Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Menelay teoremi

üçbucaq  Menelay  

 

İskəndəriyyəli Menelay bizim eranın I əsrində Yunanıstanda yaşamış riyazıyyatçı və astronom olub. O, sferik triqonometriya üzrə bir sıra əsərlərin müəllifidir. Belə ki, “Sferika” adlı 3 kitab, “Vətərlərin hesablanması” adlı 6 kitab və “Həndəsənin başlanğıcı” adlı 3 kitabın müəllifidir. Bir çox işlərində istifadə etdiyi teorem bu gün Menelay teoremi kimi tanınır.

Menelay teoremi: Tutaq ki, düz xətt $\triangle ABC$-ni kəsir. Bu xətt $AB$ tərəfini $C_1$, $BC$ tərəfini $A_1$, $AC$ tərəfinin uzantısını isə $B_1$ nöqtəsində kəsir. Onda aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

Menelay teoremi

İsbatı: $\triangle ABC$-nin $C$ nöqtəsindən $AB$ tərəfinə paralel xətt çəkək. Onun $B_1C_1$ xətti ilə kəsişməsini $K$ ilə işarə edək. $\triangle AC_1B_1$ və $\triangle CKB_1$-ə nəzər salaq. Onların $B_1$ təpəsindəki bucaqları eyni, $C_1$ və $K$ təpələrindəki bucaqları isə iki paralel xəttin üçüncü ilə kəsişməsindən alınan uyğun bucaqlar olduğu üçün bərabərdir. Deməli, iki bucağa görə $\triangle AC_1B_1 \sim \triangle CKB_1$.

Oxşarlıqdan alınır ki,

$\dfrac {AC_1}{CK} = \dfrac {B_1A}{CB_1}$

$\triangle BC_1A_1$ və $\triangle CKA_1$-də $A$ təpəsindəki bucaqlar qarşılıqlı, $B$ və $C$ təpəsindəki bucaqlar isə iki paralel düz xəttin üçüncü ilə kəsişməsindən alınan çarpaz bucaqlar olduğu üçün bərabərdir. Deməli, bu iki üçbucaq da oxşardır. Bu oxşarlıq da bizə aşağıdakı bərabərliyi verir.

$\dfrac {C_1B}{CK} = \dfrac{BA_1}{A_1C}$

Bu bərabərliklərdən $CK$-nı tapsaq

$CK = \dfrac{AC_1 \cdot CB_1}{B_1A} = \dfrac{C_1B \cdot A_1C}{BA_1}$

Bütün parçaların uzunluğu sıfırdan fərqli olduğu üçüm sol tərəfi sağ tərəfə bölə bilərik

$\dfrac{AC_1 \cdot CB_1 \cdot BA_1}{B_1A\cdot C_1B \cdot A_1C}=\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

Tərs Menelay teoremi: Tutaq ki, $\triangle ABC$ verilib. $C_1$ nöqtəsi $AB$ tərəfində, $A_1$ nöqtəsi $BC$ tərəfində, $B_1$ nöqtəsi isə $AC$ tərəfinin uzantısı üzərindədir və aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

$\dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

Onda $A_1$, $B_1$ və $C_1$ nöqtələri bir düz xətt üzərində yerləşir.

Tərs Menelay teoremi

İsbatı: Bunun tərsini fərz edək. Tutaq ki, teoremdəki şərtin ödənməsinə baxmayaraq $A_1$, $B_1$ və $C_1$ nöqtələri bir düz xətt üzərində deyil. Onda $A_1$ və $B_1$ nöqtələrindən keçən bir düz xətt çəkək. Tutaq ki, bu düz xətt $AB$ tərəfini hər hansı $C_2$ nöqtəsində kəsir. Onda Menelay teoreminə görə

$\dfrac{AC_2}{C_2B}\cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

Bu bərabərliyi teoremin şərti ilə eyniləşdirsək alarıq ki,

$\dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AC_2}{C_2B}$

Bu isə o deməkdir ki, $C_1$ və $C_2$ nöqtələri $AB$ parçasını eyni nisbətdə bölür, yəni $C_1$ və $C_2$ üst-üstə düşür. Teorem isbat olundu.

