Naviqator


Arxiv

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201955
20234

Yaranma tarixi:

Son düzəliş: 20 May, 2023

Düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr


çevrə çoxbucaqlı

 

Düzgün çoxbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrə

Əgər çoxbucaqlının bütün təpələri çevrə üzərindədirsə, bu çevrəyə çoxbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrə, çoxbucaqlıya isə çevrə daxilinə çəkilmiş çoxbucaqlı deyilir.

Teorem: İstənilən düzgün çoxbucaqlının xaricinə çevrə çəkmək olar və bu çevrə yeganədir.

Düzgün çoxbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrə

İsbatı: Tutaq ki, $A_1A_2...A_n$ düzgün çoxbucaqlıdır. $A_1$ və $A_2$ bucaqlarının tənbölənlərinin kəsişmə nöqtəsini $O$ ilə işarə edək. Həmin nöqtəni bütün təpələrlə birləşdirib $OA_1=OA_2=...=OA_n$ olduğunu göstərsək teoremi isbat etmiş olarıq. $\angle A_1 =\angle A_2$ olduğundan $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1$. Deməli, $\triangle A_1OA_2$ bərabəryanlıdır və $OA_1=OA_2$. Eynilə $\triangle A_2OA_3$- ün bərabəryanlı olmasından $OA_2=OA_3$ alınır. Bu qayda ilə $OA_1=OA_2=...=OA_n$ isbat edilir.

İndi bu xaricə çəkilmiş çevrənin yeganəliyini isbat edək. Çoxbucaqlının istənilən 3 nöqtəsini birləşdirsək üçbucaq alarıq. Üçbucağın isə xaricinə yalnız bir çevrə çəkmək olar. Deməli çoxbucaqlının da xaricinə ən çoxu bir çevrə çəkmək olar. Bununla yeganəlik də isbat olundu.

Düzgün çoxbucaqlının daxilinə çəkilmiş çevrə

Əgər çoxbucaqlının bütün tərəfləri çevrəyə toxunursa, bu çevrəyə çoxbucaqlı daxilinə çəkilmiş çevrə, çoxbucaqlıya isə çevrə xaricinə çəkilmiş çoxbucaqlı deyilir.

Teorem: İstənilən düzgün çoxbucaqlının daxilinə çevrə çəkmək olar və bu çevrə yeganədir.

Düzgün çoxbucaqlının daxilinə çəkilmiş çevrə

İsbatı: Əvvəlki teoremin isbatında olduğu kimi, bu düzgün çoxbucaqlının əvvəl xaricinə çevrə çəkək və onun $O$ mərkəzini qeyd edək. Artıq isbat etmişik ki, $OA_1=OA_2=...=OA_n$. Çoxbucaqlının düzgün olmasından $A_1A_2=A_2A_3 =...=A_nA_1$. Deməli III əlamətə görə $\triangle A_1OA_2=\triangle A_2OA_3=...=\triangle A_nOA_1$. Üçbucaqların bərabərliyindən alırıq ki, onların hündürlükləri də bərabərdir. $OH_1=OH_2=…=OH_n$. Yəni, mərkəzi $O$ nöqtəsində, radiusu $OH_1$ olan çevrə bu çoxbucaqlının bütün tərəflərinə toxunur.

Göstərək ki, bu daxilə çəkilmiş çevrə yeganədir. Qəbul edək ki, mərkəzi $O_1$ nöqtəsində olan digər çevrə də mövcuddur. Bu o deməkdir ki, çevrənin $O_1$ mərkəzi bütün tərəflərdən eyni məsafədədir və $O_1$ nöqtəsindən bütün tərəflərə endirilmiş perpendikulyarlar bərabər olmalıdır. Düz xətt üzərində olmayan nöqtədən bu düz xəttə yeganə perpendikulyar çəkmək olar. Ona görə $O_1$ nöqtəsindən hər tərəfə çəkilən perpendikulyar uyğun olaraq $OH_1$, $OH_2$, …, $OH_n$ xətləri ilə üst-üstə düşəcək. Deməli, $O_1$ nöqtəsi də $OH_1$, $OH_2$, ..., $OH_n$ düz xətləri üzərində olacaq. Yəni $O_1$ nöqtəsi bu düz xətlərin kəsişmə nöqtəsindədir və $O$ nöqtəsi ilə eynidir.

Nəticə1: Düzgün çoxbucaqlının daxilinə çəkilmiş çevrə onun tərəflərinə bu tərəflərin mərkəzində toxunur.

Nəticə2: Düzgün çoxbucaqlının daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələrin mərkəzləri eynidir. Bu nöqtəyə düzgün çoxbucaqlının mərkəzi deyilir.

