Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Çeva teoremi

üçbucaq  Çeva  

 

İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Onun əsas əsəri olan “Qarşılıqlı kəsişən xətlər” sintetik həndəsənin əsasını qoydu. Çeva teoremini isə 1678-ci ildə isbat edib.

Üçbucağın təpələrini qarşı tərəf üzərində olan nöqtələr ilə birləşdirən düz xətt parçalarına çevian deyilir.

Çeva teoremi: Tutaq ki, $\triangle ABC$-də $A_1$ nöqtəsi $A$ təpəsi qarşısında olan $BC$ tərəfi, $B_1$ nöqtəsi $B$ təpəsi qarşısında olan $AC$ tərəfi, $C_1$ nöqtəsi isə $C$ təpəsi qarşısında olan $AB$ tərəfi üzərində yerləşir. Onda, əgər $AA_1$, $BB_1$ və $CC_1$ parçaları bir nöqtədə kəsişirsə aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$\dfrac{AB_1}{B_1C} \cdot \dfrac{CA_1}{A_1B} \cdot \dfrac{BC_1}{C_1A}=1$

Çeva teoremi

İsbatı: Tutaq ki, $AA_1$, $BB_1$ və $CC_1$ parçaları bir nöqtədə kəsişir. Bu parçalara çevian demişdik. İsbat edək ki, teoremdəki bərabərlik doğrudur. Çevianların kəsişmə nöqtəsini $O$ ilə işarə edək. Onda bu nöqtədə alınan qarşılıqlı bucaqlar belə olar.

$\angle AOB_1 = \angle A_1OB = \alpha , \ \angle BOC_1 = \angle B_1OC = \beta, \ \angle COA_1 = \angle C_1OA=\gamma$

Sinuslar teoremini $\triangle OAB_1$ və $\triangle OCB_1$-ə tətbiq etsək.

$\dfrac{AB_1}{OA} = \dfrac{sin \alpha}{sin\sigma} \Rightarrow AB_1 = OA \dfrac{sin \alpha}{sin \sigma}$

$\dfrac{B_1C}{OC} = \dfrac{sin \beta}{sin(180°-\sigma)} \Rightarrow B_1C = OC \dfrac{sin \beta}{sin (180°-\sigma)}$

Buradan $sin (180°-\sigma) = sin 180°cos \sigma \ –\ cos180°sin\sigma = sin \sigma $ olduğunu nəzərə alsaq yuxarıdakı iki bərabərliyin nisbəti bizə bu bərabərliyi verər

$\dfrac{AB_1}{B_1C}=\dfrac{OA sin \alpha}{OC sin \beta}$

Eynilə $\triangle OCA_1$ və $\triangle OBA_1$ üçün

$\dfrac{CA_1}{A_1B} = \dfrac{OC sin \gamma}{OB sin \alpha}$

və $\triangle OBC_1$ və $\triangle OAC_1$ üçün

$\dfrac{BC_1}{C_1A} = \dfrac{OB sin \beta}{OA sin\gamma}$

Bu üç bərabərliyin sağ və sol tərəflərini bir-birinə vursaq teoremdəki bərabərlik alınar.

$\dfrac{AB_1}{B_1C}\cdot \dfrac{CA_1}{A_1B} \cdot \dfrac{BC_1}{C_1A} = \dfrac{OA sin \alpha}{OC sin \beta} \cdot \dfrac{OC sin \gamma}{OB sin \alpha} \cdot \dfrac{OB sin \beta}{OA sin \gamma} = 1$

Tərs Çeva teoremi: Tutaq ki, $\triangle ABC$-də $A_1$ nöqtəsi $BC$ tərəfi, $B_1$ nöqtəsi $AC$ tərəfi, $C_1$ nöqtəsi isə $AB$ tərəfi üzərindədir və aşağıdakı bərabərlik ödənir

$\dfrac{AB_1}{B_1C} \cdot \dfrac{CA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{BC_1}{C_1A}=1$

Onda $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ parçaları bir nöqtədə kəsişir.

Tərs Çeva teoremi

İsbatı: Tutaq ki, teoremin şərti ödəmir, amma $CC_1$ parçası $AA_1$ ilə $BB_1$ parçalarının kəsişmə nöqtəsindən keçmir. Onda həmi kəsişmə nöqtəsindən və $C$ təpəsindən keçən $p$ şüası $AB$ tərəfini hər hansı $C_2$ nöqtəsində kəsəcək. Çeva teoreminə görə

$\dfrac {AB_1}{B_1C}\cdot \dfrac{CA_1}{A_1B} \cdot \dfrac{BC_2}{C_2A}=1$

Bu bərabərliyi teoremdəki bərabərlik ilə eyniləşdirsək alarıq ki,

$\dfrac{BC_2}{C_2A}=\dfrac{BC_1}{C_1A}$

Yəni $C_1$ və $C_2$ nöqtələri $AB$ parçasını eyni nisbətdə bölür. Bu isə o deməkdir ki, $C_1$ və $C_2$ nöqtələri üst-üstə düşür. Deməli, $AA_1$, $BB_1$ və $CC_1$ parçaları bir nöqtədə kəsişir.

