Naviqator


Arxiv

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201920

Yaranma tarixi:

Kəsr ədədlər


hesab rasional ədəd

 

Kəsr ədədlər

Tam və natural ədədləri başa düşmək və digər uşaqlara başa salmaq asandır. Çünki bu ədədlər barədə onlar gündəlik həyatlarında kifayət qədər eşidiblər. Bəs kəsr ədəd nədir?

Kəsr ədədlərin ən sadə izahı meyvə və ya tort üzərində verilir. Tutaq ki, iki uşağa $1$ alma verilib. Onda dava salmamaq üçün hərəsinə bu almanın yarısı təqdim olunur. Yəni hər uşaq yarım almaya sahib olacaq. Bu "yarım" sözü riyazı dildə $\dfrac{1}{2}$ kimi işarə edilir və "ikidə bir" kimi oxunur. Yəni, almanı $2$ yerə bölüb $1$ hissəsini götürürük. Eynilə $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{1}{10}$ və s. kəsrləri tort və ya pizza üzərində izah edilə bilər. Ortadakı xətt kəsr xətti, bu xəttin aşağı hissəsindəki ədəd məxrəc, yuxarı hissəsindəki ədəd isə surət adlanır. Deməli, kəsr ədədlər, kəsr xətti, surət və məxrəcdən ibarətdir. Bu terminləri yadda saxlayın.

Əgər surət məxrəcdən kiçikdirsə bu kəsr düzgün kəsr, surət məxrəcdən böyükdürsə bu kəsr düzgün olmayan kəsr adlanır. $\dfrac{3}{5}$ düzgün kəsr, $\dfrac{5}{3}$ isə düzgün olmayan kəsrdir.

İndi gəlin kəsr ədədləri müqayisə edək və onlar üzərində sadə əməllərə baxaq.

Kəsr ədədlərin müqayisəsi

Tutaq ki, bizə $\dfrac{3}{5}$ və $\dfrac{9}{15}$ kəsr ədədlərini müqayisə etmək lazımdır. Əgər ikinci kəsrin surət və məxrəcini iki vuruq şəklində göstərsək, görərik ki, bu iki kəsr bərabərdir.

$\dfrac{9}{15} = \dfrac{3 \cdot 3}{3 \cdot 5} = \dfrac{3}{5}$

Surət və məxrəcdəki eyni vuruqlar bir-birini aparır. Buna ixtisar deyirlər. Surət və məxrəcdəki $3$ vuruğu ixtisar olunmaqla ikinci kəsrin birinciyə bərabər olması alınır. Bunu şəkil ilə belə izah etmək olar.

3/5 9/15

Bir az mürəkkəb hala baxaq. $\dfrac{221}{391}$ və $\dfrac{403}{713}$ kəsrlərini müqayisə etməyə çalışaq. Əslində bu halda da birinci və ikinci kəsrin ixtisar etməklə bərabər olduğunu görmək olar. Amma bunu ilk baxışdan görmək mümkün deyil.

$\dfrac{221}{391} = \dfrac{17 \cdot 13}{17 \cdot 23}  = \dfrac{13}{23} \\[15pt]
\dfrac{403}{713} = \dfrac{31 \cdot 13}{31 \cdot 23} =  \dfrac{13}{23}$

Bu cür ədədləri müqayisə etmək üçün ümumi qayda var.

Kəsr ədədləri müqayisə etmək üçün onları ümumi məxrəcə gətirib surətlərini müqayisə etmək lazımdır. Hansı kəsrin surəti böyükdürsə, həmin kəsr böyükdür.

Bu tərif intuitiv olaraq aydındır. Tortu eyni ölçüdə hissələrə böldükdən sonra kim çox hissə yesə qarınqulu da odur.

Ümumi məxrəcə gətirmənin ən sadə yolu isə odur ki, birinci kəsrin surət və məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə, ikinci kəsrin surət və məxrəcini birinci kəsrin məxrəcinə vururuq.

$\dfrac{221}{391} = \dfrac{221 \cdot 713}{391 \cdot 713}\\[15pt]
\dfrac{403}{713} = \dfrac{403 \cdot 391}{713 \cdot 391}$

Alt-alta vurmanı tətbiq etsək hər iki surətin $157573$ olduğunu görərik. Beləliklə hər iki kəsrin əslində $\dfrac{13}{23}$  olduğunu görməsək də, onların bərabərliyinə əmin olduq.

