Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Yaranma tarixi:

Əsas triqonometrik bərabərliklər

Burada $sin$, $cos$, $tg$, $ctg$, $sec$$cosec$ ilə bağlı əsas triqonometrik bərabərliklər verilib. Bunların əksəriyyəti trivial olsa da, hamısı tam izah edilib.

Düzbucaqlı üşbucaq

$sin^2 x+ cos^2 x =1$

Bunu isbat etmək üçün şəkildəki düzbucaqlı üçbucağa nəzər salaq. Bu üçbucağın katetlərini $a$ və $b$, hipotenuzunu isə $c$ ilə işarə etsək $x$ bucağının sinuz və kosinusu uyğun olaraq aşağıdakı kimi olacaq:

$sin x = \dfrac{b}{c}$; $cos x = \dfrac{a}{c}$

İndi bunların kvadratları cəminə baxaq

$sin^2 x + cos^2 x = \Big( \dfrac{b}{c}\Big)^2 + \Big(\dfrac{a}{c}\Big)^2 =$
$=\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{a^2}{c^2} = \dfrac{a^2 + b^2}{c^2}$

Pifaqor teoreminə görə $a^2 + b^2 = c^2$. Onda

$$ \frac{a^2 +b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$$

Beləliklə $sin^2 x+ cos^2 x =1$ olduğu isbat edildi.

$tg x = \frac{sin x }{cos x}$

Bunu isbat edək.Əvvəlcə qeyd edək ki, $x \ne \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb{Z}$ olmalıdır ki, kosinus sıfır olmasın.Yenə yuxarıdakı üçbucağa baxaq

$tgx = \dfrac{b}{a};$ $sin x = \dfrac{b}{c}$; $cos x = \dfrac{a}{c}$

onda

$\dfrac{sinx}{cosx} = \dfrac{\dfrac{b}{c}}{\dfrac{a}{c}} = \dfrac{b}{c} \cdot \dfrac{c}{a} = \dfrac{b}{a} = tgx$

$ctg x = \frac{cos x }{sin x}$

Bu da analoji isabat olunur. Burada da $x \ne \pi n, n \in \mathbb{Z}$ olmalıdır ki, sinus sıfır olmasın.

$$\dfrac{cosx}{sinx} = \dfrac{\dfrac{a}{c}}{\dfrac{b}{c}} = \dfrac{a}{c} \cdot \dfrac{c}{b} = \dfrac{a}{b} = ctgx$$

$tgx \cdot ctg x = 1$

Bunun isbatı avtomatik olaraq yuxarıdakı iki bənddən alınır.

$$tgx \cdot ctgx = \dfrac{sinx}{cosx} \cdot \dfrac{cosx}{sinx} = 1$$

$secx = \frac{1}{cosx}$

Bu sekansın tərifidir. Qeyd edək ki, $x \ne \frac{\pi}{2}+\pi n, n \in \mathbb{Z}$ olmalıdır ki, kosinus sıfır olmasın. Əgər yuxarıdakı üçbucağın tərəfləri ilə ifadə etsək:

$secx = \dfrac{1}{cosx} = \dfrac {1}{\dfrac{a}{c}} = \dfrac{c}{a}$

$cosecx = \frac{1}{sinx}$

Bu kosekansın tərifidir. $x \ne \pi n, n \in \mathbb{Z}$ olmalıdır ki, sinus sıfır olmasın. Əgər yuxarıdakı üçbucağın tərəfləri ilə ifadə etsək:

$$secx = \dfrac{1}{sinx} = \dfrac {1}{\dfrac{b}{c}} = \dfrac{c}{b}$$

$\frac {1}{cos^2x} = tg^2 x + 1 $

Bunun da isbatı yuxarıda isbat olunmuş birinci iki bənddən alınır.

$\dfrac {1}{cos^2x} = \dfrac {sin^2 x+ cos^2 x}{cos^2x} = \dfrac {sin^2 x}{cos^2x} + \dfrac {cos^2 x}{cos^2x}=tg^2 x+ 1$

$\frac {1}{sin^2x} = ctg^2 x + 1 $

Analoji olaraq

$$\dfrac {1}{sin^2x} = \dfrac {sin^2 x+ cos^2 x}{sin^2x} = \dfrac {sin^2 x}{sin^2x} + \dfrac {cos^2 x}{sin^2x}=ctg^2 x+ 1$$

Gördünüz ki, əsas triqonometrik bərabərliklər son dərəcədə trivial olaraq bir-birindən alınır.

Digər məqalələr

sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b), cos(a-b)
sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b) və cos(a-b) məktəb triqonometriyasından başlayaraq, sonra da institut kursunda ən çox rast gəlinən triqonometrik düsturlardandır.

sin(a)+sin(b), sin(a)-sin(b), cos(a)+cos(b), cos(a)-cos(b)
sin(a)+sin(b), sin(a)-sin(b), cos(a)+cos(b), cos(a)-cos(b) cəm və fərqlərini hasil ilə ifadə edək. Bunun üçün a və b-yə belə bir əvəzləmə aparaq.

İkiqat və üşqat bucağın triqonometrik funsiyaları
sin(2x), cos(2x), tg(2x), ctg(2x), sin(3x), cos(3x), tg(3x), ctg(3x) ikiqat və üçqat bucaqların triqonometrik düsturlarını çıxarmaq üçün cəmin triqonometrik funksiya düsturlarından istifadə edəcəyik.

tg(a+b), tg(a-b), ctg(a+b), ctg(a-b)
tg(a+b), tg(a-b), ctg(a+b) və ctg(a-b) ifadələrini açaraq nisbət şəlində göstərək.

tg(a)+tg(b), tg(a)-tg(b), ctg(a)+ctg(b), ctg(a)-ctg(b)
tg(a)+tg(b), tg(a)-tg(b), ctg(a)+ctg(b), ctg(a)-ctg(b) cəm və fərqlərini sin və cos nisbəti ilə ifadə edək. Bunun üçün əsas triqonometrik bərabərlikərdən istifadə edəcəyik.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.