Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Yaranma tarixi:

Üçbucaq bərabərsizliyi

Üçbucağın tərəfləri və bucaqları arasındakı münasibət

Teorem: 1) Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. 2) Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Üçbucaq

İsbatı: 1) Tutaq ki, $\triangle ABC$-də $AB$ tərəfi $AC$ tərəfindən böyükdür. İsbat etməliyik ki, $\angle C > \angle B$. $AB$ tərəfi üzərində $AC$ tərəfinə bərabər $AD$ parçası ayıraq. $AD < AB$ olduğu üçün $D$ nöqtəsi $A$ və $B$ təpələrinin arasına düşəcək. Ona görə $\alpha < \theta$.

$\angle ADC$ isə $\angle BDC$-nin xarici bucağıdır. Xarici bucaq haqqında teoremdən çıxan nəticəyə görə $\beta>\gamma$. $\alpha$ və $\beta$ bərabəryanlı üçbucağın oturacağına bitişik bucaqları olduğu üçün bərabərdir. Deməli,

$\theta>\alpha, \ \alpha=\beta ,\ \beta>\gamma \Rightarrow \theta>\gamma$

Yəni üçbucağın C bucağı B təpəsindəki bucaqdan böyükdür.

2) İndi teoremin ikinci hissəsini, yəni birinci hissənin tərsini isbat edək. Tutaq ki, $\angle C > \angle B$. İsbat edək ki, $AB>AC$.

Tutaq ki, belə deyil. Onda ya $AB=AC$, ya da $AB < AC$. $AB=AC$ olarsa $\triangle ABC$ bərabəryanlı olacaq. Bu halda $\angle C=\angle B$ olacaq. $AB < AC$ olsa, indicə isbat etdiyimizə görə $\angle C < \angle B$ olacaq. Hər iki hal teoremin $\angle C > \angle B$ şərtinə ziddir. Deməli $AB>AC$.

Nəticə 1: Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuz katetdən böyükdür.

Həqiqətən də, hipotenuz düz bucaq, katetlər isə iti bucaqlar qarşısında dururlar.  Düz bucaq isə iti bucaqdan böyükdür.

Nəticə 2: Əgər üçbucağın iki bucağı bərabərdirsə, bu bərabəryanlı üçbucaqdır.

Əgər bərabər bucaqların qarşısında duran tərəflərdən biri o birindən böyük olarsa, onda böyük tərəf qarşısındakı bucaq da o birindən böyük olacaq. Bu isə şərtə ziddir. Deməli bu tərəflər bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi

Teorem: Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi

İsbatı: İxtiyarı $ABC$ üçbucağına baxaq. İsbat etməliyik ki, $AB < AC+BC$. $AC$ xəti üzərində uzunluğu $BC$-yə bərabər olan $CD$ parçası ayıraq. Onda bərabəryanlı $BCD$ üçbucağı alarıq. Bu üçbucaqda $\alpha=\beta$. $\triangle ABD$-də $B$ təpəsindəki $\theta$ bucağı $\alpha$-dan böyükdür ($\theta>\alpha$). Deməli, $\theta>\beta$. Onda $\theta$ bucağı qarşısında duran $AD$ tərəfi $\beta$ bucağı qarşısında duran $AB$ tərəfindən böyük olacaq.

$AB < AD \Rightarrow AB < AC+CD \Rightarrow AB < AC+BC$

Teorem isbat olundu.

Nəticə: Bir düz xətt üzərində olmayan ixtiyarı üç nöqtə üçün aşağıdakı bərabərsizliklər doğrudur.

$AB < AC+BC,\ AC < AB+BC,\ BC < AB+AC$

Bu bərabərsizliklərin hər biri üçbucaq bərabərsizliyi adlanır.

Digər məqalələr

Median, tənbölən, hündürlük
Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Pifaqor teoremi
Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Uçbucaqların bərabərlik əlamətləri
İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaq
Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Oxşar üçbucaqlar
Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi
Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Fales teoremi
Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Düzbucaqlı üçbucaq
Bucaqlardan biri 90° olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Düzbucaqlı üçbucaqda 30°-li bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir. Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük onu iki oxşar üçbucağa ayırır.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.