Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Triqonometriya


Yaranma tarixi:

sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b), cos(a-b)

triqonometriya  

 

$\sin (\alpha \pm \beta)$ və $\cos(\alpha \pm \beta)$ məktəb triqonometriyasından başlayaraq, sonra da institut kursunda ən çox rast gəlinən düsturlardandır. Bu düsturların açılışı trivial olmadığı üçün adı çəkilən mövzuya məqalə həsr etmək qərarına gəldik.

üçbucaq

İlk öncə bu şəklə nəzər salaq. Bütün çıxarışlar bu qrafikin üzərində gedəcək. Şəkildə iki düzbucaqlı üçbucaq var. $\triangle ABC$ və $\triangle ACD$.

Əvvəl $\sin(\alpha + \beta)$ çıxarılışına baxaq.


$(1)$
$ \sin(\alpha + \beta) = \dfrac{DF} {AD} = \dfrac {DF} {R} = \dfrac {DE+EF} {R}$

 

$EF$ isə $BC$ ilə eynidir, çünki düzbucaqlının qarşı tərəfləridir. $BC$ isə öz növbəsində belə tapılır.


$(2)$
$\sin \alpha = \dfrac{BC} {AC} \Rightarrow BC = AC \cdot \sin \alpha \Rightarrow EF = AC \cdot \sin \alpha$

$\angle CDE = \angle BAC = \alpha$, çünki bunlar tərəfləri perpendikulyar olan bucaqlardır. İndi $DE$-ni tapmağa çalışaq.


$(3)$
$\cos \alpha = \dfrac {DE} {DC} \Rightarrow DE = DC \cdot \cos \alpha$

(2) və (3) düsturlarını (1)-də yerinə yazsaq:


$(4)$
$\sin (\alpha + \beta) = \dfrac {DE+EF} {R} = \dfrac{DC\cdot \cos \alpha + AC \cdot \sin \alpha} {R}$

Indi $DC$ və $AC$-ni $R$ vasitəsilə ifadə edək.


$(5)$
$\sin \beta = \dfrac{DC}{R} \Rightarrow DC = R \cdot \sin \beta; \ \cos \beta = \dfrac {AC}{R} \Rightarrow AC = R \cdot \cos \beta $

Bu ifadələri də (4) düsturunda yerinə yazsaq:



$(6)$
$\sin (\alpha +\beta) = \dfrac{DC\cdot \cos \alpha + AC \cdot \sin \alpha} {R} = \\[15pt] = \dfrac {R \cdot \sin \beta \ \cos \alpha + R \cdot \cos \beta \ \sin \alpha} {R} = \dfrac {(\sin \beta \ \cos \alpha + \cos \beta \ \sin \alpha)R} {R} = \\[15pt] = \sin \beta \ \cos \alpha + \cos \beta \ \sin \alpha \\[15pt] \mathbf{\sin (\alpha +\beta) = \sin \alpha \ \cos \beta + \cos \alpha \ \sin \beta}$

Onda

$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \ \cos (-\beta) + \cos \alpha \ \sin (-\beta)$

Kosinus cüt funksiya olduğundan $\cos (-\beta) = \cos \beta$, amma sinus tək funksiyadır. Ona görə $\sin(-\beta) = -\sin \beta$. Nəticədə aşağıdakı düsturu alırıq.

$\mathbf{\sin (\alpha -\beta) = \sin \alpha \ \cos \beta - \cos \alpha \ \sin \beta}$

Eyni qayda ilə $\cos(\alpha + \beta)$ çıxarılışına baxaq.

