Naviqator


Arxiv

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201943

Yaranma tarixi:

Üçbucaq üçün Paskal teoremi


Paskal üçbucaq

 

Blez Paskal (1623-1662) qısa bir ömür yaşasa da fizika və riyaziyyat kimi dəqiq elmlərlə yanaşı fəlsəfə və ədəbiyyatda da iz buraxmışdır. O, riyazı analizin, ehtimal nəzəriyyəsinin və proyektiv həndəsənin yaradıcılarından sayılır.

Paskal teoremi: Tutaq ki, $\triangle ABC$ bərabəryanlı deyil. Onun xaricinə çevrə çəkilib. $AA’$, $BB’$ və $CC’$ bu çevrəyə uyğun olaraq $A$, $B$ və $C$ nöqtələrində toxunandır. $A’$, $B’$ və $C’$ nöqtələri isə həmin toxunanların $ABC$ üçbucağının tərəflərinin uzantıları ilə kəsişmə nöqtələridir. Onda $A’$, $B’$ və $C’$ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Paskal teoremi

İsbatı: Şəkilə diqqət yetirin. Bilirik ki, vətərlə toxunan arasındakı bucaq bu vətərin əmələ gətirdiyi qövsün yarısına bərabərdir. Onda $\alpha ' = \angle BAA’$ bucağı $\smile AB$-nin yarısına bərabərdir. Digər tərəfdən $\triangle ABC$-nin $C$ təpəsindəki bucağı da $\dfrac{\smile AB}{2}$-yə bərabərdir. Deməli,

$\alpha ' = \angle C$.

$\alpha '' = \angle A'AC$ isə $\dfrac{\smile ABC}{2}$-yə bərabərdir. $\smile ABC$-ni isə $2 \pi - \smile AC = 2\pi – 2\cdot \angle B$ kimi yaza bilərik. Onda

$\alpha '' = \dfrac{2\pi-2\cdot \angle B}{2} = \pi - \angle B$

Eyni qayda ilə,

$\beta ' = \dfrac{\smile BAC}{2} = \dfrac {2\pi - \smile BC}{2} = \pi - \dfrac{\smile BC}{2} = \pi - \angle A \\[15pt]
\beta '' = \angle C \\[15pt]
\gamma ' = \dfrac{\smile ABC}{2} = \dfrac{2\pi - \smile AC}{2} = \pi - \angle B \\[15pt]
\gamma '' = \angle A$

Bilirik ki, Menelay teoremi nöqtələr üçbucağın xaricində olduqda belə doğrudur. Həmin teoremi triqonometrik şəkildə bu üçbucaq üçün yazsaq

$\dfrac{sin \alpha '}{sin \alpha ''} \cdot \dfrac{sin \beta '}{sin \beta ''} \cdot \dfrac{sin \gamma '}{sin \gamma ''} =\\[15pt]= \dfrac {sin \angle C }{sin (\pi - \angle B)} \cdot \dfrac{sin (\pi - \angle A)}{sin \angle C} \cdot \dfrac{sin (\pi - \angle B)}{sin \angle A} = 1$

Çünki $sin (\pi - \alpha) = sin \alpha$. Bununla da Paskal teoremi isbat olundu.

Digər məqalələr

Stüart teoremi

Üçbucağın oturacağı üzərində olan nöqtədən qarşı təpəyə qədər məsafənin kvadratının oturacağa hasili, digər iki tərəfin kvadratlarının oturacağın onlarla qonşu olmayan hissələrinə hasili cəmi ilə oturacaq və onun hissələrinin hasilinin fərqinə bərabərdir.

Menelay teoremi

Tutaq ki, düz xətt ABC üçbucağını kəsir. Bu xətt AB tərəfini C1, BC tərəfini A1, AC tərəfinin uzantısını isə B1 nöqtəsində kəsirsə, AC1/C1B, BA1/A1C və CB1/B1A nisbətlərinin hasili vahidə bərabərdir. Bu şərt həm də A1, B1 və C1 nöqtələrinin bir düz xətt üzərində olması üçün kafidir.

Morli teoremi

Bucağı üç bərabər hissəyə bölən şüaların hər birinə üçbölən deyilir. İstənilən üçbucağın qonşu üçbölənlərinin kəsişmə nöqtələri bərabərtərəfli üçbucağın təpə nöqtələridir.

Dezarq teoremi

Əgər iki üçbucağın cüt-cüt təpə nöqtələrini birləşdirən düz xətlər bir nöqtədə kəsişərsə və ya bu düz xətlərin üçü də paralel olarsa, onsa bu üşbucaqların həmin təpələrə uyğun tərəflərinin uzantıları kəsişirsə, bu kəsişmə nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Apolloniy teoremi

Üçbucağın oturacağına median çəkilibsə, onun yan tərəflərinin kvadratları cəmi, medianın kvadratı ilə oturacağının yarısının kvadratı cəminin iki mislinə bərabərdir.

Papp teoremi

Bu teorem yunan riyaziyyatçısı İskəndəriyyəli Pappın adı ilə bağlıdır. O, bu teoremi eramızın 4-cü əsrində isbat edib. Haqqında danışılacaq teorem Pifaqor teoreminin analoqudur. Fərqi isə ondadır ki, Papp teoremi üçbucaq üzərinə heç bir məhdudiyyət qoymur.

Jerqon nöqtəsi və Jerqon teoremi

Üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin tərəflərlə toxunma nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların kəsişmə nöqtəsi Jerqon nöqtəsi adlanır.

Napoleon teoremi

Əgər ixtiyari üçbucağın tərəflərində bərabərtərəfli üçbucaqlar qursaq, onların mərkəzləri də bərabərtərəfli üçbucağın təpəsi olacaq. İlk dəfə bu teoremi Vilyam Rezerford Napoleonun ölümündən 4 il sonra çap elətdirib.

Çeva teoremi

İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Çeva teoremi üçbucağın təpələrindən çəkilmiş şüaların bir nöqtədə kəsişməsi üçün zəruri və kafi şərt verir.

Üçbucaq üçün Van-Obel teoremi

ABC üçbucağının daxilində O nöqtəsində kəsişən üç AA1, BB1 və CC1 çevianları üçün belə bir bərabərlik doğrudur: CO/OC1 = CA1/A1B + CB1/B1A

Qauss teoremi

Tutaq ki, düz xətt üçbucağın iki tərəfini və üçüncü tərəfin uzantısını kəsir. Onda, kəsişmə nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların orta nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.