Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Yaranma tarixi:

Toplama və alt-alta toplama

$5+3$ kimi toplama əməlini yəqin ki, hamınız fikrinizdə edirsiniz. Xatırladaq ki, $5+3=8$ yazılışında $5$ və $3$ toplananlar, $8$ isə cəmdir. Amma $18762+3529$ kimi toplamanı fikrimizdə etmək o qədər də asan deyil. Ona görə sonralar alt-alta toplama adını almış, sütun şəklində toplama vasitəsi ixtira olundu. Bu metodla toplayarkən toplananlar bir-birinin altında elə yerləşdirilir ki, təkliklər təkliklərin altında, onluqlar onluqların altında, yüzlüklər yüzlüklərin altında və s. dursun. Bu cür yazılışla tək iki deyil, istənilən sayda ədədi alt-alta yazmaqla toplamaq olar.

Toplama qaydası bu ardıcıllıqla yerinə yetirilir. Sağdan sonuncu sütundan başlayaraq rəqəmləri toplayırıq. Əgər toplamanın nəticəsində bir rəqəmli deyil, $9$-dan böyük ədəd alsaq, onun son rəqəmini nəticə kimi həmin təklik sütununun altına yazırıq. Ədəddin onluq hissəsini isə təklik kimi yadda saxlayırıq. Yəni nəticədə $38$ alınıbsa, $8$ yazıb $3$-ü yadda saxlayırıq. $30$ deyil, yalnız $3$ yadda saxlanmalıdır. Çox sayda ədədləri alt-alta toplayarkən ola bilər ki, üçrəqəmli ədəd alaq. Bu halda da yalnız təklik hissəsini yazıb yerdə qalanları yadda saxlayırıq. Məsələn, toplama nəticəsində $147$ alarıqsa, $7$ yazıb $14$-ü yadda saxlayacağıq.

Sonra keçirik sağdan ikinci sütun olan onluq sütununa. Bu sütunları da eyni qayda ilə toplayıb, yadda saxladığımız ədədi də alınan cəmin üzərinə gəlirik və yenə də alınmış nəticənin yalnız son rəqəmini bu sütunun altına yazırıq. Nəticə yenə $9$-dan böyük olarsa onluq hissə (əgər varsa onluqdan da böyük hissələr) yenə yadda saxlanılır və keçirik sağdan üçüncü olan yüzlük sütununa.

Beləliklə, cəmi başa çatdırıb sütunları qurtardıqdan sonra yerdə qalan rəqəmləri lap əvvələ, nəticənin soluna yazırıq. Bunu misal üzərində göstərək.

