Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Çevrə və Dairə


Yaranma tarixi:

Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr

çevrə  üçbucaq  sahə  

 

Üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə

Əgər çevrə üçbucağın bütün təpələrindən keçirsə, onda bu çevrə üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə adlanır. Üçbucağa isə çevrə daxilinə çəkilmiş üçbucaq deyilir.

Teorem: Üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi bu üçbucağın tərəflərinin ortasından qaldırılmış perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsidir.

Üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə

İsbatı: Tutaq ki, $\triangle ABC$-də $O$ xaricə çəkilmiş çevrənin mərəzidir. Onda $\triangle AOC$ bərabəryanlıdır, çünki $OA$ və $OC$ tərəfləri çevrənin radiuslarıdır. Deməli $OD$ medianı çəksək, o həm də hündürlük olacaq. Biz göstərdik ki, çevrənin $O$ mərkəzi $AC$ tərəfinin ortasından qaldırılmış perpendikulyar üzərindədir.

Eynilə $O$ mərkəzinin $AB$ və $AC$ tərəflərinin ortasından qaldırılmış perpendikulyarlar üzərində olması isbat edilir.

Parçanın ortasından qaldırılan perpendikulyara bəzən orta perpendikulyar da deyilir.

Bu teoremdən və orta perpendikulyar haqqındakı teoremdən aşağıdakı nəticə çıxır.

Nəticə: İstənilən üçbucağın xaricinə çevrə çəkmək olar və bu çevrə yeganədir.

Əgər çevrə daxilinə düzbucaqlı üçbucaq çəksək, bu üçbucağın hipotenuzuna çəkilmiş median aşağıdakı xassəyə malik olacaq.

Teorem: Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzuna çəkilmiş median onun xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusudur.

Düzbucaqlı üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrə

İsbati: Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu qarşısındakı bucaq $90°$ olduğu üçün onun söykəndiyi gövsün dərəcə öıçüsü $180°$ olacaq. Deməli hipotenuz xaricə çəkilmiş çevrənin diametri, onun orta nöqtəsi isə çevrənin mərkəzi olacaq. Hipotenuza çəkilən median isə çevrənin radiusuna bərabər olacaq.

Nəticə: Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən hipotenuzuna çəkilmiş median hipotenuzun yarısına bərabərdir.

Teorem: Üçbucağın sahəsi onun xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusi ilə belə ifadə olunur.

$S=\dfrac{abc}{4R}$

Burada $R$ xaricə çəkilmiş çevrənin radiusudur.

Üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə

İsbatı: Üçbucağın sahəsini iki tərəf və arasındakı bucağın sinusu vasitəsilə tapaq.

$S=\dfrac{1}{2} bc \ sin \alpha$

Genişlənmiş sinuslar teoreminə görə $2R = \dfrac{a}{sin \alpha}$. Buradan $sin \alpha$-nı tapıb yuxarıda yerinə yazsaq

$S=\dfrac{1}{2}bc \dfrac{a}{2R} = \dfrac{abc}{4R}$

Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrə

Çevrə üçbucağın bütün tərəflərinə toxunursa, onda ona üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrə deyilir. Üçbucaq isə çevrə xaricinə çəkilmiş üçbucaq adlanır.

Teorem: Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi bu üçbucağın tənbölənlərinin kəsişmə nöqtəsidir.

Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrə

İsbatı: Tutaq ki, $ABC$ verilmiş üçbucaq, $O$ isə onun daxilinə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir. $D$, $E$ və $F$ bu çevrənin üçbucağa toxunma nöqtələridir. Onda $OD$ və $OE$ radius olduğuna görə bərabərdir. $OA$ isə $AOD$ və $AOE$ düzbucaqlı üçbucaqlarının ortaq tərəfidir. Onda $\triangle AOD$ və $\triangle AOE$-də hipotenuz və bir katet bərabər olduğu üçün bu düzbucaqlı üçbucaqlar bərabərdir.

Bu isə $EAO$ və $DAO$ bucaqlarının bərabərliyi deməkdir. Biz göstərdik ki, daxilə çəkilmiş çevrənin $O$ mərkəzi $A$ təpəsinin tənböləni üzərindədir. Eynilə $O$ nöqtəsinin $B$ və $C$ təpələrindən çəkilmiş tənbölənlər üzərində olması isbat edilir.

Bu teoremdən və üçbucağın tənbölənləri haqda teoremdən aşağıdakı nəticə çıxır.

Nəticə: İstənilən üçbucağın daxilinə çevrə çəkmək olar və bu çevrə yeganədir.

Teorem: Üçbucağın sahəsi onun daxilinə çəkilmiş çevrəin radiusu vasitəsilə belə tapılır.

$S = rp, \ \ p=\dfrac{a+b+c}{2}$

Burada $r$ daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu, $p$ isə yarımperimetrdir.

Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrə

İsbatı: O nöqtəsindən üçbucağın tərəflərinə perpendikulyarlar çəksək onlar çevrənin üçbucaq ilə toxunma nöqtələrinə düşəcək. $OF \perp AC$, $OK \perp BC$, $OD \perp AB$.

$\triangle AOC$-yə baxsaq, görərik ki, onun sahəsi aşağıdakı kimidir.

$S_{\triangle AOC} = \dfrac{1}{2} OF \cdot AC = \dfrac{1}{2} br$

Eynilə $\triangle COB$ və $\triangle AOB$ -nin sahələri də belə olacaq.

$S_{\triangle COB} = \dfrac{1}{2} OK \cdot BC = \dfrac{1}{2} ar\\[15pt] S_{\triangle AOB} = \dfrac{1}{2} OD \cdot AB = \dfrac{1}{2} cr$

Onda, bizə lazım olan $\triangle ABC$-nin sahəsi belə olacaq.

$S= S_{\triangle AOC}+ S_{\triangle COB}+ S_{\triangle AOB}=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)=rp$

Digər məqalələr

Ptolemey teoremi
Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının diaqonallarının hasili qarşı tərəflərin hasilləri cəminə bərabərdir.

Dördbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Çevrə daxilinə çəkilmiş istənilən dördbucaqlının qarşı bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Çevrə xaricinə çəkilmiş istənilən dördbucaqlının qarşı tərəflərinin cəmi bərabərdir.

Brahmaqupta teoremi
Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının sahəsi bu dördbucaqlının yarım perimetri ilə tərəfləri fərqinin hasilinin kvadrat kökünə bərabərdir.

Nagel nöqtəsi
Üçbucağın tərəflərinə xaricdən daxilə çəkilmiş çevrələrin bu tərəflərə toxunma nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən çevianların kəsişmə nöqtəsiə üçbucağın Nagel nöqtəsi deyilir. Nagel nöqtəsinin varlığı Çeva teoreminin köməyi ilə isbat edilir.

Xaricdən daxilə çəkilmiş çevrə
Üçbucağın xaricindən daxilə çəkilmiş çevrə (və ya xaricdən daxilə çəkilmiş çevrə) elə çevrədir ki, üçbucağın bir tərəfinə xaricdən toxunur, digər iki tərəfin isə uzantılarına toxunur. Xaricdə daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzi toxunduğu tərəfin qarşısındakı daxili bucağının tənböləni ilə digər iki xarici bucağın tənbölənlərinin kəsişmə nöqtəsidir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.