Naviqator


Arxiv

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201920

Yaranma tarixi:

Üçbucaq daxilinə çəkilmiş kvadrat


üçbucaq kvadrat sahə

 

Əgər kvadratın tərəfi üçbucağın bir tərəfində yerləşib digər iki təpəsi üçbucağın digər tərəfləri üzərindədirsə bu kvadrat üçbucaq daxilinə çəkilmiş kvadrat adlanır.

Teorem 1: Üçbucaq daxilinə çəkilmiş kvadratın tərəfi bu üçbucağın oturacağı ilə hündürlüyü hasilinin, həmin oturacaq ilə həmin hündürlük cəminə nisbətinə bərabərdir. Üçbucağın oturacağını $a$, hündürlüyünü $h$ ilə işarə etsək, kvadratın $x$ tərəfini belə ifadə etmək olar.

$x=\dfrac{ah}{a+h}$

Şəkil 1

Şəkil 1

İsbatı: Əvvəlcə teoremi itibucaqlı üçbucaq üçün isbat edək. Şəkil 1-ə diqqət yetirsək görərik ki, kvadrat üçbucağın oturacağını üç yerə bölüb. Bu hissələrdən biri elə kvadratın tərəfidir. Kvadratın tərəfini $x$, qalan iki tərəfi isə $a_1$ və $a_2$ ilə işarə edək.

Bilirik ki, üçbucağın sahəsi aşağıdakı kimi hesablanır.

$S_{\triangle} = \dfrac{ah}{2}$

Digər tərəfdən üçbucağın sahəsi, onun daxilinə çəkilmiş kvadratın və 3 kiçik üçbucağın sahələri cəminə bərabərdir. Bu üçbucaqları şəkildəki kimi işarələyək.

$S_{\triangle} = S_1+S_2+S_3+S_{\square} \Rightarrow \\[10pt]
\Rightarrow S_{\triangle} =\dfrac{a_1x}{2}+\dfrac{a_2x}{2}+\dfrac{(h-x)x}{2}+x^2$

Bu iki ifadəni bərabərləşdirək

$\dfrac{ah}{2} = \dfrac{a_1x}{2}+\dfrac{a_2x}{2}+\dfrac{(h-x)x}{2} +x^2\Rightarrow\\[15pt]
\Rightarrow ah = a_1x+a_2x+ hx-x^2 +2x^2\Rightarrow \\
\Rightarrow ah = hx+(a_1+a_2+x)x$

$a_1+a_2+x$ isə üçbucağın oturacağıdır, yəni $a$-ya bərabərdir.

$ah = hx+ax \Rightarrow ah=(h+a)x$

Buradan $x$-ı tapsaq teoremi itibucaqlı üçbucaq üçün isbat etmiş oluruq.

$x=\dfrac{ah}{a+h}$

Şəkil 2

Şəkil 2

İndi təsəvvür edin ki, üçbucaq korbucaqlıdır. Bu halda kvadrat kor bucaq qarşısındakı tərəf üzərində olarsa, tamamilə üçbucağın daxilində yerləşmiş olar və yuxarıdakı mülahizələr öz qüvvəsində qalar. Ona görə kvadratın kor bucağa bitişik tərəfi üzərində olduğu halı araşdıraq. Belə olan halda kvadratın bir təpəsi üçbucağın kor bucaq qarşısındakı tərəfinə içəridən toxunacaq. Digər təpəsi isə kor bucaqın tərəfi üzərində olub kvadratın bir hissəsi xaricdə qalacaq. Şəkil 2-yə baxsanız görərsiniz ki, kvadratın tərəfi əslində üçbucağın oturacağının uzantısı üzərindədir..

Bu halda da teoremin doğruluğunu isbat edək. Yenə üçbucağın sahəsini kvadrat və kiçik üçbucaqların sahələri vasitəsilə ifadə edək.

$S_{\triangle}=S_1+S_{\square}-S_2+S_3$

Doğrudan da bu halda ikinci üçbucağın sahəsini kvadratın sahəsindən çıxmaq lazımdır.

