Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Çevrə və Dairə


Yaranma tarixi:

Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr

Üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə

Əgər çevrə üçbucağın bütün təpələrindən keçirsə, onda bu çevrə üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə adlanır. Üçbucağa isə çevrə daxilinə çəkilmiş üçbucaq deyilir.

Teorem: Üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi bu üçbucağın tərəflərinin ortasından qaldırılmış perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsidir.

Üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə

İsbatı: Tutaq ki, $\triangle ABC$-də $O$ xaricə çəkilmiş çevrənin mərəzidir. Onda $\triangle AOC$ bərabəryanlıdır, çünki $OA$ və $OC$ tərəfləri çevrənin radiuslarıdır. Deməli $OD$ medianı çəksək, o həm də hündürlük olacaq. Biz göstərdik ki, çevrənin $O$ mərkəzi $AC$ tərəfinin ortasından qaldırılmış perpendikulyar üzərindədir.

Eynilə $O$ mərkəzinin $AB$ və $AC$ tərəflərinin ortasından qaldırılmış perpendikulyarlar üzərində olması isbat edilir.

Parçanın ortasından qaldırılan perpendikulyara bəzən orta perpendikulyar da deyilir.

Bu teoremdən və orta perpendikulyar haqqındakı teoremdən aşağıdakı nəticə çıxır.

Nəticə: İstənilən üçbucağın xaricinə çevrə çəkmək olar və bu çevrə yeganədir.

Əgər çevrə daxilinə düzbucaqlı üçbucaq çəksək, bu üçbucağın hipotenuzuna çəkilmiş median aşağıdakı xassəyə malik olacaq.

Teorem: Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzuna çəkilmiş median onun xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusudur.

Düzbucaqlı üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrə

İsbati: Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu qarşısındakı bucaq $90°$ olduğu üçün onun söykəndiyi gövsün dərəcə öıçüsü $180°$ olacaq. Deməli hipotenuz xaricə çəkilmiş çevrənin diametri, onun orta nöqtəsi isə çevrənin mərkəzi olacaq. Hipotenuza çəkilən median isə çevrənin radiusuna bərabər olacaq.

Nəticə: Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən hipotenuzuna çəkilmiş median hipotenuzun yarısına bərabərdir.

Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrə

Çevrə üçbucağın bütün tərəflərinə toxunursa, onda ona üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrə deyilir. Üçbucaq isə çevrə xaricinə çəkilmiş üçbucaq adlanır.

Teorem: Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi bu üçbucağın tənbölənlərinin kəsişmə nöqtəsidir.

Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrə

İsbatı: Tutaq ki, $ABC$ verilmiş üçbucaq, $O$ isə onun daxilinə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir. $D$, $E$ və $F$ bu çevrənin üçbucağa toxunma nöqtələridir. Onda $OD$ və $OE$ radius olduğuna görə bərabərdir. $OA$ isə $AOD$ və $AOE$ düzbucaqlı üçbucaqlarının ortaq tərəfidir. Onda $\triangle AOD$ və $\triangle AOE$-də hipotenuz və bir katet bərabər olduğu üçün bu düzbucaqlı üçbucaqlar bərabərdir.

Bu isə $EAO$ və $DAO$ bucaqlarının bərabərliyi deməkdir. Biz göstərdik ki, daxilə çəkilmiş çevrənin $O$ mərkəzi $A$ təpəsinin tənböləni üzərindədir. Eynilə $O$ nöqtəsinin $B$ və $C$ təpələrindən çəkilmiş tənbölənlər üzərində olması isbat edilir.

Bu teoremdən və üçbucağın tənbölənləri haqda teoremdən aşağıdakı nəticə çıxır.

Nəticə: İstənilən üçbucağın daxilinə çevrə çəkmək olar və bu çevrə yeganədir.

