Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Yaranma tarixi:

Brahmaqupta teoremi

Teorem: Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının sahəsi üçün aşağıdakı düstur doğrudur.

$S = \sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Burada $a$, $b$, $c$ və $d$ dördbucaqlının tərəfləri,  $p$ isə yarımperimetrdir.

Brahmaqupta teoremi

İsbatı: Şəkildəki dördbucaqlıya baxaq. Bu dördbucaqlı çevrə daxilinə çəkildiyi üçün qarşı bucaqlarının cəmi $180°$-dir. Onda, $ABCD$ dördbucaqlısının sahəsini iki üçbucağın sahəsi ilə ifadə edək. Bu üçbucaqların sahələrini isə iki tərəf və aralarındaki bucaq vasitəsilə tapaq.

$S_{ABCD} = S_{ABD} +S_{BCD} =\\[15pt]= \dfrac{1}{2} ad \ sin \alpha + \dfrac{1}{2}bc \ sin (180°-\alpha)=\\[15pt]
=\dfrac{1}{2} sin \alpha \cdot (ad+bc)$

Hər iki tərəfi kvadrata yüksəldək


$(*)$

$S_{ABCD}^2 = \dfrac{1}{2} sin^2 \alpha (ad+bc)^2=\dfrac{1}{4} (1-cos^2\alpha)(ad+bc)^2$

$\triangle ABD$ və $\triangle BCD$-də $BD$ tərəfi üçün kosinuslar teoremini tətbiq etsək

$BD^2 = a^2+d^2-2ad\ cos\alpha\\[15pt]
BD^2 = b^2+c^2-2bc \ cos(180°-\alpha)=\\[15pt]
=b^2+c^2+2bc \ cos\alpha$

Bu bərabərliklərin sol tərəfləri bərabər olduğu üçün sağ tərəflərini də bərabərləşdirsək

$a^2+d^2-2ad \ cos \alpha = b^2+c^2+2bc \ cos\alpha \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow (2ad+2bc) cos \alpha = a^2+d^2-b^2-c^2 \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow  cos \alpha = \dfrac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}$

Bunu $(*)$-da yerinə yazsaq

$S_{ABCD}^2 = \dfrac{1}{4}(1-cos^2\alpha)(ad+bc) =\\[15pt]= \dfrac{1}{4} \Big(1-\Big(\dfrac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)} \Big)^2 \Big)(ad+bc)^2$

İndi uzun-uzadı bir hesablama başlayacaq.

$S_{ABCD}^2  = \dfrac{1}{4}\Big(1-\dfrac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}\Big)\Big(1+\dfrac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)}\Big)(ad+bc)^2= \\[15pt]
=\dfrac{1}{16}(2(ad+bc)-a^2-d^2+b^2+c^2)(2(ad+bc)+a^2+d^2-b^2-c^2) = \\[15pt]
=\dfrac{1}{16}(b^2+2bc+c^2-a^2+2ad-d^2) (a^2+2ad+d^2-b^2+2bc-c^2) = \\[15pt]
=\dfrac{1}{16}\big((b+c)^2-(a-d)^2\big)\big((a+d)^2-(b-c)^2\big) = \\[15pt]
=\dfrac{1}{16}\big((b+c)-(a-d)\big) \big((b+c)+(a-d)\big) \big((a+d) -(b-c)\big) \big((a+d) +(b-c)\big) = \\[15pt]
=\dfrac{1}{16}(-a+b+c+d) (a+b+c-d) (a-b+c+d) (a+b-c+d)$

Mötərizələrin içinə bizə lazım olan ədədləri əlavə edib çıxacağıq.

$S_{ABCD}^2  =\dfrac{1}{16}(a+b+c+d-2a) (a+b+c+d-2d) (a+b+c+d-2b) (a+b+c+d-2c)$

Yada salaq ki, teoremin şərtində $p$ yarımperimetr idi.

$a+b+c+d = 2p$

Bunu yuxarıdakı düsturda yerinə yazsaq, nəhayət ki, çevir-tata, vur tata əməliyyatının sonuna çatarıq

$S_{ABCD}^2 = \dfrac{1}{16}(2p-2a)(2p-2d)(2p-2b)(2p-2c)=\\[15pt]=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\Rightarrow\\[15pt]
\Rightarrow S_{ABCD} = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Bu düstur quruluşuna görə Heron düsturunu xatırladır. Ona görə bəzən Brahmaqupta düsturuna səhvən dördbucaqlı üçün Heron düsturu da deyirlər.

Digər məqalələr

Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.