Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Çevrə və Dairə


Yaranma tarixi:

Düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr

Düzgün çoxbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrə

Əgər çoxbucaqlının bütün təpələri çevrə üzərindədirsə, bu çevrəyə çoxbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrə, çoxbucaqlıya isə çevrə daxilinə çəkilmiş çoxbucaqlı deyilir.

Teorem: İstənilən düzgün çoxbucaqlının xaricinə çevrə çəkmək olar və bu çevrə yeganədir.

Düzgün çoxbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrə

İsbatı: Tutaq ki, $A_1A_2...A_n$ düzgün çoxbucaqlıdır. $A_1$ və $A_2$ bucaqlarının tənbölənlərinin kəsişmə nöqtəsini $O$ ilə işarə edək. Həmin nöqtəni bütün təpələrlə birləşdirib $OA_1=OA_2=...=OA_n$ olduğunu göstərsək teoremi isbat etmiş olarıq. $\angle A_1 =\angle A_2$ olduğundan $\angle OA_1A_2 = \angle OA_2A_1$. Deməli, $\triangle A_1OA_2$ bərabəryanlıdır və $OA_1=OA_2$. Eynilə $\triangle A_2OA_3$- ün bərabəryanlı olmasından $OA_2=OA_3$ alınır. Bu qayda ilə $OA_1=OA_2=...=OA_n$ isbat edilir.

İndi bu xaricə çəkilmiş çevrənin yeganəliyini isbat edək. Çoxbucaqlının istənilən 3 nöqtəsini birləşdirsək üçbucaq alarıq. Üçbucağın isə xaricinə yalnız bir çevrə çəkmək olar. Deməli çoxbucaqlının da xaricinə ən çoxu bir çevrə çəkmək olar. Bununla yeganəlik də isbat olundu.

Düzgün çoxbucaqlının daxilinə çəkilmiş çevrə

Əgər çoxbucaqlının bütün tərəfləri çevrəyə toxunursa, bu çevrəyə çoxbucaqlı daxilinə çəkilmiş çevrə, çoxbucaqlıya isə çevrə xaricinə çəkilmiş çoxbucaqlı deyilir.

Teorem: İstənilən düzgün çoxbucaqlının daxilinə çevrə çəkmək olar və bu çevrə yeganədir.

Düzgün çoxbucaqlının daxilinə çəkilmiş çevrə

İsbatı: Əvvəlki teoremin isbatında olduğu kimi, bu düzgün çoxbucaqlının əvvəl xaricinə çevrə çəkək və onun $O$ mərkəzini qeyd edək. Artıq isbat etmişik ki, $OA_1=OA_2=...=OA_n$. Çoxbucaqlının düzgün olmasından $A_1A_2=A_2A_3 =...=A_nA_1$. Deməli III əlamətə görə $\triangle A_1OA_2=\triangle A_2OA_3=...=\triangle A_nOA_1$. Üçbucaqların bərabərliyindən alırıq ki, onların hündürlükləri də bərabərdir. $OH_1=OH_2=…=OH_n$. Yəni, mərkəzi $O$ nöqtəsində, radiusu $OH_1$ olan çevrə bu çoxbucaqlının bütün tərəflərinə toxunur.

Göstərək ki, bu daxilə çəkilmiş çevrə yeganədir. Qəbul edək ki, mərkəzi $O_1$ nöqtəsində olan digər çevrə də mövcuddur. Bu o deməkdir ki, çevrənin $O_1$ mərkəzi bütün tərəflərdən eyni məsafədədir və $O_1$ nöqtəsindən bütün tərəflərə endirilmiş perpendikulyarlar bərabər olmalıdır. Düz xətt üzərində olmayan nöqtədən bu düz xəttə yeganə perpendikulyar çəkmək olar. Ona görə $O_1$ nöqtəsindən hər tərəfə çəkilən perpendikulyar uyğun olaraq $OH_1$, $OH_2$, …, $OH_n$ xətləri ilə üst-üstə düşəcək. Deməli, $O_1$ nöqtəsi də $OH_1$, $OH_2$, ..., $OH_n$ düz xətləri üzərində olacaq. Yəni $O_1$ nöqtəsi bu düz xətlərin kəsişmə nöqtəsindədir və $O$ nöqtəsi ilə eynidir.

Nəticə1: Düzgün çoxbucaqlının daxilinə çəkilmiş çevrə onun tərəflərinə bu tərəflərin mərkəzində toxunur.

Nəticə2: Düzgün çoxbucaqlının daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələrin mərkəzləri eynidir. Bu nöqtəyə düzgün çoxbucaqlının mərkəzi deyilir.