$$\begin{matrix}
~~~\ 2 \ 3 \ 5 \ 8 \\
+\ ~~ \ 2 \ 2 \ 6\\
~~~\ ~~ \ 7 \ 1 \ 9 \\
\hline
~~~\ ~~ \ ~~ \ ~~ \ 3
\end{matrix}
\begin{matrix}
~ \\ ~ \\ ~ \\ [2]
\end{matrix}$$

Burada sonuncu sütunu cəmləyərkən $8+6+9=23$ alınıb ki, sonuncu $3$ rəqəmini yazıb onluq $2$-ni yadda saxlamışıq. Bunu mötərizənin içində göstərmişik.
$$\begin{matrix}
~~~ \ 2 \ 3 \ 5 \ 8 \\
+\ ~~ \ 2 \ 2 \ 6\\
~~~\ ~~ \ 7 \ 1 \ 9 \\
\hline
~~~\ ~~ \ ~~ \ 0 \ 3
\end{matrix}
\begin{matrix}
~ \\~ \\~ \\ [1]
\end{matrix} $$
Onluqlar sütununu toplayarkən $5+2+1=8$ alınıb. Yadda qalan $2$-ni də onun üzərinə gəlmişik $8+2=10$. Ona görə bu dəfə $0$ yazıb $1$-i yadda saxlamışıq.
$$\begin{matrix} 
~~~ \ 2 \ 3 \ 5 \ 8 \\
+\ ~~ \ 2 \ 2 \ 6\\ 
~~~\ ~~ \ 7 \ 1 \ 9 \\
\hline
~~~\ 3 \ 3 \ 0 \ 3
\end{matrix}$$
Yüzlüklər sütununu da toplayaraq $3+2+7=12$ almışıq. Yadda qalan $1$-i də onun üzərinə gəlib $13$ almışıq. $3$-ü yüzlüklər sütununun altına yazdıqdan sonra yalnız birinci toplananda minlik olduğuna görə yaddaşdakı $1$-i həmin $2$-nin üzərinə gəlib lap əvvələ, minlik sütununun altına yazmışıq.

Xatırladaq ki, toplananların hamısı eyni uzunluqda olmadıqda, onları alt-alta yazarkən böyükdən kiçiyə yazılır. Bunu etməyə bizə toplamanın kommutativlik qanunu imkan verir. Bu cür yazılış alt-alta toplama əməlini yerinə yetirməkdə rahatlıq yaradır.

Misallar

Misal 1 Aşağıdakı misalda $A$, $B$ və $C$, rəqəmləri bildirir. Bunların hansı rəqəm olduğunu tapmaq lazımdır. Eyni hərflər eyni rəqəmləri göstərir.
$$\begin{matrix} 
~~~ \ A\ A\ A\\
+\ B\ B\ B\\ 
\hline
A\ A\ A\ C\\
\end{matrix}$$
Gördüyümüz kimi, iki 3-rəqəmli ədəd toplanaraq 4-rəqəmli ədəd alınıb. Ən böyük 3-rəqəmli ədədləri toplayarkən belə $1$ minlik alırıq ($999+999=1998$). Deməli, $A=1$. Fikir verin ki, $1+B$ nəticəsində yalnız bir halda $C$ alınıb. Qalan bütün hallarda həmişə $A$ alınıb. Deməli, bu toplama nəticəsində təkliklər sütunundan onluqlar sütununa keçib olmalıdır. $A=1$ olduğu üçün bu yalnız $B=9$ olanda mümkün ola bilər. $B=9$ yazsaq toplamanın nəticəsində görürük ki, $C=0$.
$$\begin{matrix}
~~~ \ 1\ 1\ 1\\
+\ 9\ 9\ 9\\ 
\hline
\ 1\ 1\ 1\ 0\\
\end{matrix}$$
Misal 2 Sətirdə müəyyən sayda 8 yazılıb. Bunların arasında toplama işarəsini elə yazmaq lazımdır ki, cəm $1000$ olsun. Bu toplama ($+$) işarəsini elə qoymaq lazımdır ki, toplananların sayı minimal olsun. Bunun həlli üçün sütun şəklində toplama əməlini tətbiq edək.
$$\begin{matrix} 
~~~ \ \cdots \ ~\ 8 \\
+\ \cdots \cdots \\
~~~ \ \cdots \ ~\ 8 \\
\hline
~~~\ 1 \ 0 \ 0 \ 0
\end{matrix}$$
Məlumdur ki, son rəqəmin sıfır ($0$) olması üçün ən azı 5 sayda $8$ rəqəmi toplanmalıdır.
$$\begin{matrix} 
~~~ \ \cdots \ ~\ 8 \\
~~~ \ \cdots \ ~\ 8 \\
+\ \cdots \ ~\ 8 \\
~~~ \ \cdots \ ~\ 8 \\
~~~ \ \cdots \ ~\ 8 \\
\hline
~~~\ 1 \ 0 \ 0 \ 0
\end{matrix}$$
Bu zaman cəm $40$ olduğundan onluqlar sütununa $4$ keçir. Deməli, onluqlar sütununu toplayarkən son rəqəm $6$ olmalıdır ki, onun üzərinə $4$ gələrkən son rəqəm kimi $0$ alaq. $8$-lərin sayı da şərtə görə minimal olmalıdır. Bu da yalnız $8+8=16$ olarsa mümkündür.
$$\begin{matrix}
~~~ \ ~~~\ ~~ \ ~~\ 8 \\
~~~ \ ~~~\ ~~ \ ~~\ 8 \\
+\ ~~~\ ~~ \ ~~\ 8 \\
~~~ \ \cdots \ 8\ 8 \\
~~ \ \cdots
\ 8\ 8 \\
\hline
~~~\ 1 \ 0 \ 0 \ 0
\end{matrix}$$
$8+8+4=20$ olduğu üçün yaddaşda $2$ qalır. Deməli, yüzlüklər sütununda $0$ almaq üçün 1 ədəd $8$ kifayətdir.
$$\begin{matrix}
~~~\ ~~ \ ~~\ 8 \\
~~~\ ~~ \ ~~\ 8 \\
+\ ~~ \ ~~\ 8 \\
~~~ \ ~~ \ 8\ 8 \\
~~~ \ 8 \ 8\ 8 \\
\hline
\ 1 \ 0 \ 0 \ 0
\end{matrix}$$

Qeyd: Misallar (İ.M.Gelfand, A.Şen) Algebra kitabından götürülüb.

Digər məqalələr

Çıxma və alt-alta çıxma
Alt-alta çıxma eynilə alt-alta toplamanı xatırladır. Burada birinci sətirdə azalan, ikini sətirdə isə çıxılan yazılır. Bu yazılışda təkliklər təkliklərin altına, onluqlar onluqların altına və s. düşməlidir.

Bölmə və budaqlı bölmə
Bölmə əməli vurmanın tərsidir. Kiçik ədədlərin vurulması kimi bölünməsini də yaddaşda etmək olar. Amma böyük ədədləri bölmək üçün “budaqlı bölmə” tətbiq edilir.

Kommutativlik, assosiativlik və distributivlik
Toplananların yerini dəyişdikdə cəm dəyişmir. Vuruqların yerini dəyişdikdə hasil dəyişmir. İki cəmi vurmaq üçün I cəmin hər bir həddini II cəmin hər bir hədinə vurub nəticəni toplamaq lazımdır.

Vurma və alt-alta vurma
Alt-alta vurma əməlini yerinə yetirmək üçün vurulacaq ədədləri bir birinin altına sütun şəklində yazırıq. Toplamada olduğu kimi elə yazmalıyıq ki, təkliklər bir sütunda, onluqlar bir sütunda, yüzlüklər bir sütunda və s. olsun.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.