Digər məqalələr

Kosinuslar teoremi
Üçbucağın istənilən tərəfinin kvadratı, qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin fərqinə bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi
Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Median, tənbölən, hündürlük
Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Pifaqor teoremi
Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri
İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaq
Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Çeva teoremi
İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Çeva teoremi üçbucağın təpələrindən çəkilmiş şüaların bir nöqtədə kəsişməsi üçün zəruri və kafi şərt verir.

Oxşar üçbucaqlar
Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Üçbucağın sahəsinin 8 xassəsi
Əgər iki üçbucağın eyni bucaqları varsa, onların sahələrinin nisbəti bu bucaqları əmələ gətirən tərəflərin hasilinin nisbətinə bərabərdir. Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

Sinuslar teoremi
Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi
Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Üçbucaqların həlli
Üçbucağın həlli dedikdə verilmiş 3 element vasitəsilə onun bütün tərəflərinin və bucaqlarının tapılması nəzərdə tutulur. Bu məsələni üç halda araşdıracağıq.

Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Fales teoremi
Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Düzbucaqlı üçbucaq
Bucaqlardan biri 90° olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Düzbucaqlı üçbucaqda 30°-li bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir. Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük onu iki oxşar üçbucağa ayırır.

Ptolemey teoremi
Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının diaqonallarının hasili qarşı tərəflərin hasilləri cəminə bərabərdir.

Dördbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Çevrə daxilinə çəkilmiş istənilən dördbucaqlının qarşı bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Çevrə xaricinə çəkilmiş istənilən dördbucaqlının qarşı tərəflərinin cəmi bərabərdir.

Çevrə və bucaqların 6 xassəsi
Kəsişən vətərlər arasındakı bucaq həmin bucağın tərəfləri arasında qalan qövslərin ölçüləri cəminin yarısına bərabərdir. Çevrəni kəsən iki düz xətt arasındakı bucaq, həmin bucağın kəsişmədə əmələ gətirdiyi böyük qövs ilə kiçik qövsün fərqinin yarısına bərabərdir.

Çevrə və Dairə
Müstəvidə verilmiş nöqtədən eyni məsafədə olan nöqtələrin əmələ gətirdiyi həndəsi fiqura çevrə deyilir. Müstəvinin çevrə ilə məhdudlaşmış hissəsinə dairə edilir.

Çevrənin və düz xəttin tənliyi
Əgər müstəvidə verilmiş fiqurun istənilən nöqtəsinin (x; y) koordinatları verilmiş tənliyi ödəyirsə bu tənliyə həmin fiqurun tənliyi deyilir. Düz xəttin tənliyi ax+by+c=0 kimidir.

Daxilə çəkilmiş və mərkəzi bucaqlar
Təpəsi çevrənin mərkəzində olan bucağa mərkəzi bucaq deyilir. Təpəsi çevrə üzərində olub tərəfləri çevrənin tərəflərini kəsən bucağa daxili bucaq deyilir. Daxili bucaq söykəndiyi qövsün yarısı ilə ölçülür.

Düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Əgər çoxbucaqlının bütün təpələri çevrə üzərindədirsə, bu çevrəyə çoxbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrə deyilir. Əgər çoxbucaqlının bütün tərəfləri çevrəyə toxunursa, bu çevrəyə çoxbucaqlı daxilinə çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə həmişə çevrə çəkmək olar.

Çevrəyə toxunan
Əgər çevrə və düz xəttin yalnız bir orta nöqtəsi varsa bu düz xəttə çevrəyə toxunan deyilir.Çevrəyə toxunan, toxunma nöqtəsindən çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.

Çevrə uzunluğu və dairənin sahəsi
Çevrə uzunluğunu və dairənin sahəsini tapmaq üçün onun daxilinə və xaricinə düzgün 6-bucaqlı çəkək. Daxilə çəkilmiş 6-bucaqlının perimetri p, sahəsi isə s, xaricə çəkilmiş 6-bucaqlını perimetri P, sahəsi isə S olsun.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.