Naviqator


Arxiv

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201955
20234

Yaranma tarixi:

Üçbucaq bərabərsizliyi


üçbucaq

 

Üçbucağın tərəfləri və bucaqları arasındakı münasibət

Teorem: 1) Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. 2) Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Üçbucaq

İsbatı: 1) Tutaq ki, $\triangle ABC$-də $AB$ tərəfi $AC$ tərəfindən böyükdür. İsbat etməliyik ki, $\angle C > \angle B$. $AB$ tərəfi üzərində $AC$ tərəfinə bərabər $AD$ parçası ayıraq. $AD < AB$ olduğu üçün $D$ nöqtəsi $A$ və $B$ təpələrinin arasına düşəcək. Ona görə $\alpha < \theta$.

$\angle ADC$ isə $\angle BDC$-nin xarici bucağıdır. Xarici bucaq haqqında teoremdən çıxan nəticəyə görə $\beta>\gamma$. $\alpha$ və $\beta$ bərabəryanlı üçbucağın oturacağına bitişik bucaqları olduğu üçün bərabərdir. Deməli,

$\theta>\alpha, \ \alpha=\beta ,\ \beta>\gamma \Rightarrow \theta>\gamma$

Yəni üçbucağın C bucağı B təpəsindəki bucaqdan böyükdür.

2) İndi teoremin ikinci hissəsini, yəni birinci hissənin tərsini isbat edək. Tutaq ki, $\angle C > \angle B$. İsbat edək ki, $AB>AC$.

Tutaq ki, belə deyil. Onda ya $AB=AC$, ya da $AB < AC$. $AB=AC$ olarsa $\triangle ABC$ bərabəryanlı olacaq. Bu halda $\angle C=\angle B$ olacaq. $AB < AC$ olsa, indicə isbat etdiyimizə görə $\angle C < \angle B$ olacaq. Hər iki hal teoremin $\angle C > \angle B$ şərtinə ziddir. Deməli $AB>AC$.

Nəticə 1: Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuz katetdən böyükdür.

Həqiqətən də, hipotenuz düz bucaq, katetlər isə iti bucaqlar qarşısında dururlar.  Düz bucaq isə iti bucaqdan böyükdür.

Nəticə 2: Əgər üçbucağın iki bucağı bərabərdirsə, bu bərabəryanlı üçbucaqdır.

Əgər bərabər bucaqların qarşısında duran tərəflərdən biri o birindən böyük olarsa, onda böyük tərəf qarşısındakı bucaq da o birindən böyük olacaq. Bu isə şərtə ziddir. Deməli bu tərəflər bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi

Teorem: Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi

İsbatı: İxtiyarı $ABC$ üçbucağına baxaq. İsbat etməliyik ki, $AB < AC+BC$. $AC$ xəti üzərində uzunluğu $BC$-yə bərabər olan $CD$ parçası ayıraq. Onda bərabəryanlı $BCD$ üçbucağı alarıq. Bu üçbucaqda $\alpha=\beta$. $\triangle ABD$-də $B$ təpəsindəki $\theta$ bucağı $\alpha$-dan böyükdür ($\theta>\alpha$). Deməli, $\theta>\beta$. Onda $\theta$ bucağı qarşısında duran $AD$ tərəfi $\beta$ bucağı qarşısında duran $AB$ tərəfindən böyük olacaq.

$AB < AD \Rightarrow AB < AC+CD \Rightarrow AB < AC+BC$

Teorem isbat olundu.

Nəticə: Bir düz xətt üzərində olmayan ixtiyarı üç nöqtə üçün aşağıdakı bərabərsizliklər doğrudur.

$AB < AC+BC,\ AC < AB+BC,\ BC < AB+AC$

Bu bərabərsizliklərin hər biri üçbucaq bərabərsizliyi adlanır.

Digər məqalələr

Üçbucaqların həlli

Üçbucağın həlli dedikdə verilmiş 3 element vasitəsilə onun bütün tərəflərinin və bucaqlarının tapılması nəzərdə tutulur. Bu məsələni üç halda araşdıracağıq.

Üçbucaq

Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Pifaqor teoremi

Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Oxşar üçbucaqlar

Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Üçbucaqların bərabərlik əlamətləri

İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Bərabərtərəfli üçbucaq

Bütün tərəfləri bərabər olan üçbucağa bərabərtərəfli üçbucaq deyilir. Bərabərtərəfli üçbucaqda bütün bucaqlar 60°-dir. Belə üçbucaqlarda median, hündürlüyk və tənbölənlər üst-üstə düşür.

Kosinuslar teoremi

Üçbucağın istənilən tərəfinin kvadratı, qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin fərqinə bərabərdir.

Sinuslar teoremi

Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Median, tənbölən, hündürlük

Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Fales teoremi

Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Heron düsturu

Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi

Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.