Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə


Yaranma tarixi:

Fales teoremi

Teorem: Əgər bucağın tərəflərini kəsən xətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar ayırırsa, o biri tərəfində də bərabər parçalar ayırır.

Fales teoremi

İsbatı: Şəkildə paralel xətlər bucağın bir tərəfindən $A_1A_2$ və $A_2A_3$, digər tərəfindən isə $B_1B_2$ və $B_2B_3$ parçaları ayırır. $A_1A_2=A_2A_3$. İsbat edək ki, $B_1B_2=B_2B_3$.

$B_2$ təpəsindən $A_1A_3$ xəttinə paralel çəkək. Onda iki paraleloqram alınacaq. $A_1A_2B_2D$ və $A_2A_3CB_2$. Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabər olduğundan $A_1A_2=B_2D$ və $A_2A_3=CB_2$. Digər tərəfdən isə şərtə görə $A_1A_2=A_2A_3$. Aldıq ki, $DB_2=B_2C$.

Digər tərəfdən $B_1$ təpəsindəki bucaqlar qarşılıqlı bucaqlar olduğundan $\angle CB_2B_3=\angle DB_2B_1$. $\angle B_3CB_2$ və $\angle B_1DB_2$ isə çarpaz bucaqlardır. Ona görə də bərabərdirlər. Üçbucaqların bərabərliyinin ikinci əlamətinə görə $\triangle CB_2B_3=\triangle DB_2B_1$. Buradan da alınır ki, $B_1B_2=B_2B_3$.

Ümumiləşmiş Fales teoremi

Teorem: Bucağın tərəflərini kəsən paralel xətlər onları mütənasib hissələrə bölür.

Ümumiləşdirilmiş Fales teoremi

İsbatı: Şəkildə bucağın tərəflərini kəsən üç paralel xətt verilib. İsbat etməliyik ki, $\dfrac {A_1A_2}{A_1A_3} = \dfrac{B_1B_2}{B_1B_3}$.

$\dfrac {A_1A_2}{A_1A_3}$ nisbətini hər hansı $\dfrac {a}{b}; (a<b)$ kimi ifadə edək. $a$ və $b$ tam ədədlərdir, çünki $\dfrac{a}{b}$ rasional ədəddir. Xətkeş və ya başqa cihaz ilə ölçmə zamanı irrasional ədədlər alınmadığından, bu nisbətin surət və məxrəcində həmişə tam ədədlər duracaq. Bu nisbət onu göstərir ki, $A_1A_2$ parçasında $a$ qədər, $A_1A_3$ parçasında isə $b$ sayda bölgü aparmaq mümkündür. Bu bölgü nöqtələrindən $A_3B_3$ xəttinə paralel xətlər çəksək bucağın digər tərəfində də Fales teoreminə görə bərabər bölgülər alarıq. Yəni $B_1B_2$ parçasında $a$ sayda, $B_1B_3$ parçasinda isə $b$ sayda bərabər hissələr alarıq. Yəni,

$\dfrac {B_1B_2}{B_1B_3}=\dfrac {a}{b}$

Bu nisbətlə isə $\dfrac {A_1A_2}{B_1B_3}$ işarə olunmuşdu. Deməli, $\dfrac {A_1A_2}{A_1A_3} = \dfrac{a}{b} = \dfrac {B_1B_2}{B_1B_3}$.

Eynilə göstərə bilərik ki,

$\dfrac {A_2A_3}{A_1A_3} = \dfrac{b-a}{b} = \dfrac{B_2B_3}{B_1B_3}$

və yaxud,

$\dfrac{A_1A_2}{A_2A_3} = \dfrac {a}{b-a} = \dfrac {B_1B_2}{B_2B_3}$

Teorem isbat olundu.

Əks Fales teoremi

Teorem: Əgər bucağı kəsən xətlər onun təpə nöqtəsindən başlayaraq hər iki tərəfində mütənasib parçalar ayırırsa, bu xətlər paraleldir.

Tərs Fales teoremi

İsbatı: Tutaq ki, təpəsi $A$ olan bucaq iki xətlə kəsilib. Birinci xəttin bucaqla kəsişmə nöqtələrində $BC$ parçası, ikinci xəttin bucaqla kəsişmə nöqtələrində $EG$ parçası alınacaq. Bilirik ki, $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AG}{GC}$. $E$ nöqtəsindən $BC$ xəttinə paralel olan $EF$ xəttini çəkək. Fales teoreminə görə $\dfrac{AE}{EB} = \dfrac{AF}{FC}$.

Teoremin şərtinə görə isə $\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AG}{GC}$. Onda $\dfrac{AF}{FC}=\dfrac{AG}{GC}$. Hər tərəfə $1$ əlavə etsək

$\dfrac{AF}{FC} +1 = \dfrac{AG}{GC}+1 \Rightarrow \dfrac{AF+FC}{FC} = \dfrac{AG+GC}{GC} \Rightarrow \dfrac{AC}{FC} = \dfrac{AC}{GC} \Rightarrow FC=GC$.