$\cos(\alpha +\beta) = \dfrac{AF}{AD} = \dfrac{AF}{R} = \dfrac{AB-FB}{R} = \dfrac{AB-EC}{R}$

Qrafikdən görünür ki,

$AB = AC \cdot \cos \alpha = R \ \cos\beta \ \cos \alpha\\[15pt] EC = DC \cdot \sin \alpha = R\ \sin \beta \ \sin \alpha\\[15pt] \cos(\alpha +\beta) = \dfrac {AB-EC}{R} = \dfrac {R \ \cos\beta \ \cos\alpha - R \ \sin\beta \ \sin \alpha}{R} = \cos\beta \ \cos\alpha - \sin\beta \ \sin \alpha \\[15pt] \mathbf{\cos(\alpha +\beta) = \cos \alpha \ \cos\beta - \sin \alpha \ \sin \beta}$

Yenə də

$ \mathbf{\cos(\alpha -\beta) = \cos \alpha \ \cos(-\beta) - \sin \alpha \ sin (-\beta) = \cos \alpha \ \cos\beta + \sin \alpha \ \sin \beta} $

Digər məqalələr

Əsas triqonometrik bərabərliklər
Bu məqalədə əsas triqonometrik bərabərliklər göstərilir və hər biri ayrı-ayrılıqda izah edilir.

Yarım bucağın triqonometrik funksiyaları
Yarım bucağın triqonometrik düsturları ikiqat bucağın kosinusu üçün olan düsturlara əsaslanır.

sin(a)+sin(b), sin(a)-sin(b), cos(a)+cos(b), cos(a)-cos(b)
$\sin \alpha + \sin \beta$, $\sin \alpha-\sin \beta$, $\cos \alpha+\cos \beta$, $\cos \alpha-cos \beta$ cəm və fərqlərini hasil ilə ifadə edək. Bunun üçün $\alpha$ və $\beta$-ya belə bir əvəzləmə aparaq.

Tangenslərin cəmi və hasili
Əgər $\alpha + \beta+ \gamma = \pi$ olarsa bu bərabərlik doğrudur: $\mbox{tg} \alpha + \mbox{tg} \beta + \mbox{tg} \gamma = \mbox{tg} \alpha \ \mbox{tg} \beta \ \mbox{tg} \gamma$

İkiqat və üşqat bucağın triqonometrik funksiyaları
$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\mbox{tg} 2x$, $\mbox{ctg} 2x$, $\sin 3x$, $\cos 3x$, $\mbox{tg}3x$, $\mbox{ctg}3x$ ikiqat və üçqat bucaqların triqonometrik düsturlarını çıxarmaq üçün cəmin triqonometrik funksiya düsturlarından istifadə edəcəyik.

tg(a+b), tg(a-b), ctg(a+b), ctg(a-b)
$\mbox{tg}(\alpha+\beta)$, $\mbox{tg}(\alpha-\beta)$, $\mbox{ctg}(\alpha+\beta)$ və $\mbox{ctg}(\alpha-\beta)$ ifadələrini açaraq nisbət şəlində göstərək.

Triqonometrik funksiyaların çevrilmə qaydaları
Əgər triqonometrik funksiyanın arqumenti özündə $n \dfrac {\pi}{2}$ saxlayırsa, yəni bucaq $n \dfrac {\pi}{2} + \alpha$ və ya $n \dfrac {\pi}{2}-\alpha$ şəklində göstərilibsə onda $n$-in tək və cütlüyündən asılı olaraq iki hal mümkündür. Əgər $n$ tək ədəddirsə, onda $n \dfrac {\pi}{2}$-ni arqumentdən götürüb funksiyanı onun "konfunksiyasına" çevirə bilərik.

tg(a)+tg(b), tg(a)-tg(b), ctg(a)+ctg(b), ctg(a)-ctg(b)
$\mbox{tg} \alpha + \mbox{tg}\beta$, $\mbox{tg} \alpha - \mbox{tg}\beta$, $\mbox{ctg} \alpha + \mbox{ctg}\beta$, $\mbox{ctg} \alpha - \mbox{ctg}\beta$ cəm və fərqlərini $\sin$ və $\cos$ nisbəti ilə ifadə edək. Bunun üçün əsas triqonometrik bərabərlikərdən istifadə edəcəyik.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.