Naviqator


Arxiv

201139
201230
201312
20151
201633
201755
201865
201943

Yaranma tarixi:

Düzbucaqlı üçbucağın xassələri


üçbucaq xassə

 

Düzbucaqlı üçbucağa xas olan bir-neçə xassəni isbat etməyə çalışaq. Ona görə əvvəlcə bizə məlum olan teorem və tərifləri xatırladaq. Çünki bu faktların vasitəsilə düzbucaqlı üçbucağı həll edəcəyik. Tutaq ki, düzbucaqlı üçbucaq şəkildəki kimi olub katetləri $a$ və $b$, hipotenuzu isə $c$-dir. $a$ kateti qarşısındakı bucaq $\alpha$, $b$ kateti qarşısındakı bucaq $\beta$ ilə işarə edilib. Düz bucaq təpəsindən hündürlük endirilib.

Düzbucaqlı üçbucaq

Xassə 1: Düzbucaqlı üçbucaqların həllində Pifaqor teoremini sözsüz ki, ən vacib fakt kimi birinci qeyd etmək lazımdır. Bu teoremin isbatına burada baxa bilərsiniz.

$c^2 = a^2 + b^2$

Xassə 2: Sinus və kosinusun tərifinə görə düzbucaqlı üçbucağı aşağıdakı düsturlarla həll etmək olar.

$c=\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta} = \dfrac{a}{\cos \beta} = \dfrac{b}{\cos \alpha} = \sqrt {a^2+b^2}\\[15pt]
b=c \cdot \cos \alpha = c\cdot \sin \beta = a \cdot \mbox{tg} \beta = a \cdot \mbox{ctg} \alpha\\
a=c \cdot \sin \alpha = c\cdot \cos \beta = b \cdot \mbox{tg} \alpha = b \cdot \mbox{ctg} \beta $

Xassə 3: Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən endirilmiş hündürlüyü onu iki oxşar üçbucağa bölür. Bu üçbucaqlarla əsas üçbucağın perimetrləri, medianları, hündürlükləri, tənbölənləri, daxilə və xaricə çəkilmiş çevrələri arasında aşağıdakı qanunauyğunluq var.

$l_{ABC} = l_{CBD}^2 + l_{ACD}^2$

Burada $l$ yuxarıda adları çəkilən xətti elementlərdən hər biri ola bilər.

İsbatı: Alınan düzbucaqlı üçbucaqların ilkin verilən üçbucağa oxşarlığı birbaşa olaraq üçbucaqların oxşarlığının birinci əlamətindən çıxır. Ona görə birbaşa keçək teoremin ikinci hissəsinə. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi,

$c^2 = a^2+b^2$

$c$ əsas üçbucağın hipotenuzu, $a$ və $b$ isə bu üçbucağın katetləri olmaqla yanaşı, həm də uyğun olaraq $\triangle CBD$ və $\triangle ACD$-nin hipotenuzlarıdır. Oxşar üçbucaqların xassələrini yada salsaq ixtiyari xətti element üçün

$\dfrac{a}{l_{CBD}} = \dfrac{c}{l_{ABC}} \Rightarrow a=\dfrac{c}{l_{ABC}} \cdot l_{CBD}\\[15pt]
\dfrac{b}{l_{ACD}} = \dfrac{c}{l_{ABC}} \Rightarrow b=\dfrac{c}{l_{ABC}} \cdot l_{ACD}$

Bunları Pifaqor teoremində yerinə yazsaq:

$c^2 = \dfrac{c^2}{l_{ABC}^2} \left( l_{CBD}^2 + l_{ACD} ^2 \right) \Rightarrow l_{ABC} = l_{CBD}^2 + l_{ACD}^2$

Xassə 4: Düz bucaq təpəsindən çəkilmiş hündürlük hipotenuzu $c_a$ və $c_b$ parçalarına bölür ki, bu parçalara katetlərin hipotenuz üzərində proyeksiyaları deyilir. Həmin proyeksiyalar üçün aşağıdakı bərabərliklər doğrudur.

$c_a = \dfrac{a^2}{c}, \ c_b = \dfrac{b^2}{c}$

İsbatı: Bu xassənin isbatı birbaşa olaraq alınan $ABC$ və $CBD$ üçbucaqlarının oxşarlığından çıxır.

