Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Hərəkət


Yaranma tarixi:

Paralel köçürmə və dönmə

hərəkət  

 

Paralel köçürmə

Fiqurun istənilən $(x;y)$ nöqtəsi $(x+a; y+b)$ nöqtəsinə keçərsə buna paralel köçürmə deyilir. Paralel köçürmə müstəvi dekart koordinat sistemində belə verilir.

$x’=x+a, \ y’=y+b$

Bu paralel köçürmə nəticəsində hər bir $(x;y)$ koordinatlı nöqtə $(x’;y’)$ koordinatlı nöqtəyə keçir.

Teorem: Paralel köçürmə hərəkətdir.

İsbatı: $A(x_1; y_1)$ və $B(x_2; y_2)$ nöqtələri paralel köçürmə nəticəsində $A’(x_1+a; y_1+b)$ və $B’(x_2+a; y_2+b)$ nöqtələrinə keçirsə, onlar arasında məsafə Pifaqor teoreminə görə belə olacaq.

$AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$
$A’B’^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$

Buradan aldiq ki, $AB=A’B’$. Deməli paralel köçürmə zamanı məsafə saxlanılır. Yəni o, hərəkətdir.

Paralel köçürmə

Şəkil 1

Teorem: Paralel köçürmədə nöqtələr paralel və ya eyni xətt üzrə eyni məsafədə sürüşür.

İsbatı: Tutaq ki, yenə $A(x_1; y_1)$ və $B(x_2; y_2)$ nöqtələri $A’(x_1+a; y_1+b)$ və $B’(x_2+a; y_2+b)$ nöqtələrinə keçir (bax Şəkil 1). $AB’$ parçasının ortasının koordinatları belə olacaq.

$x=\dfrac{x_1+x_2+a}{2}, \ y=\dfrac{y_1+y_2+b}{2}$

$A’B$ parçasının da orta nöqtəsinin koordinatları eynidir. Deməli, $AA’B’B$ dördbucaqlısının diaqonalları kəsişib, kəsişmə nöqtəsində yarı bölünür. Yəni bu dördbucaqlı paraleloqramdır (paraleloqramın 3-cü əlamətinə görə). $AA’$ ilə $BB’$, $AB$ ilə $A’B’$ bu paraleloqramın qarşı tərəfləri olduğu üçün paralel və bərabərdirlər. Deməli paralel köçürmədə düz xətt ona paralel düz xəttə keçir. $AA’=BB’$ bərabərliyi isə $A$ və $B$ nöqtələrinin eyni qədər sürüşməsini göstərir.

Paralel köçürmə
Şəkil 2

Əgər $B$ nöqtəsi $AA’$ düz xətti üzərində olsa (Şəkil 2) $B’$ də həmin düz xətt üzərində olacaq. Çünki $AB’$ düz xəttinin mərkəzi $\left(\dfrac{x_1+x_2+a}{2}; \dfrac{y_1+y_2+b}{2}\right)$ $BA’$ düz xətinin mərkəzi isə $\left(\dfrac{x_2+x_1+a}{2}; \dfrac{y_2+y_1+b}{2}\right)$ olduğundan bu mərkəzlər üst-üstə düşür. Yəni $D$ nöqtəsi həm $AA'$, həm də $BB'$ düz xəttləri üzərindədir. $BB'$ düz xəttinin $B$ və $D$ nöqtələri $AA'$ düz xətti üzərində olduğu üçün bu düz xəttin bütün nöqtələri, yəni $B'$ nöqtəsi də həmin düz xətt üzərindədir. Deməli, $A$, $B$, $A’$, $B’$ nöqtələrinin hamısı bir düz xətt üzərindədir. Onda

$AA’ = \sqrt{(x_1+a-x_1)^2+(y_2+b-y_1)^2} = \sqrt{a^2+b^2}$
$BB’ = \sqrt{(x_2+a-x_2)^2+(y_2+b-y_2)^2} = \sqrt{a^2+b^2}$

Deməli, $AA’=BB’$, yəni bu halda da $A$ nöqtəsi $A’$ nöqtəsinə keçərkən nə qədər sürüşürsə, $B$ nöqtəsi də $B’$ nöqtəsinə keçərkən o qədər sürüşür. $AB$ xətti isə özü özünə keçır.