 $S_{\triangle}=\dfrac{a_1x}{2}+x^2-\dfrac{a_2x}{2}+\dfrac{(h-x)x}{2}=\\[15pt]
=\dfrac{1}{2} (a_1x+2x^2-a_2x+hx-x^2)= \\[15pt]
=\dfrac{1}{2}(a_1+x-a_2+h)x$

Burada $a=a_1+x-a_2$ olduğunu, və üçbucağın sahəsinin $S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}ah$ olduğunu nəzərə alsaq,

$\dfrac{1}{2} ah= \dfrac{1}{2} (a+h)x \Rightarrow \\
ah=(a+h)x \Rightarrow x=\dfrac{ah}{a+h}$

Yenə də eyni bərabərliyi aldıq. Teorem tamamilə isbat olundu.

Nəticə 1: Üçbucağın hündürlüyünü və oturacağını kvadratın tərəfi ilə belə ifadə etmək olar.

$$h=\dfrac{ax}{a-x}, \ a=\dfrac{hx}{h-x}$$

Teorem 2: Üçbucaq daxilinə çəkilmiş kvadratın sahəsi, bu üçbucağın sahəsinin yarısından böyük ola bilməz.

$$S_{\square} \leqslant \dfrac{S_{\triangle}}{2}$$

İsbatı: Teoremdəki bərabərsizliklərdə kvadrat və üçbucağın sahə düsturlarını yerinə yazaq.

$$x^2 \leqslant \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{ah}{2}$$

İndicə isbat etdiyimiz teoremə görə kvadratın tərəfini tapıb yerinə yazaq.

$$\dfrac{a^2h^2}{(a+h)^2} \leqslant \dfrac{ah}{4}$$

$a$ və $h$ müsbət olduğu üçün sağ və sol tərəfi $ah$-a bölsək bərabərsizlik dəyişməyəcək.

$$\dfrac{ah}{(a+h)^2} \leqslant \dfrac{1}{4} \Rightarrow \\[15pt]
\Rightarrow 4ah \leqslant a^2 + 2ah + h^2 \Rightarrow \\[10pt]
\Rightarrow a^2-2ah+h^2 \geqslant 0 \Rightarrow (a-h)^2 \geqslant 0$$

Doğrudan da, sol tərəfdə kvadrat durduğu üçün o, həmişə sıfırdan böyük olacaq.

Nəticə 2: Yalnız üçbucağın oturacağı və hündürlüyü bərabər olduğu halda üçbucaq daxilinə çəkilmiş kvadratın sahəsi bu üçbucağın sahəsinin yarısına bərabər olar. Sonuncu bərabərsizliyə baxsaq, görərik ki, yalnız $a=h$ olduğu halda o, bərabərliyə çevrilir.

Kvadrat daxilinə çəkilmiş üçbucaq

Əgər üçbucağın oturacağı kvadratın bir tərəfi üzərində olub, digər təpəsi qarşı tərəf üzərindədirsə, bu üçbucaq kvadratın daxilinə çəkilmiş sayılır. Şəkil 3-də kvadrat daxilinə çəkilmiş iki cür üçbucaq göstərilib.

Şəkil 3 Kvadrat daxilinə çəkilmiş üçbucaq

Şəkil 3

Teorem 3: Kvadrat daxilinə çəkilmiş üçbucağın sahəsi bu kvadratın sahəsinin yarısından döyük ola bilməz.

İsbatı: Kvadratın tərəfi $a$, Üçbucağın oturacağını $b$ ilə işarə etsək, $b$-nin ən böyük qiyməti $a$-ya bərabər ola bilər.

$$b \leqslant a$$

Hər iki tərəfi $a$-ya vursaq, $a$ uzunluq olduğu üçün həmişə müsbət olduğundan bərabərsizlik dəyişməyəcək.

$$ab \leqslant a^2$$

Onda,

$$\dfrac{ab}{2} \leqslant \dfrac{a^2}{2} \Rightarrow S_{\triangle} \leqslant \dfrac{S_\square}{2}$$

Nəticə 3: Yalnız üçbucağın oturacağı kvadratın tərəfinə bərabər olduğu halda kvadrat daxilinə çəkilmiş üçbucağın sahəsi bu kvadratın sahəsinin yarısına bərabər olacaq.