Deməli, $F$ və $C$ nöqtələri üst-üstə düşdü. Yəni $EG$ xətti $BC$ xəttinə paralel olan $EF$ ilə üst-üstə düşür. Teorem isbat olundu.

Üçbucağın orta xətti

Üçbucağın orta xətti onun iki tərəfinin ortasından keçən xəttə deyilir.

Fales teoremindən aşağıdakı teorem alınır.

Teorem: Üçbucağın orta xətti onun üçüncü tərəfinə paralel olub onun yarısına bərabərdir.

Üçbucağın orta xətti

İsbatı: Biz, şəkildəki $FE$ parçasının $AB$ tərəfinə paralel olub bu tərəfin yarısına bərabər olduğunu isbat etməliyik. $FE$ və $AB$ xətlərinin paralelliyi yuxarıda isbat etdiyimiz Əks Fales teoremindən alınır.

İndi $E$ nöqtəsindən və $AB$ tərəfinin ortası olan $D$ nöqtəsindən xətt keçirsək eyni şərtə görə bu xətt də $AC$ xəttinə paralel olacaq. Deməli biz $ADEF$ paraleloqramı aldıq ki, paraleloqramın xassəsinə görə onun qarşı tərəfləri bərabərdir. Yəni $AD=FE$. $AD$ isə $AB$ tərəfinin yarısıdır. Teorem bütünlüklə isbat olundu.

Digər məqalələr

Kosinuslar teoremi
Üçbucağın istənilən tərəfinin kvadratı, qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin fərqinə bərabərdir.

Üçbucaq bərabərsizliyi
Üçbucağın istənilən tərəfi digər iki tərəfin cəmindən kiçikdir. Üçbucağın böyük tərəfi qarşısında böyük bucağı durur. Üçbucağın böyük bucağı qarşısında böyük tərəfi durur.

Median, tənbölən, hündürlük
Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişib bu kəsişmə nöqtəsində təpədən 2:1 nisbətində bölünür. Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişib qarşı tərəfi bitişik tərəflərlə mütənasib hissələrə bölür. Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.

Pifaqor teoremi
Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Uçbucaqların bərabərlik əlamətləri
İki tərəf və arasındakı buçağı bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir. Bir tərəf və ona söykənən bucaqları bərabər olan üçbucaqlar bərabərdir.

Üçbucaq
Üç təpəsi və üç tərəfi olan qapalı həndəsi fiqura üçbucaq deyilir. Üçbucağın təpəsini qarşı tərəfin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçasına median deyilir. Üçbucağın təpəsindən qarşı tərəfə endirilən perpendikulyara onun hündürlüyü deyilir. Üçbucağın təpə bucağını yarı bölən xəttə tənbölən deyilir.

Oxşar üçbucaqlar
Əgər bir üçbucağın iki bucağı o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə bu üçbucaqlar oxşardır. Əgər bir üçbucağın iki tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın iki tərəfi ilə mütənasib olub, bu tərəflərin əmələ gətirdiyi bucaqlar bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. Üç tərəfi mütənasib olan üçbucaqlar oxşardir.

Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Əgər çevrə üçbucağın bütün təpələrindən keçirsə, onda bu çevrə üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə adlanır. Çevrə üçbucağın bütün tərəflərinə toxunursa, onda ona üçbucaq daxilin çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən üçbucağın xaricinə və daxilinə yeganə çevrə çəkmək olar.

Sinuslar teoremi
Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Üçbucağın bucaqlarının cəmi
Üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Üçbucağın xarici bucağı onunla qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir.

Üçbucaqların həlli
Üçbucağın həlli dedikdə verilmiş 3 element vasitəsilə onun bütün tərəflərinin və bucaqlarının tapılması nəzərdə tutulur. Bu məsələni üç halda araşdıracağıq.

Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Düzbucaqlı üçbucaq
Bucaqlardan biri 90° olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Düzbucaqlı üçbucaqda 30°-li bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir. Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük onu iki oxşar üçbucağa ayırır.

Bucaqlar
Müstəvidə bir nöqtədən çıxan iki şüanın əmələ gətirdiyi fiqura bucaq deyilir. Həmin nöqtəyə bucağın təpəsi, şüalara isə tərəfləri deyilir. Bucaqları dərəcə və ya radianla ölçürlər.

İkiqat və üşqat bucağın triqonometrik funsiyaları
sin(2x), cos(2x), tg(2x), ctg(2x), sin(3x), cos(3x), tg(3x), ctg(3x) ikiqat və üçqat bucaqların triqonometrik düsturlarını çıxarmaq üçün cəmin triqonometrik funksiya düsturlarından istifadə edəcəyik.

Daxilə çəkilmiş və mərkəzi bucaqlar
Təpəsi çevrənin mərkəzində olan bucağa mərkəzi bucaq deyilir. Təpəsi çevrə üzərində olub tərəfləri çevrənin tərəflərini kəsən bucağa daxili bucaq deyilir. Daxili bucaq söykəndiyi qövsün yarısı ilə ölçülür.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.