Düzgün çoxbucaqlının sahəsi

Tutaq ki, düzgün çoxbucaqlının tərəfi $a_n$, perimetri isə $P$-dir. Daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu $r$, xaricə çəkilmiş çevrənin isə radiusu $R$ olsun. Çoxbucaqlının $S$ sahəsini tapaq. Bu çoxbucaqlı $n$ sayda üçbucaqlara bölünüb. Hər üçbucağın sahəsi $\dfrac{1}{2}a_nr$-dir. Üçbucaqların sayı $n$ olduğu üçün

$S=n\cdot \dfrac{1}{2}a_nr=\dfrac{1}{2}(na_n)r=\dfrac{1}{2}Pr$

Lazım gələrsə $a_n$ tərəfini də $R$ vasitəsilə tapmaq olar. Üçbucaqların təpə bucaqları $\dfrac{360°}{n}$ olduğu üçün bu bucağın yarısı $\dfrac{180°}{n}$ olacaq. Deməli,

$a_n = 2 R \ sin \dfrac{180°}{n}$, və ya $a_n=2 r \ tg \dfrac{180°}{n}$

Bu iki düsturu bərabərləşdirib $r$ radiusunu $R$ ilə ifadə etmək olar.

$2r \ tg \dfrac{180°}{n} = 2R \ sin \dfrac{180°}{n} \Rightarrow \\[15pt]
r = R \dfrac{sin \frac{180°}{n}}{tg \frac{180°}{n}} = R \ cos \dfrac{180°}{n}$

Deməli düzgün çoxbucaqlının daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələrin radiusları aşağıdakı kimi münasibətdədirlər

$r=R \ cos \dfrac{180°}{n}, \ R= r \ sec \dfrac{180°}{n}$

Bütün bunları nəzərə alsaq düzgün çoxbucaqlı üçün sahə düsturunu təkcə daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu, təkcə xaricə çəkilmiş çevrənin radiusu və təkcə tərəf vasitəsilə belə ifadə etmək olar. Hər üç ifadəni birinci düsturdan alacağıq:

$S=\dfrac{n a_nr}{2}=\dfrac{nr}{2} \cdot 2 r \ tg \dfrac{180°}{n} = n r^2 \ tg \dfrac{180°}{n} $

$S=\dfrac{n a_nr}{2}=\dfrac{nr}{2} \cdot 2R \ sin \dfrac{180°}{n} = \\[15pt] =\dfrac{n}{2} \cdot 2R \ sin \dfrac{180°}{n} \cdot R \ cos \dfrac{180°}{n} = \dfrac{nR^2}{2} sin \dfrac{360°}{n}$

$S=\dfrac{n a_nr}{2}=\dfrac{na_n}{2} \cdot \dfrac{a_n}{2 \ tg \dfrac{180°}{n}} = \dfrac{n a_n^2}{4} \ ctg \dfrac{180°}{n} $

İndi isə bu düsturları xüsusi halda düzgün üçbucaq, kvadrat, düzgün 6-bucaqlı, 8-bucaqlı, 10-bucaqlı və 12-bucaqlı üçün yazaq.

Düzgün üçbucaq halında:

$a=2r \sqrt{3}, \ a=R \sqrt{3} $

$ r=\dfrac{a \sqrt{3}}{6} ,\ R=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$

$S=r^2 3\sqrt{3}, \ $ $S=\dfrac{R^2 3\sqrt{3}}{4}, \ $ $S=\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Kvadrat halında:

$a=2r, \ a=R \sqrt{2} $

$ r=\dfrac{a}{2} ,\ $ $R=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$

$ S=4r^2 , \ $ $S=2R^2, \ $ $S=a^2$

Düzgün 6-bucaqlı halı üçün:

$a=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}r, \ a=R $

$ r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} ,\ $ $R=a$

$ S=r^2 2 \sqrt{3}, \ $ $S=\dfrac{R^2 3 \sqrt{3}}{2},\ $ $S=\dfrac{a^2 3\sqrt{3}}{2}$

Düzgün 8-bucaqlı halı üçün nəzərə alsaq ki, $sin\dfrac{180°}{8} = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$, $cos\dfrac{180°}{8} = \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$, $tg\dfrac{180°}{8} = \sqrt{2}-1$, $ctg\dfrac{180°}{8} = \sqrt{2}+1$:

$a=2r(\sqrt{2}-1), \ a=R \sqrt{2-\sqrt{2}}$

$ r= \dfrac{a(\sqrt{2}+1)}{2} ,\ R=\dfrac{a \sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}$

$ S=r^2 8 (\sqrt{2}-1), \ $ $S=R^2 2 \sqrt{2},\ $ $S=a^2 2 (\sqrt{2}+1)$

Düzgün 10-bucaqlı halı üçün nəzərə alsaq ki, $sin (18°) = \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$, $cos (18°)= \dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$, $tg (18°) = \dfrac{\sqrt{25-10\sqrt{5}}}{5}$, $ctg (18°) = \sqrt{5+2\sqrt{5}}$:

