Cəfər Əliyevin bloqu

Arxiv

Ana səhifə :: Riyaziyyat :: Həndəsə :: Dördbucaqlı


Yaranma tarixi:

Dördbucaqlının sahəsi

dördbucaq  sahə  

 

Əvvəlcə onu deyək ki, istənilən dördbucaqlının sahəsini tapmaq üçün bu dördbucaqlını iki qarşı təpəsini birləşdirərək iki üçbucağa bölmək olar. Sonra isə bu üçbucaqların sahələrini tapıb toplamaq lazım olacaq. Hətta dördbucaqlı qabarıq olmasa belə onu şəkildəki kimi iki üçbucağa ayırmaq olar.

Qabarıq olmayan dördbucaqlı

Qabarıq dördbucaqlının sahəsi

Qabarıq dördbucaqlının sahəsini onun diaqonalları vasitəsilə belə ifadə etmək olar.

$S=\dfrac{1}{2} d_1 d_2 sin \varphi$

Burada $d_1$ və $d_2$ diaqonallar, $\varphi$ isə bu diaqonalların kəsişməsindən alınan dörd bucaqdan biridir.

Bu düsturun çıxarılışına baxaq. Dördbucaqlını şəkildəki kimi 4 ədəd üçbucağa bölək və bu üçbucaqların sahələrini tapaq. Aydındır ki, həmin sahələrin cəmi bizə dördbucaqlının sahəsini verəcək.

Qabarıq dördbucaqlı

$S = S_{\triangle AOB}+ S_{\triangle BOC}+ S_{\triangle COD}+ S_{\triangle DOA}$

Üçbucaqların sahələrini iki tərəf və arasındakı bucağın sinusu vasitəsi ilə tapaq.

$S_{\triangle AOB}=\dfrac{1}{2} AO \cdot BO \cdot sin \varphi \\[15pt]
S_{\triangle BOC}=\dfrac{1}{2} BO \cdot CO \cdot sin (\pi - \varphi) =\dfrac{1}{2} BO \cdot CO \cdot sin \varphi \\[15pt]
S_{\triangle COD}=\dfrac{1}{2} CO \cdot DO \cdot sin  \varphi \\[15pt]
S_{\triangle DOA} = \dfrac{1}{2} DO \cdot AO \cdot sin (\pi - \varphi) = \dfrac{1}{2} DO \cdot AO \cdot sin \varphi$

Bu düsturları toplayaq

$S=\dfrac{1}{2} (AO \cdot BO + BO \cdot CO + CO \cdot DO+ DO \cdot AO) sin \varphi =\\[15pt]
=\dfrac{1}{2} \left( (AO+CO) BO + (AO+CO)DO \right) sin \varphi =\\[15pt]
=\dfrac{1}{2}  (AO+CO) (BO +DO) sin \varphi$

Şəkildən görünür ki,

$AO+CO=AC=d_1, \ BO+DO=BD=d_2$

Bu əvəzləmələri aparsaq teorem isbat olunar.

Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının sahəsi

Əgər dördbucaqlı çevrə daxilinə çəkilibsə onun sahəsini tərəflər vasitəsilə belə tapmaq olar.

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}, \ \ p=\dfrac{a+b+c+d}{2}$

$a$, $b$, $c$, $d$ tərəflər, $p$ isə perimetrin yarısıdır. Buna Brahmaqupta teoremi deyilir və çıxarılışını eyni adlı məqalədən oxuya bilərsiniz.

Digər məqalələr

Ptolemey teoremi
Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının diaqonallarının hasili qarşı tərəflərin hasilləri cəminə bərabərdir.

Düzbucaqlı, romb, kvadrat
Bütün bucaqları düz bucaq olan paraleloqrama düzbucaqlı deyilir. Bütün tərəfləri bərabər olan paraleloqrama romb deyilir. Bütün tərəfləri bərabər olan düzbucaqlı kvadrat adlanır.

Trapesiya
Yalnız iki qarşı tərəfi paralel olan qabarıq dördbucaqlıya trapesiya deyilir. Bu paralel tərəflərə trapesiyanın oturacaqları, paralel olmayan tərəflərə isə yan tərəfləri deyilir. Trapesiyanın qarşı təpələrini birləşdirən düz xətt parçasına onun diaqonalı deyilir.

