Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Çeva teoremi

İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Onun əsas əsəri olan “Qarşılıqlı kəsişən xətlər” sintetik həndəsənin əsasını qoydu. Çeva teoremini isə 1678-ci ildə isbat edib.

Üçbucağın təpələrini qarşı tərəf üzərində olan nöqtələr ilə birləşdirən düz xətt parçalarına çevian deyilir.

Çeva teoremi: Tutaq ki, $\triangle ABC$-də $A_1$ nöqtəsi $A$ təpəsi qarşısında olan $BC$ tərəfi, $B_1$ nöqtəsi $B$ təpəsi qarşısında olan $AC$ tərəfi, $C_1$ nöqtəsi isə $C$ təpəsi qarşısında olan $AB$ tərəfi üzərində yerləşir. Onda, əgər $AA_1$, $BB_1$ və $CC_1$ parçaları bir nöqtədə kəsişirsə aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$\dfrac{AB_1}{B_1C} \cdot \dfrac{CA_1}{A_1B} \cdot \dfrac{BC_1}{C_1A}=1$

Çeva teoremi

İsbatı: Tutaq ki, $AA_1$, $BB_1$ və $CC_1$ parçaları bir nöqtədə kəsişir. Bu parçalara çevian demişdik. İsbat edək ki, teoremdəki bərabərlik doğrudur. Çevianların kəsişmə nöqtəsini $O$ ilə işarə edək. Onda bu nöqtədə alınan qarşılıqlı bucaqlar belə olar.

$\angle AOB_1 = \angle A_1OB = \alpha , \ \angle BOC_1 = \angle B_1OC = \beta, \ \angle COA_1 = \angle C_1OA=\gamma$

Sinuslar teoremini $\triangle OAB_1$ və $\triangle OCB_1$-ə tətbiq etsək.

$\dfrac{AB_1}{OA} = \dfrac{sin \alpha}{sin\sigma} \Rightarrow AB_1 = OA \dfrac{sin \alpha}{sin \sigma}$

$\dfrac{B_1C}{OC} = \dfrac{sin \beta}{sin(180°-\sigma)} \Rightarrow B_1C = OC \dfrac{sin \beta}{sin (180°-\sigma)}$

Buradan $sin (180°-\sigma) = sin 180°cos \sigma \ –\ cos180°sin\sigma = sin \sigma $ olduğunu nəzərə alsaq yuxarıdakı iki bərabərliyin nisbəti bizə bu bərabərliyi verər

$\dfrac{AB_1}{B_1C}=\dfrac{OA sin \alpha}{OC sin \beta}$

Eynilə $\triangle OCA_1$ və $\triangle OBA_1$ üçün

$\dfrac{CA_1}{A_1B} = \dfrac{OC sin \gamma}{OB sin \alpha}$

və $\triangle OBC_1$ və $\triangle OAC_1$ üçün

$\dfrac{BC_1}{C_1A} = \dfrac{OB sin \beta}{OA sin\gamma}$

Bu üç bərabərliyin sağ və sol tərəflərini bir-birinə vursaq teoremdəki bərabərlik alınar.

$\dfrac{AB_1}{B_1C}\cdot \dfrac{CA_1}{A_1B} \cdot \dfrac{BC_1}{C_1A} = \dfrac{OA sin \alpha}{OC sin \beta} \cdot \dfrac{OC sin \gamma}{OB sin \alpha} \cdot \dfrac{OB sin \beta}{OA sin \gamma} = 1$

Tərs Çeva teoremi: Tutaq ki,$\triangle ABC$-də $A_1$ nöqtəsi $BC$ tərəfi, $B_1$ nöqtəsi $AC$ tərəfi, $C_1$ nöqtəsi isə $AB$ tərəfi üzərindədir və aşağıdakı bərabərlik ödənir

$\dfrac{AB_1}{B_1C} \cdot \dfrac{CA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{BC_1}{C_1A}=1$

Onda $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ parçaları bir nöqtədə kəsişir.

Tərs Çeva teoremi

İsbatı: Tutaq ki, teoremin şərti ödəmir, amma $CC_1$ parçası $AA_1$ ilə $BB_1$ parçalarının kəsişmə nöqtəsindən keçmir. Onda həmi kəsişmə nöqtəsindən və $C$ təpəsindən keçən $p$ şüası $AB$ tərəfini hər hansı $C_2$ nöqtəsində kəsəcək. Çeva teoreminə görə

$\dfrac {AB_1}{B_1C}\cdot \dfrac{CA_1}{A_1B} \cdot \dfrac{BC_2}{C_2A}=1$

Bu bərabərliyi teoremdəki bərabərlik ilə eyniləşdirsək alarıq ki,

$\dfrac{BC_2}{C_2A}=\dfrac{BC_1}{C_1A}$

Yəni $C_1$ və $C_2$ nöqtələri $AB$ parçasını eyni nisbətdə bölür. Bu isə o deməkdir ki, $C_1$ və $C_2$ nöqtələri üst-üstə düşür. Deməli, $AA_1$, $BB_1$ və $CC_1$ parçaları bir nöqtədə kəsişir.