Çox vaxt müqayisə üçün kəsrləri eyni məxrəcə gətirməyə ehtiyac olmur. Məsələn, tortu $5$ yerə bölüb $2$ hissəsini sizə verdilər. Əgər həmin tortu $7$ yerə bölüb $2$ hissəsini versəydilər hansı hissələr daha böyük olardı? Aydındır ki, $7$ yerə bölünən tortun hissələri daha kiçik olacaq. Deməli, $\dfrac{2}{5} > \dfrac{2}{7}$. Buradan belə nəticə çıxarırıq ki, surətlər bərabər olduqda məxrəcə baxmaq lazımdır. Hansı kəsrin məxrəci daha böyükdürsə, o kəsr kiçikdir.

Bu qaydanı hətta müxtəlif surətli kəsrlərin müqayisəsi zamanı da istifadə etmək olar. Tutaq ki, $\dfrac{2}{5}$ və $\dfrac{1}{6}$ kəsrlərini müqayisə etməliyik. Onda $\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{12}$ yazsaq görərik ki, $\dfrac{2}{5}$ və $\dfrac{2}{12}$ kəsrlərinin surətləri eyni olsa da, ikinci kəsrin məxrəci böyükdür. Deməli,

$\dfrac{2}{5}>\dfrac{2}{12}$  yəni $\dfrac{2}{5} > \dfrac{1}{6}$

Nəticə: Əgər məxrəcləri eyniləşdirmək daha çox hesablama tələb edirsə, surətləri bərabərləşdirməyə çalışın.

Çox vaxt intuitiv olaraq hətta müxtəlif kəsrləri də müqayisə etmək olur. Məsələn, $\dfrac{101}{102}$ və $\dfrac{1001}{1002}$ kəsrlərini müqayisə edək. Bunların hər ikisi $1$-dən kiçikdir. Amma birinci kəsr $1$-dən $\dfrac{1}{102}$ qədər kiçik olduğu halda, ikinci kəsr $\dfrac{1}{1002}$ qədər kiçikdir. $\dfrac{1}{102} > \dfrac{1}{1002}$ olduğu üçün ikinci kəsr $1$-ə daha yaxındır. Deməli,

$\dfrac{101}{102} < \dfrac{1001}{1002}$

Başqa bir misala baxaq. $\dfrac{123}{201}$ və $\dfrac{124}{202}$ kəsrlərini necə tez müqayisə edə bilərik. Bundan əvvəl daha sadə misala baxaq. $\dfrac{1}{2}$ və $\dfrac{2}{3}$ kəsrlərinin müqayisəsini tort üzərində aparsaq dərhal aydın olur ki, tortun yarısı onun $\dfrac{2}{3}$ hissəsindən kiçikdir. Eynilə $\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4}$. Doğrudan da

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2\cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac{8}{12}\\[15pt]
\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \dfrac{9}{12}$

$\dfrac{8}{12} < \dfrac{9}{12}$ olduğu üçün $\dfrac{2}{3} < \dfrac{3}{4}$. Yəni surət və məxrəci $1$ vahid artırdıqda alınan kəsr həmişə əvvəlki kəsrdən böyük olacaq.

$\dfrac{123}{201} < \dfrac{124}{202}$

Ümumi qayda isə budur ki, $\dfrac{a}{b}$ və $\dfrac{c}{d}$ kəsrlərini müqayisə etmək üçün $\dfrac{ad}{bd}$ və $\dfrac{cb}{db}$ kəsrlərini müqayisə etməliyik. Yuxarıdakı qaydanı bu ümumiləşdirmə ilə isbat etməyə çalışaq. $\dfrac{a}{b}$ və $\dfrac{a+1}{b+1}$ kəsrlərini ümumi qaydanı tətbiq etməklə müqayisə edər.

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a(b+1)}{b(b+1)} = \dfrac{ab+a}{b(b+1)}\\[15pt]
\dfrac{a+1}{b+1} = \dfrac{b(a+1)}{b(b+1)} = \dfrac{ab+b}{b(b+1)}$

Məxrəclər eyni, surətlərdə isə $ab+a$ və $ab+b$ aldıq. $ab$ hər iki surətdə olduğu üçün $a$ və $b$-dən hansı böyükdürsə o kəsr də böyük olacaq. Deməli, düzgün kəsr halında həmişə $a<b$ olduğu üçün $\dfrac{a}{b} < \dfrac{a+1}{b+1}$. Əgər düzgün olmayan kəsrə baxsaq $\dfrac{a}{b} > \dfrac{a+1}{b+1}$ alarıq.

