Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Median, tənbölən, hündürlük

Median, tənbölən və hündürlüyün tərifini artıq vermişik.

Teorem: Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən $2:1$ nisbətində bölünür.

Median

İsbatı: $\triangle ABC$-də $AA_1$ və $BB_1$ medianlarını çəkib kəsişmə nöqtəsini $O$ ilə işarə edək.  $A_1$ və $B_1$ nöqtəsindən bu üçbucağın orta xəttini çəksək $\angle 1=\angle 2$, $\angle 3=\angle 4$ alarıq. Çünki bu bucaqlar iki paralel xəttin üçüncü xətt ilə kəsişməsindən alınan çarpaz bucaqlardır. Deməli, üçbucaqların oxşarlığının birinci əlamətinə görə $\triangle AOB \sim \triangle A_1OB_1$. Ona görə də

$\dfrac{AO}{A_1O} = \dfrac{BO}{B_1O}= \dfrac{AB}{A_1B_1}$

$A_1B_1$ orta xətt olduğu üçün  $AB=2A_1B_1$. Onda yuxarıdaki nisbətdən

$AO=2A_1O,\  BO=2B_1O$

$O$ nöqtəsi $AA_1$ və $BB_1$ medianlarını $2:1$ nisbətində böldü. Eynilə göstərə bilərik ki, $BB_1$ və $CC_1$ medianlarının kəsişmə nöqtəsi onları $2:1$ nisbətində bölür. $BB_1$ üçün bu nöqtə $O$ nöqtəsidir, deməli $BB_1$ və $CC_1$  medianları da həmin $O$ nöqtəsində kəsişir.

Teorem: Üçbucağın tənböləni qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür.

Tənbölən

İsbatı: $\triangle ABC$-də $B$ təpəsindən $AD$ tənböləninə paralel xətt çəkib $AC$ xətti ilə kəsişmə nöqtəsini $E$ ilə işarə edək. $\angle EBA$ və $\angle BAD$ daxili çarpaz bucaqlar, $\angle BEA$ və $\angle DAC$ isə uyğun bucaqlar olduğu üçün bərabərdirlər. $AD$ isə tənbölən olduğundan $\angle BAD = \angle DAC$. Ona görə $\angle BEA = \angle EBA$.

$\triangle EAB$-nin iki bucağı bərabər olduğu üçün o bərabəryanlıdır. Yəni $AB=AE$. Oda, $\angle BCE$ üçün Fales teoreminə görə

$\dfrac {EA}{AC} = \dfrac {BD}{DC} \Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{DC}$

Teorem: Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişir.

Tənbölən

İsbatı: $\triangle ABC$-də iki tənbölən çəkək. Şəkildə $A$ və $B$ təpələrindən çəkilən tənbölənlərin kəsişmə nöqtəsi $O$ ilə işarə edilib. Həmin $O$ nöqtəsindən hər üç tərəfə perpendikulyar endirək. Şəkildə $\triangle AOR$ və $\triangle AOP$-yə baxaq. Bu düzbucaqlı üçbucaqların hipotenuzları eyni, $A$ təpəsindəki bucaqları isə bərabərdir. Üçbucaqlar düzbucaqlı üçbucaq olduğu üçün $\angle POA = \angle ROA$. Onda üçbucaqların bərabərliyinin ikinci əlamətinə görə $\triangle AOR = \triangle AOP$. Deməli $OR=OP$.

Eynilə isbat edilir ki, $OP=OQ$. Deməli, $O$ nöqtəsi hər üç tərəfdən eyni məsafədə yerləşir. Bu nöqtə $BC$ və $CA$ tərəflərindən də eyni məsafədə olduğundan $O$ nöqtəsi ilə $C$ təpəsini birləşdirsək alınan düzbucaqlı üçbucaqlar hipotenuz və katetə görə bərabər olacaq. Bu isə həmin üçbucaqların $C$ təpəsindəki bucaqlarının bərabərliyi demıkdir. Yəni $O$ nöqtəsi $C$ bucağının tənböləni üzərində olacaq. Beləliklə $C$ bucağının tənböləni $A$ və $B$ bucaqlarının tənbölənlərinin kəsişmə nöqtəsindən keçir. Teorem isbat olundu.