Düzgün çoxbucaqlının sahəsi

Tutaq ki, düzgün çoxbucaqlının tərəfi $a_n$, perimetri isə $P$-dir. Daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu $r$, xaricə çəkilmiş çevrənin isə radiusu $R$ olsun. Çoxbucaqlının $S$ sahəsini tapaq. Bu çoxbucaqlı $n$ sayda üçbucaqlara bölünüb. Hər üçbucağın sahəsi $\dfrac{1}{2}a_nr$-dir. Üçbucaqların sayı $n$ olduğu üçün

$S=n\cdot \dfrac{1}{2}a_nr=\dfrac{1}{2}(na_n)r=\dfrac{1}{2}Pr$

Lazım gələrsə $a_n$ tərəfini də $R$ vasitəsilə tapmaq olar. Üçbucaqların təpə bucaqları $\dfrac{360°}{n}$ olduğu üçün bu bucağın yarısı $\dfrac{180°}{n}$ olacaq. Deməli,

$a_n = 2 R \ sin \dfrac{180°}{n}$, və ya
$a_n=2 r \ tg \dfrac{180°}{n}$

Bu iki düsturu bərabərləşdirib $r$ radiusunu $R$ ilə ifadə etmək olar.

$2r \ tg \dfrac{180°}{n} = 2R \ sin \dfrac{180°}{n} \Rightarrow \\[15pt]
r = R \dfrac{sin \frac{180°}{n}}{tg \frac{180°}{n}} = R \ cos \dfrac{180°}{n}$

Deməli düzgün çoxbucaqlının daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələrin radiusları aşağıdakı kimi münasibətdədirlər

$r=R \ cos \dfrac{180°}{n}, \ R= r \ sec \dfrac{180°}{n}$

Digər məqalələr

Ptolemey teoremi
Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının diaqonallarının hasili qarşı tərəflərin hasilləri cəminə bərabərdir.

Dördbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Çevrə daxilinə çəkilmiş istənilən dördbucaqlının qarşı bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Çevrə xaricinə çəkilmiş istənilən dördbucaqlının qarşı tərəflərinin cəmi bərabərdir.

Çevrə və bucaqların 6 xassəsi
Kəsişən vətərlər arasındakı bucaq həmin bucağın tərəfləri arasında qalan qövslərin ölçüləri cəminin yarısına bərabərdir. Çevrəni kəsən iki düz xətt arasındakı bucaq, həmin bucağın kəsişmədə əmələ gətirdiyi böyük qövs ilə kiçik qövsün fərqinin yarısına bərabərdir.

Çevrə və Dairə
Müstəvidə verilmiş nöqtədən eyni məsafədə olan nöqtələrin əmələ gətirdiyi həndəsi fiqura çevrə deyilir. Müstəvinin çevrə ilə məhdudlaşmış hissəsinə dairə edilir.

Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələr
Əgər çevrə üçbucağın bütün təpələrindən keçirsə, onda bu çevrə üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə adlanır. Çevrə üçbucağın bütün tərəflərinə toxunursa, onda ona üçbucaq daxilin çəkilmiş çevrə deyilir. İstənilən üçbucağın xaricinə və daxilinə yeganə çevrə çəkmək olar.

Çevrənin və düz xəttin tənliyi
Əgər müstəvidə verilmiş fiqurun istənilən nöqtəsinin (x; y) koordinatları verilmiş tənliyi ödəyirsə bu tənliyə həmin fiqurun tənliyi deyilir. Düz xəttin tənliyi ax+by+c=0 kimidir.

Daxilə çəkilmiş və mərkəzi bucaqlar
Təpəsi çevrənin mərkəzində olan bucağa mərkəzi bucaq deyilir. Təpəsi çevrə üzərində olub tərəfləri çevrənin tərəflərini kəsən bucağa daxili bucaq deyilir. Daxili bucaq söykəndiyi qövsün yarısı ilə ölçülür.

Çevrəyə toxunan
Əgər çevrə və düz xəttin yalnız bir orta nöqtəsi varsa bu düz xəttə çevrəyə toxunan deyilir.Çevrəyə toxunan, toxunma nöqtəsindən çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.

Çevrə uzunluğu və dairənin sahəsi
Çevrə uzunluğunu və dairənin sahəsini tapmaq üçün onun daxilinə və xaricinə düzgün 6-bucaqlı çəkək. Daxilə çəkilmiş 6-bucaqlının perimetri p, sahəsi isə s, xaricə çəkilmiş 6-bucaqlını perimetri P, sahəsi isə S olsun.

Çoxbucaqlı
Qonşu tərəfləri bir düz xətt üzərində olmayan və qonşu olmayan tərəfləri ümumi nöqtəyə malik olmayam qapalı fiqura çoxbucaqlı deyilir. Əgər çoxbucaqlı istənilən tərəfdən keçən xəttə nəzərən bütünlüklə bir yarımmüstəvidə yerləşirsə, ona qabarıq çoxbucaqlı deyilir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.