Дата создания: 07 Октябрь, 2019

Глава II. Задача 2 (В.Ф. Бутузов, Математический анализ)

Бутузов предел

 

Пользуясь определением предела последовательности, докажите.

Задача 2.а

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{(-1)^n}{n}=0$

Решение

Напомним определение предела последовательности. Если $\forall \epsilon >0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, что $\forall n>N: \ |x_n-a|<\epsilon$, то говорят, что число $a$ называется пределом последовательности $\{ x_n \}$. Значит мы должны доказать, что $\forall \epsilon>0, \ \exists N \in \mathbb{N}$, что $\forall n>N: \ \left| \dfrac{(-1)^n}{n}\right|=\dfrac{1}{n}<\epsilon$.

В качестве $N$ возьмем $\left[\dfrac{1}{\epsilon}\right]$. Нет необходимости добавлять единицу, так как следующее целое число, большее, чем $N$, будет больше этой дроби. Тогда $\forall n>N=\left[\dfrac{1}{\epsilon}\right], \dfrac{1}{n}<\epsilon$.

Задача 2.б

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2n}{n+3}=2$

Решение

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2n}{n+3}=2\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{n}{n\left(1+\dfrac{3}{n}\right)}=2\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{\left(1+\dfrac{3}{n}\right)}$

Здесь, $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{3}{n}=0$, следовательно $2\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{1}=2$.

Задача 2.в

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\cos n}{n}=0$

Решение

Так как $|\cos n|\leqslant 1$, это выражение можно записать в виде $\dfrac{\cos n}{n}\leqslant \dfrac{1}{n}$. А лимит этой последовательности равен нулю.

Задача 2.г

$\lim \limits_{n \to \infty} \log_n 2=0$

Решение

Для доказательства нам нужно $\forall \epsilon >0$ найти $\exists N \in \mathbb{N}$, что $\forall n>N: \ |\log_n 2|=\log_n 2<\epsilon$. Отсюда найдем минимальное значение для $n$.

$\log_n 2<\epsilon \Rightarrow n^{\log_n 2}<n^{\epsilon} \Rightarrow 2<n^{\epsilon} \Rightarrow n>\sqrt[\epsilon]{2}$

Значит, при $n>2^{\frac{1}{\epsilon}}$ удовлетворяется условие. Тогда $N=\left[2^{\frac{1}{\epsilon}}\right]$.

Задача 2.д

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^3+2n+1} =0$

Решение

Заменим эту дробь, другой дробью, которая больше него и покажем, что предел большей дроби в бесконечности равен нулю.

$\dfrac{1}{n^3+2n+1} < \dfrac{1}{n}$.

В пункте a доказали, что $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}=0$, значит лимит меньшей дроби тоже равен нулю.

Задача 2.е

$\lim \limits_{n \to \infty} (0,8)^n =0$

Решение

$\forall \epsilon>0, \ (0,8)^n<\epsilon$

Так как основание меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный.

$\log_{0,8}(0,8)^n>\log_{0,8}\epsilon \Rightarrow n>\log_{0,8}\epsilon$

Значит если в качестве $N$ брать $N=\left[\log_{0,8}\epsilon\right]$, тогда $\forall n>N$ удовлетворяется условие определения предела.

Задача 2.ж

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{2^n+5 \cdot 6^n}{3^n+6^n}=5$

Решение

$\dfrac{2^n+5 \cdot 6^n}{3^n+6^n} = \dfrac{2^n}{3^n+6^n}+5\dfrac{6^n}{3^n+6^n}=\\[15pt]
=\dfrac{1}{(1,5)^n+3^n}+\dfrac{5}{(0,5)^n+1}$

Здесь предел знаменателя первой дроби равен $\infty$, значит предел первой дроби равен нулю. А знаменатель второй дроби равен $1$, потому что, как доказали в задаче е, если основание меньше единицы, то предел $\{a^n\}$ в бесконечности равен нулю. Тогда $\lim \limits_{n \to \infty}(0,5)^n=0$, значит $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{5}{(0,5)^n+1}=5$.

Задача 2.з

$\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt[3]{n^2} \sin n^2}{n+1}=0$

Решение

Так как $|\sin n^2|\leqslant 1$ и $n+1>n$

$\dfrac{\sqrt[3]{n^2} \sin n^2}{n+1}<\dfrac{\sqrt[3]{n^2} \cdot 1}{n}= \dfrac{\sqrt[3]{n^2}}{\sqrt[3]{n^3}} = \sqrt[3]{\dfrac{1}{n}}$

Как мы уже показали в пункте a $\lim \limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}=0$, значит $\lim \limits_{n \to \infty}\sqrt[3]{\dfrac{1}{n}}=0$.

Читайте также