Naviqator


Arxiv

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201943

Yaranma tarixi:

Ədədin qüvvəti


ədədlər qüvvət

 

Əgər ədədi özü-özünə dəfələrlə vururuqsa bunu işarə etmək üçün daha qısa yazılış növü var. Belə ki, $5$ ədədini $4$ dəfə özü-özünə vurmaq üçün $5^4$ yazılışı var.

$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$

Bu zaman $5$ ədədi əsas, $4$ isə qüvvət üstüdür.

Ümumi şəkildə $p$ ədədinin $k$-cı qüvvəti $p^k$ kimi göstərilir. Burada $p$ əsas, $k$ isə qüvvət üstüdür. Aşağıdakı mülahizələrdə bəzi yerlərdə “qüvvət üstü” əvəzinə “qüvvət dərəcəsi” terminini işlədəcəyik.

$p$ ədədinin $1$-ci dərəcədən qüvvəti elə $p$ ədədidir.

$p^1 = p$

Məsələn, $5^1=5$

Asanlıqla görmək olar ki, aşağıdakı bərabərliklər doğrudur.

$2^2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) = (2 \cdot 3)^2 \\
5^1 \cdot 6^1 = 5 \cdot 6 = (5 \cdot 6)^1$

Bu bərabərlikləri davan etdirsək qüvvət üçün aşağıdakı xassəni alarıq.

Xassə 1: Müxtəlif ədədlərin eyni üstlü qüvvəti hasili, həmin hasilin eyni dərəcədən qüvvətinə bərabərdir.

$p^n \cdot q^n = (p \cdot q)^n$

Həmçinin qüvvətin belə bir xassəsi də var.

$5^2 \cdot 5^3 = (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^5 = 5^{2+3} \\
5 \cdot 5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3 = 5^{1+2}$

Bu bərabərliklər bizə aşağıdakı xassəni verir.

Xassə 2: Eyni əsasdan olan qüvvətlərin hasili, əsası həmin olub, üstü isə üstlərin cəminə bərabər olan ədədə bərabərdir.

$p^n \cdot p^m = p^{n+m}$

Nəhayət aşağıdakı bərabərliklərə nəzər salaq.

$(7^3)^2 = (7 \cdot 7 \cdot 7) \cdot (7 \cdot 7 \cdot 7) = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^6=7^{3 \cdot 2}$
$(2^4)^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8 = 2^{4 \cdot 2}$

Bunu da ümumiləşdirərək aşağıdakı xassələri alarıq.

Xassə 3: Ədədin qüvvətinin qüvvəti həmin ədədin bu üstlərin hasilinə bərabər dərəcədən qüvvətidir.

$(p^m)^n = p^{m \cdot n}$

$0$ ədədinin istənilən ədədə, o cümlədən özünə hasili həmişə $0$ olur. Ona görə

$0^n = 0, \ n>0$

Əgər $m$ və $n$ natural ədədlərdirsə və m>n olarsa, istənilən $d$ ədədi üçün aşağıdakı xassə doğrudur.

Xassə 4: Eyni əsaslı müxtəlif üstlü qüvvətlərin nisbəti həmin əsasdan bu üstlərin fərqinin qüvvətinə bərabərdir.

$a^m : a^n = a^{m-n}$

Bunu isbat etmək üçün $a^{m-n} \cdot a^n = a^{m-n+n} = a^m$ olduğunu göstərmək kifayətdir.

Bu vaxta qədər yalnız natural qüvvətlərə baxdıq. İndi təsəvvür edin ki, qüvvət kimi $0$ verilib. $a^0$ nə olduğunu tapaq.

$2^5 : 2^3 = 2^{5-3} = 2^2$

Bəs aşağıdakı ifadə nə deməkdir?

$5^4:5^4 = 5^{4-4}=5^0$

Aydındır ki, $5^4:5^4$ həmişə $1$-ə bərabərdir. Deməli, $5^0=1$. Amma məntiqə görə $a^0$ dedikdə $a$ ədədini özünə $0$ dəfə vurmalıyıq . Bu isə mümkün deyil. Digər tərəfdən

$a^n \cdot a^0 = a^{n+0} = a^n \Rightarrow a^n : a^n = 1 \ (a \neq 0)$

Ona görə $a^0 = 1$ qəbul etmək bizə rahatdır. $a=0$ olarsa $0^0$ riyazi nöqteyi-nəzərdən məna kəsb etmir.

Qüvvətin sonuncu rəqəmi

$2^n$ ədədinin $n$ dəyişərkən sonuncu rəqəminin dəyişməsinə baxaq.

$2^1 = 2, \ 2^2 =4, \ 2^3 = 8, \ 2^4 = 16, \\
2^5 = 32, \ 2^6=64, \ 2^7=128, \ 2^8=256 \\
2^9=512, \ 2^{10}=1024, \ 2^{11}=2048, \ 2^{12}=4096$

Görünür ki, $n$ artdıqca hər 4 addımdan bir sonuncu rəqəm təkrar olunur. Onda $2^{100}$ ədədinin sonuncu rəqəmini tapmaq çətin deyil. Görürük ki, yuxarıdakı ardıcıllığı davam etdirsək $100$ ədədi $4$-ə bölündüyü üçün bu ədəd $2^4$, $2^8$, $2^{12}$ kimi olacaq, yəni son rəqəmi $6$ olacaq.

Ümumiləşdirərək qüvvət dərəcəsini $4$-ə bölünməsinə görə dörd qrupa ayırmaq olar:

Onda $2^{201}$ ədədinin üstünü, yəni $201$-i $4$-ə bölsək qalıqda $1$ qaldığı üçün bu ədədin qüvvətinin son rəqəmi $2$ olacaq.

Qeyd: Məqalədə aşağıdakı mənbələrdən istifadə olunub:
С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин Алгебра 7 класс
А.Г. Мордкович Алгебра 7 класс
Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева Алгебра 7 класс

Məsələ

Əvvəlcə özünüz həll etməyə çalışın

Məsələ 1: $3^{120}$ ədədinin sonuncu rəqəmini tapın.

Digər məqalələr

Natural ədədlərin vuruqlara ayrılması

Əgər ədədin böləni sadə ədəddirsə, ona “sadə bölən” deyilir. Məsələn, 12 ədədinin 2 və 3 kimi sadə bölənləri var. İstənilən mürəkkəb natural ədədi onun sadə bölənlərinin qüvvətlərinin hasili şəklində göstərmək olar.

Natural ədədlər

Əşyaları sayarkən istifadə etdiyimiz ədədlərə natural ədədlər deyilir. 1, 2, 3, ... ədədlərinin hamısı natural ədədlərdir. Bu ədədləri müsbət tam ədədlər də adlandırırlar. Sıfır (0) isə natural ədəd deyil.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.