:

$S_k = 0,5k(k+1)$

Докажем справедливость для $n=k+1$.

$S_{k+1}=0,5(k+1)(k+2) = 0,5 \cdot k \cdot (k+1)+0,5 \cdot 2 \cdot (k+1) = \\
= 0,5k(k+1)+(k+1)=S_k+(k+1)$

Задача 28

$1^2+2^2+3^2+ ... +n^2 = \dfrac{1}{6} n (n+1)(2n+1)$

Решение

Для $n=1$ справедливо:

$S_1=\dfrac{1}{6}(1+1)(2+1)=1$

Допустим для $n=k$:

$S_k = \dfrac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$

Докажем для $n=k+1$:

$ S_{k+1} = \dfrac{1}{6}(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)=\\[15pt]
= \dfrac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+1+2)=\\[15pt]
= \dfrac{1}{6}(k+1) \Big( k(2k+1)+2k+2(2k+1)+4 \Big) =\\[15pt]
= \dfrac{1}{6}\Big( k(k+1)(2k+1)+(k+1)(6k+6) \Big)=\\[15pt]
= \dfrac{1}{6}\cdot k(k+1)(2k+1)+\dfrac{1}{6} \cdot 6(k+1)^2=S_k+(k+1)^2$

Задача 29

$1^3+2^3+3^3+ ... +n^3 = 0,25n^2(n+1)^2$

Решение

Для $n=1$ справедливо:

$S_1=0,25 \cdot 1 \cdot (1+1)^2=0,25 \cdot 4 =1$

Допустим для $n=k$:

$S_k = 0,25k^2(k+1)^2$

Докажем для $n=k+1$:

$S_{k+1}=0,25(k+1)^2 (k+2)^2=0,25(k+1)^2(k^2+4k+4)=\\[5pt]
=0,25 \Big( k^2(k+1)^2 +4(k+1)(k+1)^2 \Big)= 0,25 k^2(k+1)^2 + (k+1)^3=S_k+(k+1)^3$

Читайте также

Глава I. Задачи 30, 31, 34 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Применяя метод математической индукции, докажите справедливость неравенства $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4}\cdot \ ... \ \cdot \dfrac{2n-1}{2n} < \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}$

© Все права защищены

Все статьи этого сайта написаны Джафаром Н.Алиевым. Перепечатывание любой статьи на стороннем ресурсе должно сопровождаться именем автора и ссылкой на данный ресурс. Сам автор следует этим правилам.