Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Cəbr :: Hesab


Yaranma tarixi:

Mənfi ədədlər

hesab  

 

Müsbət ədədlərin üzərində toplama, çıxma, vurmabölmə əməlləri barədə artıq uyğun məqalələrdə danışılıb. İndi də mənfi ədədlər barədə danışaq.

Mənfi ədədlərin toplanması

$3+5=8$ olduğunu “alma” misalında başa salmaq asandır. Bəs $(-3)+(-5)=(-8)$ və ya $(-3)+5=2$ olduğunu necə başa düşək və başqalarına necə başa salaq. Bu halda bizə almadan daha “güclü” misal lazım olacaq. Bu cür halları havanın temperaturu misalında daha yaxşı başa salmaq olar.

  • $3+5=8$ – dünən havanın temperaturu $3° C$ idi. Bu gün daha $5° C$ temperatur yüksəlib $8 ° C$ oldu
  • $(-3)+5=2$ – dünən havanın temperaturu $-3° C$ idi. Bu gün hava $5° C$ istiləşdi və $2° C$ oldu
  • $3+(-5)=(-2)$ – dünən havanın temperaturu $3° C$ idi. Bu gün dünənə nəzərən temperatur $5° C$ düşdü və $-2° C$ oldu
  • $(-3)+(-5)=(-8)$ – dünən havanın temperaturu $-3° C$ idi. Bu gün hava daha $5° C$ soyudu və $-8° C$ oldu

Mənfi ədədlərin hasili

$3 \cdot 5$ hasilini başa düşmək üçün $3$ dəfə $5$-i toplamaq lazım olduğunu yada salmaq kifayətdir.

$5+5+5=15$

$1 \cdot 5$ isə $1$ dənə $5$ kimi başa düşülə bilər. $0 \cdot 5$ və ya $(-3) \cdot 5$ hasilini anlamaq üçün isə kommutativlik qanunu bizim köməyimizə gəlir.

$0 \cdot 5 = 5 \cdot 0 = 0+0+0+0+0=0$
$(-3) \cdot 5 = 5 \cdot (-3) = (-3) + … +(-3) = -15$

İndi $(-3) \cdot (-5)$ hasilini  anlamağa çalışaq. Yuxarıda gördük ki, vuruqların biri mənfi olsa hasil mənfi olacaq. Bəs vuruqların hər ikisi mənfi olsa necə? Bu hal üçün aşağıdakı izahat var.

  • $3 \cdot 5 = 15$ – $3$ dəfə sizə $5$ manat pul versələr nəticədə siz $15$ manat qazanmış olarsınız
  • $3 \cdot (-5) = (-15)$ – $3$ dəfə sizi $5$ manat cərimə etsələr nəticədə siz $15$ manat pul itirmiş olacaqsınız
  • $(-3) \cdot 5 = (-15)$ – $3$ dəfə sizə hər birində $5$ manat olmaqla əskik pul versələr nəticədə yenə $15$ manat itirmiş olacaqsınız
  • $(-3) \cdot (-5) = 15$ – $3$ dəfə siz $5$ manatlıq cərimədən yayınsanız nəticədə yenə $15$ manat qabaq düşərsiniz

Mənfi və müsbət ədədlərin hasilinin mənfi olmasını analitik yolla belə isbat etmək olar.  $(-15)$ ədədi $15$  ədədinə əks olan ədəddir. Yəni onların cəmi sıfıra bərabərdir. Deməli, biz isbat etsək ki, $3 \cdot (-5) + 15 =0$ onda $3 \cdot (-5) = -15$ olduğunu isbat etmiş olarıq.

$3 \cdot (-5) +15 = 3 \cdot (-5) + 3 \cdot 5 = \\
=3 \cdot (-5+5)=3 \cdot 0 =0$

İndi isə iki mənfi ədədin hasilinə baxaq. Aşağıdakı yazılışa diqqət yetirin.

$(-3)+3=0$

Hər iki tərəfi $(-5)$-ə vuraq.

$(-3) \cdot (-5)+3 \cdot (-5)=0 \cdot (-5) \Rightarrow \\
\Rightarrow (-3) \cdot (-5)+ (-15)=0$

Yəni $(-3) \cdot (-5)$ ədədi $(-15)$ ədədinə əks ədəddir. Bu ədəd isə $15$-dir. Burada sual doğuran məqam $0 \cdot (-5)=0$ olmasıdır. Bunu sadəcə olaraq qəbul edin ki, $0$ istənilən ədədə (mənfi və ya müsbət) vurularkən hasil həmişə $0$-a bərabər olacaq.

Qeyd: Bu məqalə yazılarkən mənbə kimi (İ.M.Gelfand, A.Şen) Algebra kitabından istifadə olunub.

Digər məqalələr

Çıxma və alt-alta çıxma
Alt-alta çıxma eynilə alt-alta toplamanı xatırladır. Burada birinci sətirdə azalan, ikini sətirdə isə çıxılan yazılır. Bu yazılışda təkliklər təkliklərin altına, onluqlar onluqların altına və s. düşməlidir.

Toplama və alt-alta toplama
5+7 kimi toplama əməlini yəqin ki, hamınız fikrinizdə edirsiniz. Amma 18762+3529 kimi toplamanı fikrimizdə etmək o qədər də asan deyil. Ona görə alt-alta toplama adlı bir vasitə mövcuddur.

Bölmə və budaqlı bölmə
Bölmə əməli vurmanın tərsidir. Kiçik ədədlərin vurulması kimi bölünməsini də yaddaşda etmək olar. Amma böyük ədədləri bölmək üçün “budaqlı bölmə” tətbiq edilir.

Kommutativlik, assosiativlik və distributivlik
Toplananların yerini dəyişdikdə cəm dəyişmir. Vuruqların yerini dəyişdikdə hasil dəyişmir. İki cəmi vurmaq üçün I cəmin hər bir həddini II cəmin hər bir hədinə vurub nəticəni toplamaq lazımdır.

Kəsr ədədlər
Kəsr ədədləri müqayisə etmək üçün onları ümumi məxrəcə gətirib surətlərini müqayisə etmək lazımdır. Hansı kəsrin surəti böyükdürsə, həmin kəsr böyükdür. Əgər məxrəcləri eyniləşdirmək daha çox hesablama tələb edirsə, surətləri bərabərləşdirməyə çalışın.

Cəbrdə hərflərin rolu
Əgər yadınızdadırsa 1-4-cü sinifdə oxuyan uşaqlar ev tapşırığını yerinə yetirərkən, məsələləri x (“iks”) ilə deyil, sual verməklə həll edirlər. Dediyimiz “iks” anlayışı daxil edilərkən bir çox uşaqlar çaşqınlıq yaşayır.

Vurma və alt-alta vurma
Alt-alta vurma əməlini yerinə yetirmək üçün vurulacaq ədədləri bir birinin altına sütun şəklində yazırıq. Toplamada olduğu kimi elə yazmalıyıq ki, təkliklər bir sütunda, onluqlar bir sütunda, yüzlüklər bir sütunda və s. olsun.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.