Naviqator


Arxiv

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201942

Yaranma tarixi:

Yarım bucağın triqonometrik funksiyaları


triqonometriya

 

Yarım bucağın triqonometrik düsturları ikiqat bucağın kosinusu üçün olan düsturlara əsaslanır. Əgər $\alpha$-nı ikiqat bucaq kimi göstərsək

$\cos \alpha = \cos ^2 \dfrac {\alpha}{2} - \sin ^2 \dfrac{\alpha}{2}$

olar. Burada $\cos ^2 \dfrac{\alpha}{2} = 1- \sin ^2 \dfrac{\alpha}{2}$ olduğunu nəzərə alsaq

$ \cos \alpha  = 1- 2 \sin ^2 \dfrac{\alpha}{2} \Rightarrow  \sin ^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1-\cos \alpha}{2} \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow  \sin \dfrac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1- \cos \alpha}{2}}$

alarıq. Eynilə $sin ^2 \dfrac{\alpha}{2} = 1- \cos ^2 \dfrac{\alpha}{2}$ yazsaq aşağıdakı ifadəni alarıq.

$\cos \alpha = 2 \cos ^2 \dfrac{\alpha}{2}-1 \Rightarrow \cos ^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1+\cos \alpha}{2} \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow \cos \dfrac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1+ \cos \alpha}{2}}$

Yarım bucağın sinus və kosinusunun düsturlarını aldıqdan sonra tangens və kotangens üçün yarım bucağın düsturlarını sadəliklə hesablaya bilərik.

$\mbox{tg} ^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac {\sin ^2 \dfrac{\alpha}{2}}{\cos ^2 \dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}} = \\[25pt]
=\dfrac{1-\cos \alpha}{1+ \cos \alpha} \Rightarrow \mbox{tg} \dfrac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} }$

$\mbox{ctg} ^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac {\cos ^2 \dfrac{\alpha}{2}}{\sin ^2 \dfrac{\alpha}{2}}=\dfrac{1+\cos \alpha}{1- \cos \alpha} \Rightarrow\\[15pt]
\Rightarrow \mbox{ctg} \dfrac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha} } $

$\mbox{tg}$ və $\mbox{ctg}$ üçün olan düsturları daha sadə şəklə salmaq olar. Bunun üçün surəti $1+\cos \alpha$-ya vurub  bölsək aşağıdakı ifadəni alarıq.

$\mbox{tg} \dfrac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} } =\\[25pt]
= \pm \sqrt{\dfrac{\dfrac{(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)}{1+ \cos \alpha}}{1+ \cos \alpha}}=\\[25pt]
= \pm \sqrt {\dfrac{1-\cos ^2 \alpha}{(1+\cos \alpha)^2}} = \pm \sqrt{\dfrac{\sin ^2 \alpha}{(1+\cos \alpha)^2}}=\dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}$

Eynilə məxrəci $1-\cos \alpha$- ya vurub  bölsək aşağıdakı ifadəni alarıq.

$\mbox{tg} \dfrac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} } =\\[25pt]
=\pm \sqrt {\dfrac{1-\cos \alpha}{\dfrac{(1+\cos \alpha)(1-\cos \alpha)}{1-\cos \alpha}}}=\\[25pt]
=\pm \sqrt {\dfrac{(1-\cos \alpha)^2}{1-\cos ^2 \alpha}} = \dfrac{1-\cos \alpha}{ \sin \alpha}$

Əgər fikir verdinizsə hər iki halda surət və məxrəcdə kvadrat alınır. Ona görə də artıq kök işarəsinin qarşısındakı $\pm$ işarəsi itib yalnız müsbət qiymət qalır.

$\mbox{tg} \dfrac{\alpha}{2}$-ni tapandan sonra $\mbox {ctg} \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{1}{\mbox{tg} \dfrac{\alpha}{2}}$ olduğu nəzərə alınsa

$\mbox {ctg} \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha} = \dfrac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}$

yaza bilərik.

Digər məqalələr

Əsas triqonometrik bərabərliklər

Bu məqalədə əsas triqonometrik bərabərliklər göstərilir və hər biri ayrı-ayrılıqda izah edilir.

sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b), cos(a-b)

$\sin(\alpha+\beta)$, $\sin(\alpha-\beta)$, $\cos(\alpha+\beta)$ və $\cos(\alpha-\beta)$ məktəb triqonometriyasından başlayaraq, sonra da institut kursunda ən çox rast gəlinən triqonometrik düsturlardandır.

sin(a)+sin(b), sin(a)-sin(b), cos(a)+cos(b), cos(a)-cos(b)

$\sin \alpha + \sin \beta$, $\sin \alpha-\sin \beta$, $\cos \alpha+\cos \beta$, $\cos \alpha-cos \beta$ cəm və fərqlərini hasil ilə ifadə edək. Bunun üçün $\alpha$ və $\beta$-ya belə bir əvəzləmə aparaq.

Tangenslərin cəmi və hasili

Əgər $\alpha + \beta+ \gamma = \pi$ olarsa bu bərabərlik doğrudur: $\mbox{tg} \alpha + \mbox{tg} \beta + \mbox{tg} \gamma = \mbox{tg} \alpha \ \mbox{tg} \beta \ \mbox{tg} \gamma$

İkiqat və üşqat bucağın triqonometrik funksiyaları

$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\mbox{tg} 2x$, $\mbox{ctg} 2x$, $\sin 3x$, $\cos 3x$, $\mbox{tg}3x$, $\mbox{ctg}3x$ ikiqat və üçqat bucaqların triqonometrik düsturlarını çıxarmaq üçün cəmin triqonometrik funksiya düsturlarından istifadə edəcəyik.

tg(a+b), tg(a-b), ctg(a+b), ctg(a-b)

$\mbox{tg}(\alpha+\beta)$, $\mbox{tg}(\alpha-\beta)$, $\mbox{ctg}(\alpha+\beta)$ və $\mbox{ctg}(\alpha-\beta)$ ifadələrini açaraq nisbət şəlində göstərək.

Triqonometrik funksiyaların çevrilmə qaydaları

Əgər triqonometrik funksiyanın arqumenti özündə $n \dfrac {\pi}{2}$ saxlayırsa, yəni bucaq $n \dfrac {\pi}{2} + \alpha$ və ya $n \dfrac {\pi}{2}-\alpha$ şəklində göstərilibsə onda $n$-in tək və cütlüyündən asılı olaraq iki hal mümkündür. Əgər $n$ tək ədəddirsə, onda $n \dfrac {\pi}{2}$-ni arqumentdən götürüb funksiyanı onun "konfunksiyasına" çevirə bilərik.

tg(a)+tg(b), tg(a)-tg(b), ctg(a)+ctg(b), ctg(a)-ctg(b)

$\mbox{tg} \alpha + \mbox{tg}\beta$, $\mbox{tg} \alpha - \mbox{tg}\beta$, $\mbox{ctg} \alpha + \mbox{ctg}\beta$, $\mbox{ctg} \alpha - \mbox{ctg}\beta$ cəm və fərqlərini $\sin$ və $\cos$ nisbəti ilə ifadə edək. Bunun üçün əsas triqonometrik bərabərlikərdən istifadə edəcəyik.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.