Ümumiləşdirilmiş Menelay teoremi

Qeyd: Menelay teoremi və onun tərsi $A_1$, $B_1$ və $C_1$ nöqtələrinin hər üçü $ABC$ üçbucağının tərəflərinin uzantısı üzərində olduğu hal üçün də doğrudur. Bunun isbatı eynilə yuxarıdakı isbat kimi üçbucaqların oxşarlığından alınır. Bunun üçün $B$ təpəsindən $AC$ tərəfinə paralel xətt çəkmək lazımdır.

$\triangle A_1KB \sim \triangle A_1B_1C \Rightarrow \dfrac{KB}{CB_1} = \dfrac{BA_1}{A_1C}$

$\triangle KBC_1 \sim \triangle B_1AC_1 \Rightarrow \dfrac{KB}{B_1A} = \dfrac{C_1B}{AC_1}$

Bu iki bərabərlikdən $KB$-ni tapsaq:

$KB = \dfrac{BA_1 \cdot CB_1}{A_1C}= \dfrac{C_1B \cdot B_1A}{AC_1} \Rightarrow $

$ \dfrac{AC_1 \cdot BA_1 \cdot CB_1}{C_1B \cdot A_1C \cdot B_1A}=1 \Rightarrow \dfrac{AC_1}{C_1B}\cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$

Triqonometrik Menelay teoremi

Menelay teoremini triqonometrik şəkildə də vermək mümkündür.

Teorem: Tutaq ki, $\triangle ABC$ verilib. Bu üçbucağın $AB$ və $BC$ tərəflərində $C_1$ və $A_1$ nöqtələri verilib. $B_1$ isə $AC$ tərəfinin uzantısı üzərindədir. Bucaqları belə işarə edək.

$\alpha_1 = \angle BAA_1 , \ \alpha_2=\angle CA A_1 \\
\beta_1 = \angle CBB_1 , \ \beta_2 = \angle ABB_1 \\
\gamma_1 = \angle ACC_1 , \ \gamma_2 = \angle BCC_1$

$A_1$, $B_1$ və $C_1$ nöqtələri yalnız və yalnız o zaman bir düz xətt üzərində olar ki, aşağıdakı bərabərlik ödənsin.

$\dfrac{sin \alpha_1}{sin \alpha_2} \cdot \dfrac{sin \beta_1}{sin \beta_2} \cdot \dfrac{sin \gamma_1}{sin \gamma_2} =1$

Triqonometrik Menelay teoremi

İsbatı: Menelay teoreminə görə $A_1$, $B_1$ və $C_1$ nöqtələri yalnız və yalnız o zaman bir düz xətt üzərində yerləşir ki, aşağıdakı şərt ödənsin.

$\dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} \cdot \dfrac{AC_1}{C_1B} = 1$

$\triangle ABA_1$ və $\triangle ACA_1$-ə baxaq. Onlar $A$ təpəsindən çəkilmiş eyni $h$ hündürlüyünə malikdir. Bu hündürlük qarışıqlıq düşməsin deyə, şəkildə çəkilməyib. Onu təsəvvür edin. Ona görə

$\dfrac{S_{\triangle ABA_1}}{S_{\triangle ACA_1}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}h\cdot BA_1}{\dfrac{1}{2}h\cdot A_1C} = \dfrac{BA_1}{A_1C}$

Bu üçbucaqların həmçinin eyni $AA_{1}$ tərəfi var. Onda bu üçbucaqların sahəsini iki tərəf və arasındakı bucağın sinusu ilə ifadə etsək

$\dfrac{S_{\triangle ABA_1}}{S_{\triangle ACA_1}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BA \cdot AA_1 \cdot sin \alpha_1}{\dfrac{1}{2}AC \cdot AA_1 \cdot sin \alpha_2}=\dfrac{BA \ sin \alpha_1}{AC \ sin \alpha_2}\Rightarrow\\[20pt]
\Rightarrow \dfrac{BA_1}{A_1C} = \dfrac{BA \ sin \alpha_1}{AC \ sin \alpha_2}$

Eynilə $\triangle BCB_1$ və $\triangle BAB_1$ üçün alırıq ki,

$\dfrac{CB_1}{B_1A} = \dfrac{CB \ sin \beta_1}{BA \ sin \beta_2}$

$\triangle ACC_1$ və $\triangle BCC_1$-dən isə aşağıdakı bərabərlik alınır

$\dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AC \ sin \gamma_1}{CB \ sin \gamma_2}$

Bu üç bərabərliyi bir-birinə vuraq.