Kəsr ədədlərin toplanması və çıxılması

Kəsr ədədləri toplamaq üçün onların müqayisəsində olduğu kimi ortaq məxrəcə gətirmək lazımdır. Bundan sonra surətləri toplayıb surətə yazırıq. Məxrəcdə isə elə ortaq məxrəc qalır.

İndi gəlin surəti surət ilə, məxrəci məxrəc ilə toplayaq, görək nə alınar. $\dfrac{2}{3}$ və $\dfrac{5}{7}$ kəsrlərinə baxaq.

$\dfrac{2+5}{3+7} = \dfrac{7}{10}$

Aldığımız $\dfrac{7}{10} = 0,7$ ədədi, $\dfrac{2}{3} = 0,666…$ və $\dfrac{5}{7} = 0,714285…$ arasında yerləşir. Bunun ixtiyarı kəsr üçün doğruluğunu göstərək. Tutaq ki, $\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}$. Göstərməliyik ki,

$\dfrac{a}{b} < \dfrac{a+c}{b+d} < \dfrac{c}{d}$

Əvvəlcə $\dfrac{a}{b} < \dfrac{a+c}{b+d}$ olduğunu göstərək. Bu bərabərsizliyi aşağıdakı qaydaya salaq.

$a(b+d) < b(a+c)\\
ab+ad < ab+bc\\
ad < bc$

Sonuncu bərabərsizlik isə $\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}$ şərtindən alınır. Eynilə,

$\dfrac{a+c}{b+d} < \dfrac{c}{d} \\[10pt]
ad+cd<bc+cd\\
ad<bc$

Yenə də şərtdəki bərabərsizliyi aldıq.

Kəsrlərin çıxılması da toplanması kimidir. Fərq yalnız ondadır ki, ortaq məxrəcə gətirdikdən sonra surətləri çıxırıq.

Qonşu kəsrlər

$\dfrac{a}{b}$ və $\dfrac{c}{d}$ kəsrlərinin fərqi $\dfrac{ad-bc}{bd}$ kəsrini verir. Bu kəsrin surəti, $ad-bc= \pm 1$ olarsa, belə kəsrlər qonşu kəsrlər adlanır,  $a, b, c, d \in \mathbb{N}$.

Teorem 1: Qonşu kəsrlər ixtisar olunmayan kəsrlərdir.

İsbatı: Əksini fərz edək. Tutaq ki, $\dfrac{a}{b}$ kəsri ixtisar olunandır. Yəni hansısa birdən böyük $k$ ədədi var ki,

$\dfrac{a}{b} = \dfrac {a_1 k}{b_1 k}; \ a_1, b_1, k \in \mathbb{Z}, \ a_1, b_1 \ne 0, \ k>1$

Onda,

$\dfrac{ad-bc}{bd} = \dfrac{a_1kd-b_1kc}{bd} = \dfrac{k(a_1d-b_1c)}{bd}$

Yəni, $a_1b-b_1c$ ən kiçik tam ədəd olsa belə, onu $k$-ya vurarkən nəticə $\pm 1$ olmayacaq. Biz ziddiyyət aldıq. Deməli, $\dfrac{a}{b}$ ixtisar oluna bilməz. Eynilə $\dfrac{c}{d}$ kəsri də ixtisar olunmayandır.

Teorem 2: Əgər $\dfrac{a}{b}$ və $\dfrac{c}{d}$ qonşu kəsrlərdirsə, onda $\dfrac{a+c}{b+d}$ kəsri bunların hər ikisi ilə qonşudur.

İsbatı: İsbat edək ki, $\dfrac{a}{b}$ ilə $\dfrac{a+c}{b+d}$ qonşu kəsrlərdir.

$\dfrac{a}{b} - \dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{a(b+d)-b(a+c)}{b(b+d)}=\\[15pt]
=\dfrac{ab+ad-ab-bc}{b(b+d)} = \dfrac{ad-bc}{b(b+d)}$

$ad-bc=\pm 1$, çünki $\dfrac{a}{b}$ ilə $\dfrac{c}{d}$ qonşu kəsrlərdir.

İndi $\dfrac{a+c}{b+d}$ ilə $\dfrac{c}{d}$ kəsrlərinin qonşu olmasını göstərək.

