Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Üçbucaq


Yaranma tarixi:

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi

üçbucaq  sahə  

 

Düzbucaqlı üçbucağın sahə düsturlarından danışmazdan əvvəl onu qeyd edək ki, üçbucağın sahəsi üçün verdiyimiz bütün düsturlar burada da keçərli olduğu üçün onları yenidən sadalamayacağıq. Birbaşa keçəcəyik yalnız düzbucaqlı üçbucağa aid olan düsturlara.

I düstur

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun katetləri hasilinin yarısına bərabərdir.

$S=\dfrac{ab}{2}$

Burada $a$ və $b$ katetlərdir.

Bu ən sadə düsturdur. Düzbucaqlı üçbucağın katetləri perpendikulyar olduğu üçün onların birini hündürlük, digərini oturacaq götürə bilərik. Onda üçbucağın klassik sahə düsturu yuxarıdakı şəklə düşər.

II düstur

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun yarımperimetri ilə hər bir katetin ayrı-ayriliqda fərqinin hasilinə bərabərdir.

$S=(p-a)(p-b)$

$a$, $b$ katetlər, $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ yarımperimetrdir. Bu düstur üçbucaq üçün Heron düsturundan alınır. Adı çəkilən düsturu yada salaq.

$S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$

Bu düsturda $p(p-c)$ vuruğuna baxaq.

$p(p-c)=\dfrac{a+b+c}{2} \cdot \left(\dfrac{a+b+c}{2}-c\right) = \\[15pt]
= \dfrac{a+b+c}{2} \cdot \dfrac{a+b-c}{2} = \\[15pt]
= \dfrac{((a+b)+c)((a+b)-c)}{4}= \\[15pt]
=\dfrac{(a+b)^2-c^2}{4} = \dfrac{a^2+b^2-c^2+2ab}{4}$

Pifaqor teoreminə görə $c^2=a^2+b^2$ olduğu üçün surətdə yalnız $2ab$ qalacaq.

$\dfrac{a^2+b^2-c^2+2ab}{4} = \dfrac{c^2-c^2+2ab}{4} = \dfrac{ab}{2}$

Bu da I düstura görə $S$ deməkdir. Onda, Heron düsturunda $p(p-c)$ əvəzinə $S$ yazaq.

$S^2=S(p-a)(p-b) \Rightarrow S=(p-a)(p-b)$

Növbəti iki düsturda aşağıdakı şəkildən istifadə edəcəyik. Ona görə əvvəl bu şəkli izah edək. $ABC$ düzbucaqlı üçbucağında $AB=c$, $AC=b$, $BC=a$. Şəkildə qarışıqlıq düşməsin deyə tərəflər üzərində bu işarələmələri yazmamışıq. Daxilə çəkilən çevrənin radiusunu $r$, həmin çevrənin $c$ tərəfinə toxunma nöqtəsində onu böldüyü hissələri isə $c_1$ və $c_2$ ilə işarə etmişik.

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi

Şəkildə üçbucağın $AO$, $BO$ və $CO$ tənbölənləri çəkilib. Bilirik ki, daxilə çəkilmiş çevrənin $O$ mərkəzi tənbölənlərin kəsişmə nöqtəsidir. $AOR$ və $AOP$ üçbucaqlarında $AO$ tərəfləri ortaq, $A$ təpəsindəki bucaqları bərabərdir. Onda düzbucaqlı üçbucağın bərabərlik əlamətinə görə $\triangle AOR = \triangle AOP$. Eyni qayda ilə göstərə bilərik ki, $\triangle BOR=\triangle BOQ$ və $\triangle COP=\triangle COQ$. Bu üçbucaqların bərabərliyindən alınır ki,

$AP=AR=c_1$, $BQ=BR=c_2$, $CP=CQ=r$

Yəni,

$a=r+c_2, \\ b=r+c_1, \\ c=c_1+c_2, \\[15pt]
p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{r+c_2+r+c_1+c_1+c_2}{2}=\\[15pt]
=\dfrac{2r+2c_1+2c_2}{2}=r+c_1+c_2$

İndi növbəti düsturlara keçə bilərik.

III düstur

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu ilə bu radiusun hipotenuz ilə cəminin hasilinə bərabərdir.

$S=r\cdot (r+c)$

$r$ daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu, $c$ hipotenuzdur.

Yuxarıdakı şəkildən görürük ki, bizə lazım olan sahə 6 düzbucaqlı üçbucağın sahəsinin cəmidir. Bu üçbucaqlar iki-iki bərabər olduğu üçün onların üçünün sahəsinin iki mislinin cəmi əsas üçbucağın sahəsini verəcək.