Qeyd: Çeva teoremini triqonometrik şəkildə sinusların nisbəti kimi də yazırlar. Bunu göstərək.

Əgər yuxarıdakı $ABB_1$ üçbucağına sinuslar teoremini tətbiq etsək

$\dfrac{AB_1}{sin \angle ABB_1} = \dfrac{AB}{sin \lambda} \Rightarrow AB_1 sin \lambda = AB sin \angle ABB_1$

$B_1BC$ üçbucağında isə

$\dfrac{B_1C}{sin \angle B_1BC}=\dfrac{BC}{sin(180°-\lambda)} = \dfrac{BC}{sin\lambda} \Rightarrow B_1C sin \lambda = BC sin \angle B_1BC$

Bu iki bərabərliyi bir-birinə bölsək

$\dfrac{AB_1}{B_1C} = \dfrac{AB sin \angle ABB_1}{BC sin \angle B_1BC}$

Eynilə $\triangle CAA_1$ ilə $\triangle A_1AB$ və $\triangle BCC_1$ ilə $\triangle C_1CA$-dan aşağıdakı bərabərliklər alınacaq

$\dfrac{CA_1}{A_1B} = \dfrac{AC sin \angle CAA_1}{AB sin \angle A_1AB}$

$\dfrac{BC_1}{C_1A} = \dfrac{BC si
n \angle BCC_1}{AC sin \angle C_1CA}$

Bu üç bərabərliyi bir-birinə vursaq, $AB$, $BC$ və $AC$ tərəflərinin ixtisarından sonra aşağıdakını alarıq

$\dfrac{AB_1}{B_1C} \cdot \dfrac{CA_1}{A_1B} \cdot \dfrac{BC_1}{C_1A} = \dfrac{sin\angle ABB_1}{sin \angle B_1BC} \cdot \dfrac{sin \angle CAA_1}{sin \angle A_1AB} \cdot \dfrac{sin \angle BCC_1}{sin \angle C_1CA}=1$

Digər məqalələr

Papp teoremi
Bu teorem yunan riyaziyyatçısı İskəndəriyyəli Pappın adı ilə bağlıdır. O, bu teoremi eramızın 4-cü əsrində isbat edib. Haqqında danışılacaq teorem Pifaqor teoreminin analoqudur. Fərqi isə ondadır ki, Papp teoremi üçbucaq üzərinə heç bir məhdudiyyət qoymur.

Jerqon nöqtəsi və Jerqon teoremi
Üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin tərəflərlə toxunma nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların kəsişmə nöqtəsi Jerqon nöqtəsi adlanır.

Napoleon teoremi
Əgər ixtiyari üçbucağın tərəflərində bərabərtərəfli üçbucaqlar qursaq, onların mərkəzləri də bərabərtərəfli üçbucağın təpəsi olacaq. İlk dəfə bu teoremi Vilyam Rezerford Napoleonun ölümündən 4 il sonra çap elətdirib.

Menelay teoremi
Tutaq ki, düz xətt ABC üçbucağını kəsir. Bu xətt AB tərəfini C1, BC tərəfini A1, AC tərəfinin uzantısını isə B1 nöqtəsində kəsirsə, AC1/C1B, BA1/A1C və CB1/B1A nisbətlərinin hasili vahidə bərabərdir. Bu şərt həm də A1, B1 və C1 nöqtələrinin bir düz xətt üzərində olması üçün kafidir.

Üçbucaq üçün Van-Obel teoremi
ABC üçbucağının daxilində O nöqtəsində kəsişən üç AA1, BB1 və CC1 çevianları üçün belə bir bərabərlik doğrudur: CO/OC1 = CA1/A1B + CB1/B1A

Üçbucaq üçün Paskal teoremi
Tutaq ki, bərabəryanlı olmayan ABC üçbucağının xaricinə çevrə çəkilib. Bu çevrəyə A, B və C nöqtələrində toxunanlar çəkilib. A’, B’ və C’ nöqtələri isə həmin toxunanların ABC üçbucağının tərəflərinin uzantıları ilə kəsişmə nöqtələridir. Onda A’, B’ və C’ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Apolloniy teoremi
Üçbucağın oturacağına median çəkilibsə, onun yan tərəflərinin kvadratları cəmi, medianın kvadratı ilə oturacağının yarısının kvadratı cəminin iki mislinə bərabərdir.

Qauss teoremi
Tutaq ki, düz xətt üçbucağın iki tərəfini və üçüncü tərəfin uzantısını kəsir. Onda, kəsişmə nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların orta nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.