$\dfrac{a+c}{b+d} -\dfrac{c}{d} = \dfrac{d(a+c)-c(b+d)}{d(b+d)}=\\[15pt]
=\dfrac{ad+cd-bc-cd}{d(b+d)} = \dfrac{ad-bc}{d(b+d)}$

Yenə qonşuluq isbat olundu.

Kəsr ədədlərin vurulması və bölünməsi

Kəsr ədədləri vurarkən surətləri bir-birinə vurub surətə, məxrəcləri bir-birinə vurub məxrəcə yazmaq lazımdır.

$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$

Bunu başa düşmək üçün təsəvvür edin ki, sizə pizzanın $\dfrac{3}{4}$ hissəsinin də yarısını veriblər. Bu o deməkdir ki, sizə əslində pizzanın $\dfrac{3}{8}$ hissəsi verilib.

$\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8}$

Kəsr ədədi natural ədədə vurarkən yalnız surət həmin ədədə vurulub surətdə yazılır. Məxrəc isə olduğu kimi qalır. Natural $c$ ədədini $\dfrac{c}{1}$ kimi yazsaq bu avtomatik olaraq kəsrlərin vurulmasına gətirilir.

$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{1} = \dfrac{ac}{b}$

İki kəsr ədədi bir-birinə bölmək üçün bölən kəsrin tərsini bölünən kəsrə vurmaq lazımdır. Kəsrin surət və məxrəcinin yerini dəyişsək alınan kəsr əvvəlki kəsrə tərs kəsr adlanır.

$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}$

Kəsr ədədi natural ədədə bölərkən onun məxrəcini həmin ədədə vurmaq lazımdır.

$\dfrac{a}{b} : c = \dfrac{a}{bc}$

Natural ədədi kəsr ədədə bölmək üçün həmin natural ədədi tərs kəsrə vurmaq lazımdır.

$a : \dfrac{c}{d} = a \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{c}$

Qeyd: Bu məqalə yazılarkən mənbə kimi (İ.M.Gelfand, A.Şen) Algebra kitabından istifadə olunub.

Digər məqalələr

Çıxma və alt-alta çıxma

Alt-alta çıxma eynilə alt-alta toplamanı xatırladır. Burada birinci sətirdə azalan, ikini sətirdə isə çıxılan yazılır. Bu yazılışda təkliklər təkliklərin altına, onluqlar onluqların altına və s. düşməlidir.

Toplama və alt-alta toplama

5+7 kimi toplama əməlini yəqin ki, hamınız fikrinizdə edirsiniz. Amma 18762+3529 kimi toplamanı fikrimizdə etmək o qədər də asan deyil. Ona görə alt-alta toplama adlı bir vasitə mövcuddur.

Bölmə və budaqlı bölmə

Bölmə əməli vurmanın tərsidir. Kiçik ədədlərin vurulması kimi bölünməsini də yaddaşda etmək olar. Amma böyük ədədləri bölmək üçün “budaqlı bölmə” tətbiq edilir.

Kommutativlik, assosiativlik və distributivlik

Toplananların yerini dəyişdikdə cəm dəyişmir. Vuruqların yerini dəyişdikdə hasil dəyişmir. İki cəmi vurmaq üçün I cəmin hər bir həddini II cəmin hər bir hədinə vurub nəticəni toplamaq lazımdır.

Mənfi ədədlər

3+5=8 olduğunu “alma” misalında başa salmaq asandır. Bəs (-3)+(-5)=(-8) və ya (-3)+5=2 olduğunu necə başa düşək və kiçik bacı-qardaşlarımıza necə başa salaq. Bu halda bizə almadan daha “güclü” misal lazımdır.

Cəbrdə hərflərin rolu

Əgər yadınızdadırsa 1-4-cü sinifdə oxuyan uşaqlar ev tapşırığını yerinə yetirərkən, məsələləri x (“iks”) ilə deyil, sual verməklə həll edirlər. Dediyimiz “iks” anlayışı daxil edilərkən bir çox uşaqlar çaşqınlıq yaşayır.

Vurma və alt-alta vurma

Alt-alta vurma əməlini yerinə yetirmək üçün vurulacaq ədədləri bir birinin altına sütun şəklində yazırıq. Toplamada olduğu kimi elə yazmalıyıq ki, təkliklər bir sütunda, onluqlar bir sütunda, yüzlüklər bir sütunda və s. olsun.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.