Teorem: Üçbucağın tərəflərinin ortasından qaldırılmış perpendikulyarlar  və ya onların davamı bir nöqtədə kəsişir.

Tərəflərin ortasından qaldırılmış perpendikulyar

İsbatı: Tutaq ki, $\triangle ABC$-də $O$ nöqtəsi $AB$ və $AC$ tərəflərinin ortasından qaldırılmış perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsidir. Parçanın ortasından qaldırılan perpendikulyarın xassəsinə görə $AO=OC$ və $AO=OB$. Deməli $O$ nöqtəsi hər üç təpədən eyni məsafədə yerləşib. Yəni $BC$ tərəfinin ortasından perpendikulyar qaldırsaq, o da eyni qayda ilə $B$ və $C$ təpələrindən bərabər məsafələrdə olacaq, deməli $O$ nöqtəsindən keçəcək.

Korbucaqlı üçbucaqda tərəflərin ortasından qaldırılmış perpendikulyar

Əgər üçbucaq korbucaqlıdırsa, bu perpendikulyarların kəsişmə nöqtəsi üçbucağın xarıcınə düşəcək.

Teorem: Üçbucağın hündürlükləri və ya onların davamı bir nöqtədə kəsişir.

İsbatı: Tutaq ki, $\triangle ABC$ verilib. $AH$, $BI$ və $CJ$ hündürlüklərini çəkək. İsbat etməliyik ki, hər üç hündürlük bir $O$ nöqtəsində kəsişir. $\triangle ABC$-nin hər təpəsindən qarşı tərəfə paralel xətlər çəkək. Bu xətlərin kəsişməsindən alınan üçbucağı  $DEF$ ilə işarə edək. $AB \parallel FE$, $BC \parallel DF$, $AC \parallel DE$.

Üçbucağın hündürlüklərinin kəsişmə nöqtəsi

$AH$, $BI$ və $CJ$ xətləri $\triangle ABC$-nin tərəflərinə perpendikulyar olduğu üçün çəkilmiş paralel xətlərə də perpendikulyar olacaq. $AH \perp DF$, $BI \perp DE$, $CJ \perp FE$. $ABEC$ dördbucaqlısı qurmaya görə paraleloqram olacaq. Eynilə $ADBC$ də paraleloqramdır. Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabər olduğu üçün $ABEC$-nin paraleloqramlığı bizə $AC=BE$, $ADBC$-nin paraleloqramlığı $AC=DB$ verir. Deməli, $DB=BE$. Yəni $BI$ perpendikulyarı  $\triangle DEF$-in $DE$ tərəfini yarı bölür. Eynilə $AH$ perpendikulyarı $DF$ tərəfinin, $CJ$ perpendikulyarı isə $EF$ tərəfinin ortasından qaldırılmış perpendikulyarlardır.  Indicə isbat etdiyimiz teoremə görə bu perpendikulyarlar bir nöqtədə kəsişir.              

Digər məqalələr

Kosinuslar teoremi
Üçbucağın istənilən tərəfinin kvadratı, qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin fərqinə bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi
Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Pifaqor teoremi
Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Uçbucaqların bərabərlik əlamətləri
İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaq
Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Oxşar üçbucaqlar
Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Əgər çevrə üçbucağın bütün təpələrindən keçirsə, onda bu çevrə üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə adlanır. Çevrə üçbucağın bütün tərəflərinə toxunursa, onda ona üçbucaq daxilin çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən üçbucağın xaricinə və daxilinə yeganə çevrə çəkmək olar.

Sinuslar teoremi
Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi
Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Üçbucaqların həlli
Üçbucağın həlli dedikdə verilmiş 3 element vasitəsilə onun bütün tərəflərinin və bucaqlarının tapılması nəzərdə tutulur. Bu məsələni üç halda araşdıracağıq.

Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Fales teoremi
Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır. Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Düzbucaqlı üçbucaq
Bucaqlardan biri 90° olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Düzbucaqlı üçbucaqda 30°-li bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir. Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük onu iki oxşar üçbucağa ayırır.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.