Qeyd: Çeva teoremini triqonometrik şəkildə sinusların nisbəti kimi də yazırlar. Bunu göstərək.

Əgər yuxarıdakı $ABB_1$ üçbucağına sinuslar teoremini tətbiq etsək

$\dfrac{AB_1}{sin \angle ABB_1} = \dfrac{AB}{sin \lambda} \Rightarrow AB_1 sin \lambda = AB sin \angle ABB_1$

$B_1BC$ üçbucağında isə

$\dfrac{B_1C}{sin \angle B_1BC}=\dfrac{BC}{sin(180°-\lambda)} = \dfrac{BC}{sin\lambda} \Rightarrow B_1C sin \lambda = BC sin \angle B_1BC$

Bu iki bərabərliyi bir-birinə bölsək

$\dfrac{AB_1}{B_1C} = \dfrac{AB sin \angle ABB_1}{BC sin \angle B_1BC}$

Eynilə $\triangle CAA_1$ ilə $\triangle A_1AB$ və $\triangle BCC_1$ ilə $\triangle C_1CA$-dan aşağıdakı bərabərliklər alınacaq

$\dfrac{CA_1}{A_1B} = \dfrac{AC sin \angle CAA_1}{AB sin \angle A_1AB}$

$\dfrac{BC_1}{C_1A} = \dfrac{BC si
n \angle BCC_1}{AC sin \angle C_1CA}$

Bu üç bərabərliyi bir-birinə vursaq, $AB$, $BC$ və $AC$ tərəflərinin ixtisarından sonra aşağıdakını alarıq

$\dfrac{AB_1}{B_1C} \cdot \dfrac{CA_1}{A_1B} \cdot \dfrac{BC_1}{C_1A} = \dfrac{sin\angle ABB_1}{sin \angle B_1BC} \cdot \dfrac{sin \angle CAA_1}{sin \angle A_1AB} \cdot \dfrac{sin \angle BCC_1}{sin \angle C_1CA}=1$

Digər məqalələr

Kosinuslar teoremi
Üçbucağın istənilən tərəfinin kvadratı, qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin fərqinə bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi
Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Median, tənbölən, hündürlük
Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Pifaqor teoremi
Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri
İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaq
Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Oxşar üçbucaqlar
Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Üçbucağın sahəsinin 8 xassəsi
Əgər iki üçbucağın eyni bucaqları varsa, onların sahələrinin nisbəti bu bucaqları əmələ gətirən tərəflərin hasilinin nisbətinə bərabərdir. Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Əgər çevrə üçbucağın bütün təpələrindən keçirsə, onda bu çevrə üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə adlanır. Çevrə üçbucağın bütün tərəflərinə toxunursa, onda ona üçbucaq daxilin çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən üçbucağın xaricinə və daxilinə yeganə çevrə çəkmək olar.

Sinuslar teoremi
Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi
Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Üçbucaqların həlli
Üçbucağın həlli dedikdə verilmiş 3 element vasitəsilə onun bütün tərəflərinin və bucaqlarının tapılması nəzərdə tutulur. Bu məsələni üç halda araşdıracağıq.

Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Fales teoremi
Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Düzbucaqlı üçbucaq
Bucaqlardan biri 90° olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Düzbucaqlı üçbucaqda 30°-li bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir. Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük onu iki oxşar üçbucağa ayırır.

Jerqon nöqtəsi və Jerqon teoremi
Üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin tərəflərlə toxunma nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların kəsişmə nöqtəsi Jerqon nöqtəsi adlanır.

Menelay teoremi
Tutaq ki, düz xətt ABC üçbucağını kəsir. Bu xətt AB tərəfini C1, BC tərəfini A1, AC tərəfinin uzantısını isə B1 nöqtəsində kəsirsə, AC1/C1B, BA1/A1C və CB1/B1A nisbətlərinin hasili vahidə bərabərdir. Bu şərt həm də A1, B1 və C1 nöqtələrinin bir düz xətt üzərində olması üçün kafidir.

Üçbucaq üçün Van-Obel teoremi
ABC üçbucağının daxilində O nöqtəsində kəsişən üç AA1, BB1 və CC1 çevianları üçün belə bir bərabərlik doğrudur: CO/OC1 = CA1/A1B + CB1/B1A

Qauss teoremi
Tutaq ki, düz xətt üçbucağın iki tərəfini və üçüncü tərəfin uzantısını kəsir. Onda, kəsişmə nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların orta nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.