$\dfrac{a}{c_a} = \dfrac{c}{a} \Rightarrow c_a = \dfrac{a^2}{c}$

Eynilə $\triangle ABC \sim \triangle ACD$ olduğundan

$\dfrac{b}{c_b} = \dfrac{c}{b} \Rightarrow c_b = \dfrac{b^2}{c}$

Xassə 5: Düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük, katetlərin hipotenuz üzərindəki proyeksiyalarının həndəsi ortasına bərabərdir.

$h=\sqrt{c_a \cdot c_b}$

İsbatı: Hündürlüyü $\triangle BCD$-dən $\beta$ bucağının tangensi vasitəsilə ifadə edək.

$h=c_a \cdot \mbox{tg} \beta$

Həmin hündürlüyü $\triangle ACD$-dən $\alpha$ bucağının tangensi ilə ifadə edək.

$h=c_b \cdot \mbox{tg} \alpha$

Bu iki bərabərliyi bir-birinə vursaq,

$h^2 = c_a \cdot c_b \cdot \mbox{tg} \alpha \cdot \mbox {tg} \beta$

$\alpha + \beta = \dfrac{\pi}{2}$ olduğu üçün tangens funksiyasının çevrilməsi düsturuna görə

$h^2 = c_a \cdot c_b \cdot \mbox{tg} \alpha \cdot \mbox {tg} \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha \right)=\\[15pt]
= c_a \cdot c_b \cdot \mbox{tg} \alpha \cdot \mbox {ctg} \alpha = c_a c_b\\[15pt]
h=\sqrt {c_a \cdot c_b}$

Xassə 6: Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən çəkilən median hipotenuzun yarısına bərabərdir. Bu medianın oturacağı üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi, uzunluğu bu çevrənin radiusu, hipotenuzu isə diametridir.

Bu xassə teorem şəklində "Üçbucaq xaricinə çəkilmiş çevrə" məqaləsində isbat edilib.

Xassə 7: Düzbucaqlı üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu onun katetlərinin cəmi ilə hipotenuzun fərqinin yarısına bərabərdir.

$r=\dfrac{a+b-c}{2}$

İsbatı: Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi üçün isbat etdiyimiz düstura görə,

$S=r \cdot (r+c)$

Digər tərəfdən ixtiyarı üçbucağın sahəsi onun daxilinə çəkilmiş çevrə ilə belə ifadə olunur.

$S=r \cdot \dfrac{a+b+c}{2}$

Bu iki düsturu bərabərləşdirsək, aşağıdakı ifadəni alarıq.

$r \cdot (r+c)= r \cdot \dfrac{a+b+c}{2}\\[15pt]
r=\dfrac{a+b+c}{2}-c\\[15pt]
r=\dfrac{a+b-c}{2}$

Xassə isbat olundu.

Xassə 8: Düzbucaqlı üçbucağın sahəsini aşağıdakı düsturlarla hesablamaq olar.

$S=\dfrac{1}{2} ab, \ S=\dfrac{1}{2}c^2 \sin \alpha \sin \beta, \\[15pt]
S=\dfrac{1}{2}c^2 \sin \alpha \cos \alpha, \ S=\dfrac{1}{2}c^2 \sin \beta \cos \beta, \\[15pt]
S=\dfrac{1}{2}a^2 \mbox{tg} \beta, \  S=\dfrac{1}{2}a^2 \mbox{ctg} \alpha, S=\dfrac{1}{2}b^2 \mbox{tg} \alpha,  S=\dfrac{1}{2}b^2 \mbox{ctg} \beta$

Bu düsturların bir hissəsi düzbucaqlı üçbucağın sahə düsturları verilərkən isbat olunub. Yerdə qalanları isə $\beta = \dfrac{\pi}{2}- \alpha$ nəzərə alınmaqla asanlıqla triqonometrik funksiyaların çevrilməsindən alınır.

Digər məqalələr

Pifaqor teoremi

Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Düzbucaqlı üçbucaq

Bucaqlardan biri 90° olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Düzbucaqlı üçbucaqda 30°-li bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir. Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük onu iki oxşar üçbucağa ayırır.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun yarımperimetri ilə hər bir katetin ayrı-ayriliqda fərqinin hasilinə bərabərdir. Bu sahə həm də üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu ilə bu radiusun hipotenuz ilə cəminin hasilinə bərabərdir. Üçbucaq daxilinə çəkilmiş çevrənin hipotenuza toxunma nöqtəsində onu böldüyü hissələrin uzunluqları hasili də sahəni verir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.