$1=\dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} \cdot \dfrac{AC_1}{C_1B} = \\[15pt]
=\dfrac{BA \ sin \alpha_1}{AC \ sin \alpha_2} \cdot \dfrac{CB \ sin \beta_1}{BA \ sin \beta_2} \cdot \dfrac{AC \ sin \gamma_1}{CB \ sin \gamma_2} = \\[15pt]
=\dfrac{sin \alpha_1}{sin \alpha_2} \cdot \dfrac{sin \beta_1}{sin \beta_2} \cdot \dfrac{sin \gamma_1}{sin \gamma_2}$

Bununla da Menelay teoreminin triqonometrik şəkli isbat olundu.

 

Digər məqalələr

Stüart teoremi
Üçbucağın oturacağı üzərində olan nöqtədən qarşı təpəyə qədər məsafənin kvadratının oturacağa hasili, digər iki tərəfin kvadratlarının oturacağın onlarla qonşu olmayan hissələrinə hasili cəmi ilə oturacaq və onun hissələrinin hasilinin fərqinə bərabərdir.

Morli teoremi
Bucağı üç bərabər hissəyə bölən şüaların hər birinə üçbölən deyilir. İstənilən üçbucağın qonşu üçbölənlərinin kəsişmə nöqtələri bərabərtərəfli üçbucağın təpə nöqtələridir.

Dezarq teoremi
Əgər iki üçbucağın cüt-cüt təpə nöqtələrini birləşdirən düz xətlər bir nöqtədə kəsişərsə və ya bu düz xətlərin üçü də paralel olarsa, onsa bu üşbucaqların həmin təpələrə uyğun tərəflərinin uzantıları kəsişirsə, bu kəsişmə nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Üçbucaq üçün Paskal teoremi
Tutaq ki, bərabəryanlı olmayan ABC üçbucağının xaricinə çevrə çəkilib. Bu çevrəyə A, B və C nöqtələrində toxunanlar çəkilib. A’, B’ və C’ nöqtələri isə həmin toxunanların ABC üçbucağının tərəflərinin uzantıları ilə kəsişmə nöqtələridir. Onda A’, B’ və C’ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Apolloniy teoremi
Üçbucağın oturacağına median çəkilibsə, onun yan tərəflərinin kvadratları cəmi, medianın kvadratı ilə oturacağının yarısının kvadratı cəminin iki mislinə bərabərdir.

Papp teoremi
Bu teorem yunan riyaziyyatçısı İskəndəriyyəli Pappın adı ilə bağlıdır. O, bu teoremi eramızın 4-cü əsrində isbat edib. Haqqında danışılacaq teorem Pifaqor teoreminin analoqudur. Fərqi isə ondadır ki, Papp teoremi üçbucaq üzərinə heç bir məhdudiyyət qoymur.

Jerqon nöqtəsi və Jerqon teoremi
Üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin tərəflərlə toxunma nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların kəsişmə nöqtəsi Jerqon nöqtəsi adlanır.

Napoleon teoremi
Əgər ixtiyari üçbucağın tərəflərində bərabərtərəfli üçbucaqlar qursaq, onların mərkəzləri də bərabərtərəfli üçbucağın təpəsi olacaq. İlk dəfə bu teoremi Vilyam Rezerford Napoleonun ölümündən 4 il sonra çap elətdirib.

Çeva teoremi
İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Çeva teoremi üçbucağın təpələrindən çəkilmiş şüaların bir nöqtədə kəsişməsi üçün zəruri və kafi şərt verir.

Üçbucaq üçün Van-Obel teoremi
ABC üçbucağının daxilində O nöqtəsində kəsişən üç AA1, BB1 və CC1 çevianları üçün belə bir bərabərlik doğrudur: CO/OC1 = CA1/A1B + CB1/B1A

Qauss teoremi
Tutaq ki, düz xətt üçbucağın iki tərəfini və üçüncü tərəfin uzantısını kəsir. Onda, kəsişmə nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların orta nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.