Tebo teoremləri
Paraleloqramın tərəfləri üzərində qurulmuş kvadratların mərkəzləri özü, kvadratın təpə nöqtələridir. Əgər kvadratın iki qonşu tərəfində bərabərtərəfli üçbucaq qursaq bu üçbucaqların kvadrata aid olmayan təpələri ilə kvadratın bu üçbucaqlara aid olmayan təpəsini birləşdirərkən bərabərtərəfli üçbucaq alarıq.

Dördbucaqlı üçün Van-Obel teoremi
İxtiyarı dördbucaqlının tərəflərində xarici kvadratlar qursaq, qarşılıqlı kvadratların orta nöqtələrini birləşdirən düz xətt parçaları bərabər və perpendikulyar olacaq.

Bərabəryanlı trapesiya
Əgər trapesiyanın yan tərəfləri bərabərdirsə ona bərabəryanlı trapesiya deyilir. Bərabəryanlı trapesiyanın oturacağa bitişik bucaqları bərabərdir. Onun diaqonalları bərabərdir və diaqonallar oturacaqlar ilə eyni bucaq əmələ gətirir. Bu cür trapesiyanın xaricinə çevrə çəkmək olar.

Paraleloqram
Paraleloqramın qarşı tərəfləri bərabərdir, qarşı bucaqları bərabərdir, bir tərəfə söykənən bucaqlarının cəmi 180°-yə bərabərdir. Paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsində yarı bölünür.

Varinyon teoremi
İstənilən dördbucaqlının tərəflərinin orta nöqtəsini birləşdirsək paraleloqram alarıq. Bu teoremdə dördbucaqlının qabarıq olması şərt deyil və bütün dördbucaqlılar üçün doğrudur.

Sadə fiqurların sahəsi
Üçbucaq, düzbucaqlı, trapesiya, paraleloqram və rombun sahə düsturları yəqin ki, məktəb kursundan yadınızdadır. Bəs bu sahə düsturlarının çıxarılışı necə? O da yadınızadadırmı? Əgər unutmusunuzsa oxuyub hamısını bir dəfəyə yada salın.

Rombun sahəsi
Romb paraleloqramın xüsusi hali olduğu üçün paraleloqramın sahə düsturları burada da keçərlidir. Rombun sahəsi daxilinə çəkilmiş çevrənin diametrinin onun tərəfinə hasilinə bərabərdir. Bundan başqa bu sahə daxilə çəkilmiş çevrənin diametrinin iki tərəf arasındakı bucağın sinusina nisbətinə bərabərdir.

Trapesiyanın sahəsi
Trapesiyanın sahəsi oturacaqlarının cəmini yarısı ilə hündürlüyü hasilinə bərabərdir. Bu sahəni trapesiyanın diaqonalları ilə bu diaqonalların kəsişməsindən alınan bucağın sinusu hasilinin yarısı kimi də ifadə etmək olar.

Kvadratın sahəsi
Kvadratın sahəsi daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu kvadratının dörd mislinə bərabərdir. Bu sahə həmçinin onun diaqonalının kvadratının yarısına bərabərdir. Kvadratın sahəsi onun xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu kvadratının iki mislinə bərabərdir.

Düzbucaqlının sahəsi
Düzbucaqlının sahəsi onun tərəflərinin hasilinə bərabərdir. Düzbucaqlının sahəsi onun xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu kvadratının, düzbucaqlının diaqonalları arasındakı bucağın sinusuna hasilinin iki mislinə bərabərdir.

Paraleloqramın sahəsi
Paraleloqramın sahəsi onun oturacağı ilə hündürlüyü hasilinə bərabərdir. Paraleloqramın sahəsi onun iki tərəfi ilə bu tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinə bərabərdir. Paraleloqramın sahəsi onun diaqonalları və bu diaqonallar arasında qalan bucağın sinusu hasilinin yarısına bərabərdir.

© Müəllif hüquqları qorunur

Bu saytdakı bütün məqalələr Cəfər N.Əliyev tərəfindən yazılıb. Onlar hər hansı üçüncu şəxs tərəfindən digər resurslarda çap edilərsə mənbə və müəllifin adı göstərilməlidir. Sayt özü həmin şərtlərə əməl edir.