Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Jerqon nöqtəsi və Jerqon teoremi

üçbucaq  Çeva  

 

Josef Dias Jerqon (19.06.1771 – 04.05.1859) adlı fransiz riyaziyyatçısı əsasən həndəsə ilə məşğul olub. Jerqon riyazı nəzəriyyə barədə belə deyirdi: “Nəzəriyyədən o zaman məmnunluq hiss etmək olar ki, onu yoldan keçən hər hansı insana bir-neçə kəlmə ilə izah etmək olsun.” Təəssüf ki, bu yalnız gözəl sözlərdir.

Üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin tərəflərlə toxunma nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların kəsişmə nöqtəsi Jerqon nöqtəsi adlanır.

Jerqon nöqtəsi

İsbat edək ki, həqiqətən Jerqon nöqtəsi mövcuddur, yəni bu düz xətt parçaları bir nöqtədə kəsişir. Tutaq ki, mərkəzi $O$ olan daxilə çəkilmiş çevrə $BC$, $AC$ və $AB$ tərəflərinə uyğun olaraq $D$, $E$ və $F$ nöqtələrində toxunur. Onda, əgər varsa, Jerqon nöqtəsini G ilə işarə edək.

Bilirik ki, daxilə çəkilmiş çevrənin mərkəzi tənbölənlərin kəsişmə nöqtəsindədir. Çevrənin radiusu isə hər üç tərəfə perpendikulyardır. Çünki üçbucağın tərəfləri bu çevrəyə toxunanlardır. Bu radiuslar və tənbölənlər şəkildə qırıq-qırıq xətlərlə göstərilib. Şəkildən görünür ki, biz 3 cüt bərabər üçbucaq almışıq.

$\triangle AFO = \triangle AEO$, $\triangle BFO = \triangle BDO$, $\triangle CDO = \triangle CEO$

Bu üçbucaqların bərabərliyindən uyğun tərəflərin bərabərliyi alınır. Onda bu tərəflərin hasili də bərabər olacaq.

$AF \cdot BD \cdot CE = AE \cdot BF \cdot CD$

Deməli bu hasillərin nisbəti 1-ə bərabərdir.

$\dfrac {AF}{FB} \cdot \dfrac {BD}{DC} \cdot \dfrac {CE}{EA}=1$

Çeva teoreminə görə $AD$, $BE$ və $CF$ parçaları bir nöqtədə kəsişir və Jerqon nöqtəsi mövcuddur.

İndi keçək əsas teoremə.

Jerqon teoremi: Tutaq ki, $AD$, $BE$ və $CF$ çevianları bir nöqtədə kəsişir. Bu nöqtəni $K$ ilə işarə etsək aşağıdakı bərabərliklər doğrudur.

$1) \ \dfrac {KD}{AD} + \dfrac {KE}{BE} + \dfrac {KF}{CF} = 1 \\[15pt] 2) \ \dfrac {AK}{AD} + \dfrac {BK}{BE}+ \dfrac {CK}{CF} = 2$

Jerqon teoremi

İsbatı: Əgər biz birinci bərabərliyi isbat etsək ikinci avtomatik olaraq alınacaq. Çünki,

$\dfrac {AK}{AD} + \dfrac {KD}{AD} = \dfrac {AD}{AD} = 1\\[15pt]
\dfrac {BK}{BE} + \dfrac {KE}{BE} = 1 \\[15pt]
\dfrac {CK}{CF}+ \dfrac {KF}{CF} = 1$

Bu üç bərabərliyi toplasaq

$\dfrac {AK}{AD} + \dfrac {BK}{BE}+ \dfrac {CK}{CF} = 3- \left(\dfrac {KD}{KE} + \dfrac {KE}{BE} + \dfrac {KF}{CF}\right)$

Deməli 1-ci cəm 1-ə bərabər olsa ikinci cəm 2-yə bərabər olacaq. Ona görə birinci bərabərliyi isbat edək. $\triangle ABC$ və $\triangle AKC$-nin oturacaqları eynidir. Onda $K$ təpəsindən və $B$ təpəsindən $AC$ tərəfinə çəkilmiş hündürlüklər iki $KEE_1$ və $BEE_2$ düzbuaqlı üçbucaqları əmələ gətirəcək. Bu üçbucaqların $E$ təpəsindəki bucaqlırı eyni, $E_1$ və $E_2$ təpələrindəki bucaqları isə $90°$-dir. Deməli, birinci əlamətə görə $KEE_1 \sim BEE_2$. İndi isə hər iki üçbucağın sahə düsturlarını yazaq.