Digər məqalələr

Sadə fiqurların sahəsi

Üçbucaq, düzbucaqlı, trapesiya, paraleloqram və rombun sahə düsturları yəqin ki, məktəb kursundan yadınızdadır. Bəs bu sahə düsturlarının çıxarılışı necə? O da yadınızadadırmı? Əgər unutmusunuzsa oxuyub hamısını bir dəfəyə yada salın.

Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi

Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının bu oturacaq qarşısındakı bucağın yarısının tangensinin 4 mislinə nisbətinə bərabərdir. Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının dörddən birinin yan tərəfin oturacaqla əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə hasilinə bərabərdir.

Üçbucağın sahəsinin 8 xassəsi

Əgər iki üçbucağın eyni bucaqları varsa, onların sahələrinin nisbəti bu bucaqları əmələ gətirən tərəflərin hasilinin nisbətinə bərabərdir. Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

Sinuslar teoremi

Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Heron düsturu

Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Üçbucağın sahəsi

Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün çoxlu düsturlar mövcuddur. Burada onları bir yerə yığmışıq. Əvvəl bütün növ üçbucaqlar üçün doğru olan sahə düsturları gəlir. Sonra bərabərtərəfli üçbucaq, ən axırda isə məxsusi olaraq düzbucalı üçbucağın sahəsi üçün düsturlar verilir.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun yarımperimetri ilə hər bir katetin ayrı-ayriliqda fərqinin hasilinə bərabərdir. Bu sahə həm də üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu ilə bu radiusun hipotenuz ilə cəminin hasilinə bərabərdir. Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrənin hipotenuza toxunma nöqtəsində onu böldüyü hissələrin uzunluqları hasili də sahəni verir.

Dördbucaqlının sahəsi

Qabarıq dördbucaqlının sahəsi onun diaqonalları ilə bu diaqonalların kəsişmə nöqtəsində əmələ gələn bucağın sinusu hasilinin yarısına bərabərdir. Əgər bu dördbucaqlının xaricinə çevrə çəkmək mümkündürsə onun sahəsini Braxmaqupta düsturu vasitəsi ilə də tapmaq olar.

Rombun sahəsi

Romb paraleloqramın xüsusi hali olduğu üçün paraleloqramın sahə düsturları burada da keçərlidir. Rombun sahəsi daxilinə çəkilmiş çevrənin diametrinin onun tərəfinə hasilinə bərabərdir. Bundan başqa bu sahə daxilə çəkilmiş çevrənin diametrinin iki tərəf arasındakı bucağın sinusina nisbətinə bərabərdir.

Trapesiyanın sahəsi

Trapesiyanın sahəsi oturacaqlarının cəmini yarısı ilə hündürlüyü hasilinə bərabərdir. Bu sahəni trapesiyanın diaqonalları ilə bu diaqonalların kəsişməsindən alınan bucağın sinusu hasilinin yarısı kimi də ifadə etmək olar.

Kvadratın sahəsi

Kvadratın sahəsi daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu kvadratının dörd mislinə bərabərdir. Bu sahə həmçinin onun diaqonalının kvadratının yarısına bərabərdir. Kvadratın sahəsi onun xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu kvadratının iki mislinə bərabərdir.

Düzbucaqlının sahəsi

Düzbucaqlının sahəsi onun tərəflərinin hasilinə bərabərdir. Düzbucaqlının sahəsi onun xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu kvadratının, düzbucaqlının diaqonalları arasındakı bucağın sinusuna hasilinin iki mislinə bərabərdir.

Paraleloqramın sahəsi

Paraleloqramın sahəsi onun oturacağı ilə hündürlüyü hasilinə bərabərdir. Paraleloqramın sahəsi onun iki tərəfi ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir. Paraleloqramın sahəsi onun diaqonalları və bu diaqonallar arasında qalan bucağın sinusu hasilinin yarısına bərabərdir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.