Teorem: İstənilən $A$ və $A’$ nöqtələri üçün yalnız bir paralel köçürmə var ki, $A$ nöqtəsi $A’$ nöqtəsinə keçir.

Paralel köçürmə
Şəkil 3

İsbatı: Əvvəlcə $A$ nöqtəsini $A’$ nöqtəsinə çevirən paralel köçürmənin varlığını isbat edək. Tutaq ki, $A(a_1;a_2)$ və $A’(a_1’;a_2’)$ koordinatları verilib (Şəkil 3). Onda, aşağıdakı düsturla verilən paralel köçürmə $A$ nöqtəsini $A’$-ə çevirəcək.

$x’=x+a_1’-a_1, \ y’=y+a_2’-a_2$

Doğrudan da $x=a_1, y=a_2$ halında $x’=a_1’, y’=a_2’$ olacaq.

İndi isə paralel köçürmənin yeganəliyini isbat edək. Tutaq ki, $X$ nöqtəsi bu paralel köçürmədə $X’$-ə keçir. Əvvəl isbat etdiyimiz teoremə görə $XA’$ və $AX’$ parçalarının ikisi də eyni ortaq $O$ nöqtəsinə malidir. Yəni biz $X$ və $A’$ nöqtələrinin koordinatlarını bilərək $O$ nöqtəsini tapa bilərik. Sonra isə $A$ və $O$ vasitəsilə $X’$ nöqtəsini birqiymətli təyin edə bilərik. $X’$ nöqtəsinin birqiymətli təyini yeganəliyi isbat edir.

Dönmə

Şəkil 4

Dönmə

hərəkət  

 

Verilmiş nöqtə ətrafında dönmə zamanı bu nöqtədən çıxan hər bir şüa həmin istiqamətdə eyni bucaq qədər dönür. Yəni $F$ fiqurunun hər hansı $X$ nöqtəsi $F’$ fiqurunun $X’$ nöqtəsinə keçirsə, $F$ fiqurunun bütün digər nöqtələri də $F’$ fiqurunun uyğun nöqtələrinə keçərkən $\angle XOX’$ qədər dönəcək və $OX=OX’$ olacaq (Şəkil 4-ə baxın). Həmin $\alpha$ bucağı dönmə bucağı, verilmiş $O$ nöqtəsi isə dönmə mərkəzi adlanır.

Teorem: Dönmə hərəkətdir.

İsbatı: Tutaq ki, $O$ dönmə mərkəzi, $\alpha$ isə dönmə bucağıdır. Aşağıdakı Şəkil 5-ə baxın. Dönmə nəticəsində $M$ nöqtəsi $M’$, $N$ nöqtəsi isə $N’$ nöqtəsinə keçir. Onda dönmənin tərifinə görə

$\angle MOM’=\angle NON’$

Hər iki tərəfdən $\angle NOM'$ çıxsaq

$\angle MOM’ - \angle NOM’ = \angle NON’ - \angle NOM’ \Rightarrow \angle MON=\angle M’OM’$

Yenə də dönmənin tərifinə görə $OM=OM’$, $ON=ON’$.

Onda üçbucaqların bərabərliyinin birinci əlamətinə görə $\triangle MON=\triangle M’ON’$.

Bu bərabərlikdən alınır ki, $MN=M’N’$, yəni dönmə zamanı nöqtələr arasındakı məsafə saxlanılır. Bu isə hərəkət deməkdir.

Dönmə
Şəkil 5

Digər məqalələr

Hərəkət nədir?
Hərəkət, elə çevirmə əməliyyatıdır ki, bunun nəticəsində məsafə saxlanılır. Başqa cür desək, hərəkət müstəvini özünə elə inikas edir ki, onun nəticəsində məsafə dəyişmir.

Simmetriya
A və A' nöqtələrini birləşdirən AA' parçasının ortasına perpendikulyar olan a xəttinə nəzərən A və A’ nöqtələri xətti simmetrik sayılır. Həmin parçanın orta nöqtəsinə nəzərən A və A’ nöqtələri həm də mərkəzi simmetrikdir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.