$S_{\triangle ABC} = \dfrac {AC \cdot BE_2}{2}, \ S_{\triangle AKC} = \dfrac {AC \cdot KE_1}{2}$

Onda, bu sahələrin nisbəti

$\dfrac {S_{\triangle AKC}} {S_{\triangle ABC}} = \dfrac {KE_1}{BE_2} = \dfrac {KE}{BE}$

Eynilə,

$\dfrac {S_{\triangle BKC}} {S_{\triangle ABC}} = \dfrac {KD}{AD}, \ \dfrac {S_{\triangle AKB}} {S_{\triangle ABC}} = \dfrac {KF}{CF}$

Bu sahələrin nisbətini toplasaq bizə lazım olan bərabərlik alınar.

$\dfrac {KE}{BE}+\dfrac {KD}{AD}+ \dfrac {KF}{CF} = \dfrac { S_{\triangle AKC}+ S_{\triangle BKC}+ S_{\triangle AKB}}{ S_{\triangle ABC}} = \dfrac {S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC}}=1$

Digər məqalələr

Papp teoremi
Bu teorem yunan riyaziyyatçısı İskəndəriyyəli Pappın adı ilə bağlıdır. O, bu teoremi eramızın 4-cü əsrində isbat edib. Haqqında danışılacaq teorem Pifaqor teoreminin analoqudur. Fərqi isə ondadır ki, Papp teoremi üçbucaq üzərinə heç bir məhdudiyyət qoymur.

Napoleon teoremi
Əgər ixtiyari üçbucağın tərəflərində bərabərtərəfli üçbucaqlar qursaq, onların mərkəzləri də bərabərtərəfli üçbucağın təpəsi olacaq. İlk dəfə bu teoremi Vilyam Rezerford Napoleonun ölümündən 4 il sonra çap elətdirib.

Çeva teoremi
İtalyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Covanni Çeva XVII-XVIII əsrlərdə yaşamışdır. Çeva teoremi üçbucağın təpələrindən çəkilmiş şüaların bir nöqtədə kəsişməsi üçün zəruri və kafi şərt verir.

Menelay teoremi
Tutaq ki, düz xətt ABC üçbucağını kəsir. Bu xətt AB tərəfini C1, BC tərəfini A1, AC tərəfinin uzantısını isə B1 nöqtəsində kəsirsə, AC1/C1B, BA1/A1C və CB1/B1A nisbətlərinin hasili vahidə bərabərdir. Bu şərt həm də A1, B1 və C1 nöqtələrinin bir düz xətt üzərində olması üçün kafidir.

Üçbucaq üçün Van-Obel teoremi
ABC üçbucağının daxilində O nöqtəsində kəsişən üç AA1, BB1 və CC1 çevianları üçün belə bir bərabərlik doğrudur: CO/OC1 = CA1/A1B + CB1/B1A

Üçbucaq üçün Paskal teoremi
Tutaq ki, bərabəryanlı olmayan ABC üçbucağının xaricinə çevrə çəkilib. Bu çevrəyə A, B və C nöqtələrində toxunanlar çəkilib. A’, B’ və C’ nöqtələri isə həmin toxunanların ABC üçbucağının tərəflərinin uzantıları ilə kəsişmə nöqtələridir. Onda A’, B’ və C’ nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

Apolloniy teoremi
Üçbucağın oturacağına median çəkilibsə, onun yan tərəflərinin kvadratları cəmi, medianın kvadratı ilə oturacağının yarısının kvadratı cəminin iki mislinə bərabərdir.

Qauss teoremi
Tutaq ki, düz xətt üçbucağın iki tərəfini və üçüncü tərəfin uzantısını kəsir. Onda, kəsişmə nöqtələrini qarşı təpələrlə birləşdirən parçaların orta nöqtələri bir düz xətt üzərindədir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.