Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Triqonometriya


Yaranma tarixi:

sin(a)+sin(b), sin(a)-sin(b), cos(a)+cos(b), cos(a)-cos(b)

Bu cəmi və fərqi hasilə çevirmək üçün əvvəlcə $sin\alpha \pm sin \beta$ və $cos\alpha \pm cos \beta$ çıxarılışını bilməliyik. O mövzunu bilirsinizsə keçək bu düsturların çıxarılışına. Əvvəl $sin \alpha + sin \beta$ düsturuna baxaq.

$sin \alpha + sin \beta$ yazılışında belə bir əvəzləmə aparaq.

$\alpha = \dfrac {2\alpha}{2} = \dfrac {\alpha + \alpha}{2} = \dfrac {\alpha + \beta + \alpha - \beta}{2}= \dfrac {(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2}\\[15pt] \beta = \dfrac {2\beta}{2} = \dfrac {\beta + \beta}{2}= \dfrac {\alpha + \beta - \alpha + \beta}{2} = \dfrac {(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2}$

Onda

$sin \alpha + sin \beta = sin \dfrac {(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2} + sin \dfrac {(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = sin \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} + \dfrac{\alpha-\beta}{2}\right) + sin \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} - \dfrac{\alpha-\beta}{2}\right) $

 Düstura yuxarıda adı çəkilən $sin\alpha \pm sin \beta$ çıxarılışını tətbiq etsək

$sin \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} + \dfrac{\alpha-\beta}{2}\right) = sin \dfrac {\alpha + \beta}{2} cos \dfrac {\alpha - \beta}{2} + cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac {\alpha-\beta}{2} \\[15pt] sin \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} - \dfrac{\alpha-\beta}{2}\right) = sin \dfrac {\alpha + \beta}{2} cos \dfrac {\alpha - \beta}{2} - cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac {\alpha-\beta}{2}$

Bu düsturları yuxarıdakı ilkin ifadədə yerinə yazaq

$sin \alpha + sin \beta = sin \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} + \dfrac{\alpha-\beta}{2}\right) + sin \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2} - \dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)= \\[15pt] = sin \dfrac {\alpha + \beta}{2} cos \dfrac {\alpha - \beta}{2} + cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac {\alpha-\beta}{2} + sin \dfrac {\alpha + \beta}{2} cos \dfrac {\alpha - \beta}{2} - cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac {\alpha-\beta}{2} = \\[15pt] = sin \dfrac {\alpha + \beta}{2} cos \dfrac {\alpha - \beta}{2} + sin \dfrac {\alpha + \beta}{2} cos \dfrac {\alpha - \beta}{2} = 2 sin \dfrac {\alpha + \beta}{2} cos \dfrac {\alpha - \beta}{2} $

Beləliklə $sin \alpha + sin \beta$ cəmini hasil ilə ifadə etdik.

Eynilə sinusun tək funksiya olması faktını nəzərə alsaq

$sin \alpha – sin \beta = sin \alpha + sin(- \beta) = 2 sin \dfrac {\alpha +(- \beta)}{2} cos \dfrac {\alpha – (-\beta)}{2} = 2 sin \dfrac {\alpha - \beta}{2} cos \dfrac {\alpha + \beta}{2}\\[15pt] \mathbf{ sin \alpha \pm sin \beta = 2 sin \dfrac {\alpha \pm \beta}{2} cos \dfrac {\alpha \mp \beta}{2}}$

Əgər $\alpha$ əvəzinə $2 \alpha$, $\beta$ əvəzinə $2 \beta$ yazsaq, eyni düstur aşağıdakı şəklə düşər.

$ sin 2\alpha \pm sin 2\beta = 2 sin \dfrac {2\alpha \pm 2\beta}{2} cos \dfrac {2\alpha \mp 2\beta}{2} = 2 sin (\alpha \pm \beta) cos(\alpha \mp \beta)$.

İndi $cos \alpha \pm cos \beta$ -nı hasil ilə ifadə edək. Yenə əvəzləmə aparsaq

$ cos \alpha + cos \beta = cos \left(\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\alpha - \beta}{2}\right) + cos \left(\dfrac{\alpha + \beta}{2} - \dfrac{\alpha - \beta}{2}\right) \\[15pt] = cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} cos \dfrac{\alpha-\beta}{2} – sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac{\alpha-\beta}{2} + cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} cos \dfrac{\alpha-\beta}{2} + sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac{\alpha-\beta}{2} = \\[15pt] = 2cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} cos \dfrac{\alpha-\beta}{2}$

Eynilə

$ cos \alpha - cos \beta = cos \left(\dfrac{\alpha + \beta}{2} + \dfrac{\alpha - \beta}{2}\right) - cos \left(\dfrac{\alpha + \beta}{2} - \dfrac{\alpha - \beta}{2}\right) \\[15pt]
= cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} cos \dfrac{\alpha-\beta}{2} – sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac{\alpha-\beta}{2} - cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} cos \dfrac{\alpha-\beta}{2} - sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac{\alpha-\beta}{2} = \\[15pt]
= -2sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac{\alpha-\beta}{2}$

Deməl kosinusların cəmi və fərqini üçün aşağıdakı düsturları aldıq

$\mathbf{cos \alpha + cos \beta = 2cos \dfrac{\alpha+\beta}{2} cos \dfrac{\alpha-\beta}{2}; \ \ cos \alpha - cos \beta = -2sin \dfrac{\alpha+\beta}{2} sin \dfrac{\alpha-\beta}{2}}$

Yenə $\alpha$ əvəzinə $2 \alpha$, $\beta$ əvəzinə $2 \beta$ yazsaq, bu düsturlar aşağıdakı şəklə düşər.

$cos 2\alpha + cos 2\beta = 2 cos (\alpha+\beta) cos(\alpha-\beta)\\[15pt] cos 2\alpha - cos 2\beta = -2 sin (\alpha+\beta)sin(\alpha-\beta)$

Digər məqalələr

Əsas triqonometrik bərabərliklər
Bu məqalədə əsas triqonometrik bərabərliklər göstərilir və hər biri ayrı-ayrılıqda izah edilir.

sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b), cos(a-b)
sin(a+b), sin(a-b), cos(a+b) və cos(a-b) məktəb triqonometriyasından başlayaraq, sonra da institut kursunda ən çox rast gəlinən triqonometrik düsturlardandır.

İkiqat və üşqat bucağın triqonometrik funsiyaları
sin(2x), cos(2x), tg(2x), ctg(2x), sin(3x), cos(3x), tg(3x), ctg(3x) ikiqat və üçqat bucaqların triqonometrik düsturlarını çıxarmaq üçün cəmin triqonometrik funksiya düsturlarından istifadə edəcəyik.

tg(a+b), tg(a-b), ctg(a+b), ctg(a-b)
tg(a+b), tg(a-b), ctg(a+b) və ctg(a-b) ifadələrini açaraq nisbət şəlində göstərək.

tg(a)+tg(b), tg(a)-tg(b), ctg(a)+ctg(b), ctg(a)-ctg(b)
tg(a)+tg(b), tg(a)-tg(b), ctg(a)+ctg(b), ctg(a)-ctg(b) cəm və fərqlərini sin və cos nisbəti ilə ifadə edək. Bunun üçün əsas triqonometrik bərabərlikərdən istifadə edəcəyik.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.