$S=2S_{\triangle AOR}+2S_{\triangle BOR}+2S_{\triangle COQ}=\\[15pt]
=c_1r+c_2r+r^2=r^2+(c_1+c_2)r=\\[15pt]
=r^2+cr=r(r+c)$

IV düstur

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun daxilinə çəkilmiş çevrənin hipotenuza toxunma nöqtəsində onu böldüyü hissələrin uzunluqları hasilinə bərabərdir.

$S=c_1 \cdot c_2$

II düsturda $p$-nin qiymətini yerinə yazaq və nəzərə alaq ki, $a=r+c_2$, $b=r+c_1$.

$S=(p-a)(p-b)=(r+c_1+c_2-(r+c_2))(r+c_1+c_2-(r+c_1))=\\
=(r+c_1+c_2-r-c_2)(r+c_1+c_2-r-c_1)=c_1c_2$

V düstur

Düzbucaqlı üçbucaq

$S=\dfrac{1}{2}a^2 tg \beta$

$\beta$ bucağı $a$ katetinə bitişik bucaqdır.

$S=\dfrac{1}{2}ab$ düsturunda $b=a \ tg \beta$ olduğunu nəzərə alsaq bizə lazım olan düsturu alarıq.

VI düstur

$S=\dfrac{1}{2} a^2 ctg \alpha$

$\alpha$ bucağı $a$ katetinin qarşısındakı bucaqdır.

Yenə də $S=\dfrac{1}{2}ab$ düsturunda $b=a \ ctg \alpha$ olduğunu nəzərə alsaq bizə lazım olan düsturu alarıq.

VII düstur

$S=\dfrac{1}{2}c^2 \ sin \alpha \ cos \alpha$

$c$ – hipotenuz, $\alpha$ və $\beta$ hipotenuza bitişik bucaqlardır.

$S=\dfrac{1}{2}ab$ düsturunda $a=c \ sin \alpha$, $b=c \ cos \alpha$ yazsaq

$S=\dfrac{1}{2} \cdot c \ sin \alpha \cdot c\ cos \alpha = \dfrac{1}{2}c^2 \sin \alpha \cos \alpha$

 

Digər məqalələr

Pifaqor teoremi
Düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin kvadratları cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bu teoremin 370 müxtəlif isbatı mövcuddur. Burada onlardan 5-i verilib.

Düzbucaqlı üçbucaq
Bucaqlardan biri 90° olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Düzbucaqlı üçbucaqda 30°-li bucaq qarşısındakı katet hipotenuzun yarısına bərabərdir. Düzbucaqlı üçbucağın düz bucaq təpəsindən çəkilən hündürlük onu iki oxşar üçbucağa ayırır.

Sadə fiqurların sahəsi
Üçbucaq, düzbucaqlı, trapesiya, paraleloqram və rombun sahə düsturları yəqin ki, məktəb kursundan yadınızdadır. Bəs bu sahə düsturlarının çıxarılışı necə? O da yadınızadadırmı? Əgər unutmusunuzsa oxuyub hamısını bir dəfəyə yada salın.

Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi
Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının bu oturacaq qarşısındakı bucağın yarısının tangensinin 4 mislinə nisbətinə bərabərdir. Bərabəryanlı üçbucağın sahəsi onun oturacağı kvadratının dörddən birinin yan tərəfin oturacaqla əmələ gətirdiyi bucağın tangensinə hasilinə bərabərdir.

Üçbucağın sahəsinin 8 xassəsi
Əgər iki üçbucağın eyni bucaqları varsa, onların sahələrinin nisbəti bu bucaqları əmələ gətirən tərəflərin hasilinin nisbətinə bərabərdir. Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

Sinuslar teoremi
Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir. Bunu isbat etmək üçün isbat etməliyik ki, üçbucağın sahəsi onun ixtiyarı iki tərəfinin uzunluqları hasilinin yarısı ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

Heron düsturu
Bizim Eranın I əsrində yaşamış İskəndəriyyəli Heron həndəsə, mexanika, hidrostatika və optika ilə məşğul olurdu. Onun verdiyi Heron düsturunun köməyi ilə sahəni üç tərəf vasitəsilə tapmaq mümkündür.

Üçbucağın sahəsi
Üçbucağın sahəsini hesablamaq üçün çoxlu düsturlar mövcuddur. Burada onları bir yerə yığmışıq. Əvvəl bütün növ üçbucaqlar üçün doğru olan sahə düsturları gəlir. Sonra bərabərtərəfli üçbucaq, ən axırda isə məxsusi olaraq düzbucalı üçbucağın sahəsi üçün düsturlar verilir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.