$a=\dfrac{2r}{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}, \ a=\dfrac{2R}{ \sqrt{5}+1}$

$r= \dfrac{a\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2} ,\ R=\dfrac{a (\sqrt{5}+1)}{2}$

$S=r^2 2 \sqrt{25-10\sqrt{5}},\ $ $S=\dfrac{R^2 5 \sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4},\ $ $S=\dfrac{a^2 5\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}$

Düzgün 12-bucaqlı halı üçün nəzərə alsaq ki, $sin (15°) = \dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$, $cos (15°)= \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$, $tg (15°) = 2-\sqrt{3}$, $ctg (15°) = 2+\sqrt{3}$:

$a=2r(2-\sqrt{3})=\dfrac{2r}{2+\sqrt{3}}, \ a=R\sqrt{2-\sqrt{3}}$

$r= \dfrac{a}{2 (2-\sqrt{3})}=\dfrac{a(2+\sqrt{3})}{2} $, $R=\dfrac{a}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}=a\sqrt{2+\sqrt{3}}$

$S=r^2 12 (2-\sqrt{3}),\ $ $S=3R^2,\ $ $S=a^2 3(2+\sqrt{3})$

Digər məqalələr

Çevrə və bucaqların 6 xassəsi

Kəsişən vətərlər arasındakı bucaq həmin bucağın tərəfləri arasında qalan qövslərin ölçüləri cəminin yarısına bərabərdir. Çevrəni kəsən iki düz xətt arasındakı bucaq, həmin bucağın kəsişmədə əmələ gətirdiyi böyük qövs ilə kiçik qövsün fərqinin yarısına bərabərdir.

Kəpənək teoremi

Tutaq ki, M nöqtəsi çevrənin PQ vətərinin orta nöqtəsidir. Həmin M nöqtəsindən iki AB və CD vətərləri çəkək. AD parçasının PQ vətərini kəsən nöqtəni X, BC parçasının PQ vətərini kəsən nöqtəni Y ilə işarə edək. Onda M nöqtəsi XY parçasının da orta nöqtəsi olacaq.

Çevrəyə toxunan

Əgər çevrə və düz xəttin yalnız bir orta nöqtəsi varsa bu düz xəttə çevrəyə toxunan deyilir.Çevrəyə toxunan, toxunma nöqtəsindən çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.

Çevrə və Dairə

Müstəvidə verilmiş nöqtədən eyni məsafədə olan nöqtələrin əmələ gətirdiyi həndəsi fiqura çevrə deyilir. Müstəvinin çevrə ilə məhdudlaşmış hissəsinə dairə edilir.

Çevrənin və düz xəttin tənliyi

Əgər müstəvidə verilmiş fiqurun istənilən nöqtəsinin (x; y) koordinatları verilmiş tənliyi ödəyirsə bu tənliyə həmin fiqurun tənliyi deyilir. Düz xəttin tənliyi ax+by+c=0 kimidir.

Çevrə uzunluğu və dairənin sahəsi

Çevrə uzunluğunu və dairənin sahəsini tapmaq üçün onun daxilinə və xaricinə düzgün 6-bucaqlı çəkək. Daxilə çəkilmiş 6-bucaqlının perimetri p, sahəsi isə s, xaricə çəkilmiş 6-bucaqlını perimetri P, sahəsi isə S olsun.

Çevrə vətərinin 9 xassəsi

Çevrənin mərkəzindən eyni məsafədə olan vətərlər bərabərdir. Əgər vətərlər bərabər mərkəzi bucaqlar qarşısındadırsa onlar bərabərdir. Əgər diametr vətərə perpendikulyardırsa onun mərkəzindən keçir. Eyni vətərə eyni tərəfdən söykənən daxili bucaqlar bərabər, müxtəlif tərəflərdən söykənən bucaqların cəmi 180°-yə bərabərdir.

Daxilə çəkilmiş və mərkəzi bucaqlar

Təpəsi çevrənin mərkəzində olan bucağa mərkəzi bucaq deyilir. Təpəsi çevrə üzərində olub tərəfləri çevrənin tərəflərini kəsən bucağa daxili bucaq deyilir. Daxili bucaq söykəndiyi qövsün yarısı ilə ölçülür.

Çoxbucaqlı

Qonşu tərəfləri bir düz xətt üzərində olmayan və qonşu olmayan tərəfləri ümumi nöqtəyə malik olmayam qapalı fiqura çoxbucaqlı deyilir. Əgər çoxbucaqlı istənilən tərəfdən keçən xəttə nəzərən bütünlüklə bir yarımmüstəvidə yerləşirsə, ona qabarıq çoxbucaqlı deyilir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.